MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzaddi Structured version   Unicode version

Theorem eluzaddi 11099
Description: Membership in a later upper set of integers. (Contributed by Paul Chapman, 22-Nov-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
eluzaddi.1  |-  M  e.  ZZ
eluzaddi.2  |-  K  e.  ZZ
Assertion
Ref Expression
eluzaddi  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  K )  e.  (
ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )

Proof of Theorem eluzaddi
StepHypRef Expression
1 eluzelz 11082 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
2 eluzaddi.2 . . 3  |-  K  e.  ZZ
3 zaddcl 10894 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  +  K
)  e.  ZZ )
41, 2, 3sylancl 662 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  K )  e.  ZZ )
5 eluzaddi.1 . . . 4  |-  M  e.  ZZ
65eluz1i 11080 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
7 zre 10859 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
85zrei 10861 . . . . . 6  |-  M  e.  RR
92zrei 10861 . . . . . 6  |-  K  e.  RR
10 leadd1 10011 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( M  <_  N  <->  ( M  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
118, 9, 10mp3an13 1310 . . . . 5  |-  ( N  e.  RR  ->  ( M  <_  N  <->  ( M  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
127, 11syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M  <_  N  <->  ( M  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
1312biimpa 484 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  -> 
( M  +  K
)  <_  ( N  +  K ) )
146, 13sylbi 195 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  +  K )  <_  ( N  +  K )
)
15 zaddcl 10894 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  +  K
)  e.  ZZ )
165, 2, 15mp2an 672 . . 3  |-  ( M  +  K )  e.  ZZ
1716eluz1i 11080 . 2  |-  ( ( N  +  K )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
)  <->  ( ( N  +  K )  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_ 
( N  +  K
) ) )
184, 14, 17sylanbrc 664 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  K )  e.  (
ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1762   class class class wbr 4442   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   RRcr 9482    + caddc 9486    <_ cle 9620   ZZcz 10855   ZZ>=cuz 11073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074
This theorem is referenced by:  eluzadd  11101
  Copyright terms: Public domain W3C validator