MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzaddi Structured version   Unicode version

Theorem eluzaddi 11155
Description: Membership in a later upper set of integers. (Contributed by Paul Chapman, 22-Nov-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
eluzaddi.1  |-  M  e.  ZZ
eluzaddi.2  |-  K  e.  ZZ
Assertion
Ref Expression
eluzaddi  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  K )  e.  (
ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )

Proof of Theorem eluzaddi
StepHypRef Expression
1 eluzelz 11138 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
2 eluzaddi.2 . . 3  |-  K  e.  ZZ
3 zaddcl 10947 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  +  K
)  e.  ZZ )
41, 2, 3sylancl 662 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  K )  e.  ZZ )
5 eluzaddi.1 . . . 4  |-  M  e.  ZZ
65eluz1i 11136 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
7 zre 10911 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
85zrei 10913 . . . . . 6  |-  M  e.  RR
92zrei 10913 . . . . . 6  |-  K  e.  RR
10 leadd1 10063 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( M  <_  N  <->  ( M  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
118, 9, 10mp3an13 1319 . . . . 5  |-  ( N  e.  RR  ->  ( M  <_  N  <->  ( M  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
127, 11syl 17 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M  <_  N  <->  ( M  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
1312biimpa 484 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  -> 
( M  +  K
)  <_  ( N  +  K ) )
146, 13sylbi 197 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  +  K )  <_  ( N  +  K )
)
15 zaddcl 10947 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  +  K
)  e.  ZZ )
165, 2, 15mp2an 672 . . 3  |-  ( M  +  K )  e.  ZZ
1716eluz1i 11136 . 2  |-  ( ( N  +  K )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
)  <->  ( ( N  +  K )  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_ 
( N  +  K
) ) )
184, 14, 17sylanbrc 664 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  K )  e.  (
ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    e. wcel 1844   class class class wbr 4397   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   RRcr 9523    + caddc 9527    <_ cle 9661   ZZcz 10907   ZZ>=cuz 11129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130
This theorem is referenced by:  eluzadd  11157
  Copyright terms: Public domain W3C validator