MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzadd Structured version   Unicode version

Theorem eluzadd 11187
Description: Membership in a later upper set of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
eluzadd  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  +  K )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )

Proof of Theorem eluzadd
StepHypRef Expression
1 eluzel2 11164 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
2 fveq2 5881 . . . . . . 7  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( ZZ>= `  M )  =  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) )
32eleq2d 2499 . . . . . 6  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( N  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  N  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) ) )
4 oveq1 6312 . . . . . . . 8  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( M  +  K
)  =  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) )
54fveq2d 5885 . . . . . . 7  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( ZZ>= `  ( M  +  K ) )  =  ( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) ) )
65eleq2d 2499 . . . . . 6  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( ( N  +  K )  e.  (
ZZ>= `  ( M  +  K ) )  <->  ( N  +  K )  e.  (
ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) ) ) )
73, 6imbi12d 321 . . . . 5  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  ( N  +  K
)  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K
) ) )  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  ->  ( N  +  K )  e.  (
ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) ) ) ) )
8 oveq2 6313 . . . . . . 7  |-  ( K  =  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  -> 
( N  +  K
)  =  ( N  +  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) ) )
9 oveq2 6313 . . . . . . . 8  |-  ( K  =  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  -> 
( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K )  =  ( if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 )  +  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) ) )
109fveq2d 5885 . . . . . . 7  |-  ( K  =  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  -> 
( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) )  =  ( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) ) ) )
118, 10eleq12d 2511 . . . . . 6  |-  ( K  =  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  -> 
( ( N  +  K )  e.  (
ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) )  <-> 
( N  +  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 )  +  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) ) ) ) )
1211imbi2d 317 . . . . 5  |-  ( K  =  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  -> 
( ( N  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  ->  ( N  +  K )  e.  (
ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) ) )  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  ->  ( N  +  if ( K  e.  ZZ ,  K , 
0 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) ) ) ) ) )
13 0z 10948 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
1413elimel 3977 . . . . . 6  |-  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  e.  ZZ
1513elimel 3977 . . . . . 6  |-  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  e.  ZZ
1614, 15eluzaddi 11185 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  ->  ( N  +  if ( K  e.  ZZ ,  K , 
0 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) ) ) )
177, 12, 16dedth2h 3967 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  -> 
( N  +  K
)  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K
) ) ) )
1817com12 32 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  +  K )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) ) )
191, 18mpand 679 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( N  +  K )  e.  (
ZZ>= `  ( M  +  K ) ) ) )
2019imp 430 1  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  +  K )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   ifcif 3915   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   0cc0 9538    + caddc 9541   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160
This theorem is referenced by:  seqshft2  12236  shftuz  13111  isumshft  13875  vdwlem2  14895  vdwlem8  14901  mulgnndir  16731  efgcpbllemb  17340  plymullem1  23036  coeeulem  23046  ulmshftlem  23209  ulmshft  23210  caushft  31794
  Copyright terms: Public domain W3C validator