MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzadd Structured version   Unicode version

Theorem eluzadd 10887
Description: Membership in a later upper set of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
eluzadd  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  +  K )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )

Proof of Theorem eluzadd
StepHypRef Expression
1 eluzel2 10864 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
2 fveq2 5689 . . . . . . 7  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( ZZ>= `  M )  =  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) )
32eleq2d 2508 . . . . . 6  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( N  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  N  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) ) ) )
4 oveq1 6096 . . . . . . . 8  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( M  +  K
)  =  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) )
54fveq2d 5693 . . . . . . 7  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( ZZ>= `  ( M  +  K ) )  =  ( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) ) )
65eleq2d 2508 . . . . . 6  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( ( N  +  K )  e.  (
ZZ>= `  ( M  +  K ) )  <->  ( N  +  K )  e.  (
ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) ) ) )
73, 6imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( M  =  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  -> 
( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  ( N  +  K
)  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K
) ) )  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  ->  ( N  +  K )  e.  (
ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) ) ) ) )
8 oveq2 6097 . . . . . . 7  |-  ( K  =  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  -> 
( N  +  K
)  =  ( N  +  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) ) )
9 oveq2 6097 . . . . . . . 8  |-  ( K  =  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  -> 
( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K )  =  ( if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 )  +  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) ) )
109fveq2d 5693 . . . . . . 7  |-  ( K  =  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  -> 
( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) )  =  ( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) ) ) )
118, 10eleq12d 2509 . . . . . 6  |-  ( K  =  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  -> 
( ( N  +  K )  e.  (
ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) )  <-> 
( N  +  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M , 
0 )  +  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) ) ) ) )
1211imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( K  =  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  -> 
( ( N  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  ->  ( N  +  K )  e.  (
ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  K ) ) )  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  ->  ( N  +  if ( K  e.  ZZ ,  K , 
0 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) ) ) ) ) )
13 0z 10655 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
1413elimel 3850 . . . . . 6  |-  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  e.  ZZ
1513elimel 3850 . . . . . 6  |-  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 )  e.  ZZ
1614, 15eluzaddi 10885 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 ) )  ->  ( N  +  if ( K  e.  ZZ ,  K , 
0 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( if ( M  e.  ZZ ,  M ,  0 )  +  if ( K  e.  ZZ ,  K ,  0 ) ) ) )
177, 12, 16dedth2h 3840 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  -> 
( N  +  K
)  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K
) ) ) )
1817com12 31 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  +  K )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) ) )
191, 18mpand 675 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( N  +  K )  e.  (
ZZ>= `  ( M  +  K ) ) ) )
2019imp 429 1  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  +  K )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   ifcif 3789   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   0cc0 9280    + caddc 9283   ZZcz 10644   ZZ>=cuz 10859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860
This theorem is referenced by:  seqshft2  11830  shftuz  12556  isumshft  13300  vdwlem2  14041  vdwlem8  14047  mulgnndir  15647  efgcpbllemb  16250  plymullem1  21680  coeeulem  21690  ulmshftlem  21852  ulmshft  21853  caushft  28654
  Copyright terms: Public domain W3C validator