MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz2b2 Structured version   Unicode version

Theorem eluz2b2 11163
Description: Two ways to say "an integer greater than or equal to 2." (Contributed by Paul Chapman, 23-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
eluz2b2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )

Proof of Theorem eluz2b2
StepHypRef Expression
1 eluz2b1 11162 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  1  < 
N ) )
2 1re 9598 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
3 zre 10874 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
4 ltle 9676 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 1  <  N  ->  1  <_  N )
)
52, 3, 4sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1  <  N  ->  1  <_  N ) )
65imdistani 690 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  -> 
( N  e.  ZZ  /\  1  <_  N )
)
7 elnnz1 10896 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  ZZ  /\  1  <_  N ) )
86, 7sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  ->  N  e.  NN )
9 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  -> 
1  <  N )
108, 9jca 532 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  -> 
( N  e.  NN  /\  1  <  N ) )
11 nnz 10892 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
1211anim1i 568 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  1  <  N )  -> 
( N  e.  ZZ  /\  1  <  N ) )
1310, 12impbii 188 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
141, 13bitri 249 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1804   class class class wbr 4437   ` cfv 5578   RRcr 9494   1c1 9496    < clt 9631    <_ cle 9632   NNcn 10542   2c2 10591   ZZcz 10870   ZZ>=cuz 11090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091
This theorem is referenced by:  eluz2b3  11164  prmind2  14105  nprm  14108  nprmi  14109  isprm5  14130  phibndlem  14177  pclem  14239  pcpre1  14243  pockthlem  14300  prmunb  14309  prmreclem1  14311  prmlem1a  14469  odcau  16498  sylow3lem6  16526  gexexlem  16732  wilthlem1  23214  wilth  23217  chtge0  23258  isppw  23260  muval1  23279  chtwordi  23302  vma1  23312  fsumvma2  23361  chpval2  23365  chpchtsum  23366  chpub  23367  mersenne  23374  perfect1  23375  perfectlem2  23377  lgslem4  23446  lgsne0  23480  2sqblem  23524  chtppilimlem1  23530  rplogsumlem2  23542  rpvmasumlem  23544  dchrisum0flblem2  23566  padicabvcxp  23689  ostth2lem3  23692  ostth2lem4  23693  ostth2  23694  ostth3  23695  rmspecsqrtnq  30817  rmspecnonsq  30818  rmspecfund  30820  ltrmxnn0  30862  itgsinexp  31643  wallispilem3  31738
  Copyright terms: Public domain W3C validator