MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz2b2 Structured version   Unicode version

Theorem eluz2b2 10919
Description: Two ways to say "an integer greater than or equal to 2." (Contributed by Paul Chapman, 23-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
eluz2b2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )

Proof of Theorem eluz2b2
StepHypRef Expression
1 eluz2b1 10918 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  1  < 
N ) )
2 1re 9377 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
3 zre 10642 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
4 ltle 9455 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 1  <  N  ->  1  <_  N )
)
52, 3, 4sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1  <  N  ->  1  <_  N ) )
65imdistani 690 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  -> 
( N  e.  ZZ  /\  1  <_  N )
)
7 elnnz1 10664 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  ZZ  /\  1  <_  N ) )
86, 7sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  ->  N  e.  NN )
9 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  -> 
1  <  N )
108, 9jca 532 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  -> 
( N  e.  NN  /\  1  <  N ) )
11 nnz 10660 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
1211anim1i 568 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  1  <  N )  -> 
( N  e.  ZZ  /\  1  <  N ) )
1310, 12impbii 188 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
141, 13bitri 249 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1756   class class class wbr 4287   ` cfv 5413   RRcr 9273   1c1 9275    < clt 9410    <_ cle 9411   NNcn 10314   2c2 10363   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854
This theorem is referenced by:  eluz2b3  10920  prmind2  13766  nprm  13769  nprmi  13770  isprm6  13787  exprmfct  13788  isprm5  13790  phibndlem  13837  phibnd  13838  pclem  13897  pcprendvds2  13900  pcpre1  13901  pcmpt  13946  pockthlem  13958  prmunb  13967  prmreclem1  13969  4sqlem15  14012  4sqlem16  14013  vdwlem5  14038  vdwlem6  14039  vdwlem8  14041  vdwlem9  14042  vdwlem11  14044  prmlem1a  14126  odcau  16094  sylow3lem6  16122  gexexlem  16325  wilthlem1  22386  wilth  22389  chtge0  22430  isppw  22432  muval1  22451  chtwordi  22474  vma1  22484  fsumvma2  22533  chpval2  22537  chpchtsum  22538  chpub  22539  mersenne  22546  perfect1  22547  perfectlem2  22549  bposlem3  22605  lgslem4  22618  lgsne0  22652  lgsquad2lem2  22678  2sqlem6  22688  2sqblem  22696  chtppilimlem1  22702  rplogsumlem1  22713  rplogsumlem2  22714  rpvmasumlem  22716  dchrisum0flblem2  22738  ostthlem2  22857  padicabvf  22860  padicabvcxp  22861  ostth2lem2  22863  ostth2lem3  22864  ostth2lem4  22865  ostth2  22866  ostth3  22867  signstfveq0  26947  subfacval3  27046  rmspecsqrnq  29218  rmspecnonsq  29219  rmspecfund  29221  ltrmxnn0  29263  jm2.17a  29274  jm2.17b  29275  jm2.17c  29276  jm2.27c  29327  jm3.1lem1  29337  jm3.1lem2  29338  jm3.1lem3  29339  itgsinexp  29766  wallispilem3  29833
  Copyright terms: Public domain W3C validator