MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz2b2 Structured version   Unicode version

Theorem eluz2b2 11037
Description: Two ways to say "an integer greater than or equal to 2." (Contributed by Paul Chapman, 23-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
eluz2b2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )

Proof of Theorem eluz2b2
StepHypRef Expression
1 eluz2b1 11036 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  1  < 
N ) )
2 1re 9495 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
3 zre 10760 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
4 ltle 9573 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 1  <  N  ->  1  <_  N )
)
52, 3, 4sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1  <  N  ->  1  <_  N ) )
65imdistani 690 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  -> 
( N  e.  ZZ  /\  1  <_  N )
)
7 elnnz1 10782 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  ZZ  /\  1  <_  N ) )
86, 7sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  ->  N  e.  NN )
9 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  -> 
1  <  N )
108, 9jca 532 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  -> 
( N  e.  NN  /\  1  <  N ) )
11 nnz 10778 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
1211anim1i 568 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  1  <  N )  -> 
( N  e.  ZZ  /\  1  <  N ) )
1310, 12impbii 188 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
141, 13bitri 249 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1758   class class class wbr 4399   ` cfv 5525   RRcr 9391   1c1 9393    < clt 9528    <_ cle 9529   NNcn 10432   2c2 10481   ZZcz 10756   ZZ>=cuz 10971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-2 10490  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972
This theorem is referenced by:  eluz2b3  11038  prmind2  13891  nprm  13894  nprmi  13895  isprm6  13912  exprmfct  13913  isprm5  13915  phibndlem  13962  phibnd  13963  pclem  14022  pcprendvds2  14025  pcpre1  14026  pcmpt  14071  pockthlem  14083  prmunb  14092  prmreclem1  14094  4sqlem15  14137  4sqlem16  14138  vdwlem5  14163  vdwlem6  14164  vdwlem8  14166  vdwlem9  14167  vdwlem11  14169  prmlem1a  14251  odcau  16223  sylow3lem6  16251  gexexlem  16454  wilthlem1  22538  wilth  22541  chtge0  22582  isppw  22584  muval1  22603  chtwordi  22626  vma1  22636  fsumvma2  22685  chpval2  22689  chpchtsum  22690  chpub  22691  mersenne  22698  perfect1  22699  perfectlem2  22701  bposlem3  22757  lgslem4  22770  lgsne0  22804  lgsquad2lem2  22830  2sqlem6  22840  2sqblem  22848  chtppilimlem1  22854  rplogsumlem1  22865  rplogsumlem2  22866  rpvmasumlem  22868  dchrisum0flblem2  22890  ostthlem2  23009  padicabvf  23012  padicabvcxp  23013  ostth2lem2  23015  ostth2lem3  23016  ostth2lem4  23017  ostth2  23018  ostth3  23019  signstfveq0  27121  subfacval3  27220  rmspecsqrnq  29394  rmspecnonsq  29395  rmspecfund  29397  ltrmxnn0  29439  jm2.17a  29450  jm2.17b  29451  jm2.17c  29452  jm2.27c  29503  jm3.1lem1  29513  jm3.1lem2  29514  jm3.1lem3  29515  itgsinexp  29942  wallispilem3  30009
  Copyright terms: Public domain W3C validator