MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz2b2 Structured version   Unicode version

Theorem eluz2b2 10915
Description: Two ways to say "an integer greater than or equal to 2." (Contributed by Paul Chapman, 23-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
eluz2b2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )

Proof of Theorem eluz2b2
StepHypRef Expression
1 eluz2b1 10914 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  1  < 
N ) )
2 1re 9373 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
3 zre 10638 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
4 ltle 9451 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 1  <  N  ->  1  <_  N )
)
52, 3, 4sylancr 656 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1  <  N  ->  1  <_  N ) )
65imdistani 683 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  -> 
( N  e.  ZZ  /\  1  <_  N )
)
7 elnnz1 10660 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  ZZ  /\  1  <_  N ) )
86, 7sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  ->  N  e.  NN )
9 simpr 458 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  -> 
1  <  N )
108, 9jca 529 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  -> 
( N  e.  NN  /\  1  <  N ) )
11 nnz 10656 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
1211anim1i 563 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  1  <  N )  -> 
( N  e.  ZZ  /\  1  <  N ) )
1310, 12impbii 188 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
141, 13bitri 249 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1755   class class class wbr 4280   ` cfv 5406   RRcr 9269   1c1 9271    < clt 9406    <_ cle 9407   NNcn 10310   2c2 10359   ZZcz 10634   ZZ>=cuz 10849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850
This theorem is referenced by:  eluz2b3  10916  prmind2  13757  nprm  13760  nprmi  13761  isprm6  13778  exprmfct  13779  isprm5  13781  phibndlem  13828  phibnd  13829  pclem  13888  pcprendvds2  13891  pcpre1  13892  pcmpt  13937  pockthlem  13949  prmunb  13958  prmreclem1  13960  4sqlem15  14003  4sqlem16  14004  vdwlem5  14029  vdwlem6  14030  vdwlem8  14032  vdwlem9  14033  vdwlem11  14035  prmlem1a  14117  odcau  16083  sylow3lem6  16111  gexexlem  16314  wilthlem1  22291  wilth  22294  chtge0  22335  isppw  22337  muval1  22356  chtwordi  22379  vma1  22389  fsumvma2  22438  chpval2  22442  chpchtsum  22443  chpub  22444  mersenne  22451  perfect1  22452  perfectlem2  22454  bposlem3  22510  lgslem4  22523  lgsne0  22557  lgsquad2lem2  22583  2sqlem6  22593  2sqblem  22601  chtppilimlem1  22607  rplogsumlem1  22618  rplogsumlem2  22619  rpvmasumlem  22621  dchrisum0flblem2  22643  ostthlem2  22762  padicabvf  22765  padicabvcxp  22766  ostth2lem2  22768  ostth2lem3  22769  ostth2lem4  22770  ostth2  22771  ostth3  22772  signstfveq0  26826  subfacval3  26925  rmspecsqrnq  29092  rmspecnonsq  29093  rmspecfund  29095  ltrmxnn0  29137  jm2.17a  29148  jm2.17b  29149  jm2.17c  29150  jm2.27c  29201  jm3.1lem1  29211  jm3.1lem2  29212  jm3.1lem3  29213  itgsinexp  29641  wallispilem3  29708
  Copyright terms: Public domain W3C validator