MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz2b1 Structured version   Unicode version

Theorem eluz2b1 11152
Description: Two ways to say "an integer greater than or equal to 2." (Contributed by Paul Chapman, 23-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
eluz2b1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  1  < 
N ) )

Proof of Theorem eluz2b1
StepHypRef Expression
1 2z 10895 . . 3  |-  2  e.  ZZ
21eluz1i 11088 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  2  <_  N ) )
3 1z 10893 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
4 zltp1le 10911 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 1  <  N  <->  ( 1  +  1 )  <_  N ) )
53, 4mpan 670 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1  <  N  <->  ( 1  +  1 )  <_  N ) )
6 df-2 10593 . . . . 5  |-  2  =  ( 1  +  1 )
76breq1i 4454 . . . 4  |-  ( 2  <_  N  <->  ( 1  +  1 )  <_  N )
85, 7syl6bbr 263 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1  <  N  <->  2  <_  N ) )
98pm5.32i 637 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  2  <_  N ) )
102, 9bitr4i 252 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  1  < 
N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   1c1 9492    + caddc 9494    < clt 9627    <_ cle 9628   2c2 10584   ZZcz 10863   ZZ>=cuz 11081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-2 10593  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082
This theorem is referenced by:  eluz2b2  11153  uz2m1nn  11155  uz2mulcl  11158  prmind2  14086  2prm  14091  3prm  14092  sqnprm  14097  coprm  14099  isprm5  14111  prmexpb  14116  pcidlem  14253  mersenne  23246  bposlem1  23303  bposlem5  23307  bposlem6  23308  rmspecpos  30472  jm3.1lem2  30580
  Copyright terms: Public domain W3C validator