Theorem eluz2 11087

Description: Membership in an upper set of integers. We use the fact that a function's value (under our function value definition) is empty outside of its domain to show M e. ZZ. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )

Proof of Theorem eluz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 11086	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
2		simp1 996	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> M e. ZZ )
3		eluz1 11085	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
4		ibar 504	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ( N e. ZZ /\ M <_ N ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) ) )
5	3, 4	bitrd 253	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) ) )
6		3anass 977	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
7	5, 6	syl6bbr 263	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
8	1, 2, 7	pm5.21nii 353	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   e. wcel 1767   class class class wbr 4447   ` cfv 5587   <_ cle 9628   ZZcz 10863   ZZ>=cuz 11081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-fv 5595  df-ov 6286  df-neg 9807  df-z 10864  df-uz 11082

This theorem is referenced by:  eluzuzle  11089  eluzelz  11090  eluzle  11093  uztrn  11097  eluzp1p1  11106  uzm1  11111  uznn0sub  11112  uz3m2nn  11123  1eluzge0  11124  2eluzge0  11125  2eluzge1  11126  raluz2  11129  rexuz2  11131  peano2uz  11133  nn0pzuz  11137  uzind4  11138  zsupss  11170  nn01to3  11174  nn0ge2m1nnALT  11175  elfzuzb  11681  uzsubsubfz  11706  ige2m1fz  11766  elfz0add  11773  4fvwrd4  11789  elfzo2  11799  elfzouz2  11809  fzossrbm1  11821  fzossfzop1  11860  ssfzo12bi  11874  elfzonelfzo  11879  elfzomelpfzo  11881  fzosplitprm1  11886  fzostep1  11889  fzind2  11891  flword2  11916  uzsup  11957  modaddmodup  12017  fzsdom2  12450  ccatval1  12559  swrdtrcfv0  12631  swrdtrcfvl  12637  swrdccatin12lem2a  12672  cshwidxmod  12736  rexuzre  13147  limsupgre  13266  rlimclim1  13330  rlimclim  13331  climrlim2  13332  isercolllem1  13449  isercoll  13452  climcndslem1  13623  bitsmod  13944  smueqlem  13998  prmgt1  14094  prmn2uzge3  14095  modprm0  14188  vdwlem9  14365  strlemor1  14581  strleun  14584  fislw  16448  efgsp1  16558  efgredleme  16564  lt6abl  16697  telgsumfzs  16818  ablfac1eu  16923  znidomb  18383  chfacfscmul0  19142  chfacfscmulfsupp  19143  chfacfpmmul0  19146  chfacfpmmulfsupp  19147  dvfsumlem1  22178  dvfsumlem3  22180  plyaddlem1  22361  coeidlem  22385  ppisval  23121  chtdif  23176  ppidif  23181  ppiublem1  23221  ppiub  23223  chtub  23231  lgsdilem2  23350  lgsquadlem1  23373  lgsquadlem3  23375  chebbnd1lem1  23398  chebbnd1lem2  23399  chebbnd1lem3  23400  dchrisumlem2  23419  dchrvmasumiflem1  23430  mulog2sumlem2  23464  logdivbnd  23485  pntlemg  23527  pntlemq  23530  pntlemf  23534  axlowdim  23956  4cycl4v4e  24358  4cycl4dv4e  24360  wwlknred  24415  wwlkm1edg  24427  clwlkisclwwlklem2fv1  24474  clwlkisclwwlklem1  24479  clwwlkf  24486  clwwlkext2edg  24494  wwlksubclwwlk  24496  clwwisshclwwlem  24498  usg2cwwkdifex  24513  clwlkfclwwlk  24536  eupath2lem3  24671  extwwlkfablem2  24771  numclwwlkovf2ex  24779  numclwlk1lem2f1  24787  frgrareggt1  24809  frgrareg  24810  frgraregord013  24811  ssnnssfz  27281  ballotlemsdom  28106  ballotlemsel1i  28107  ballotlemfrceq  28123  eluzmn  28147  signstfvc  28187  signstfveq0  28190  erdszelem8  28298  climuzcnv  28528  fallfacval4  28758  fdc  29857  eldioph2lem1  30313  hbt  30699  monoords  31089  fmul01lt1lem2  31151  sumnnodd  31188  ioodvbdlimc1lem2  31278  ioodvbdlimc2lem  31280  itgspltprt  31313  stoweidlem11  31327  stoweidlem26  31342  wallispilem4  31384  fourierdlem12  31435  fourierdlem20  31443  fourierdlem41  31464  fourierdlem48  31471  fourierdlem49  31472  fourierdlem50  31473  fourierdlem54  31477  fourierdlem79  31502  fourierdlem102  31525  fourierdlem111  31534  fourierdlem114  31537  eluzge0nn0  31812  ssfz12  31813  elfzlble  31819  el2fzo  31822  fzoopth  31823  ssnn0ssfz  32022