Theorem eluz2 10450

Description: Membership in a set of upper integers. We use the fact that a function's value (under our function value definition) is empty outside of its domain to show M e. ZZ. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )

Proof of Theorem eluz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 10449	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
2		simp1 957	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> M e. ZZ )
3		eluz1 10448	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
4		ibar 491	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ( N e. ZZ /\ M <_ N ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) ) )
5	3, 4	bitrd 245	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) ) )
6		3anass 940	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) <-> ( M e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
7	5, 6	syl6bbr 255	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) ) )
8	1, 2, 7	pm5.21nii 343	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )

Syntax hints:   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   e. wcel 1721   class class class wbr 4172   ` cfv 5413   <_ cle 9077   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444

This theorem is referenced by:  eluzelz  10452  eluzle  10454  uztrn  10458  eluzp1p1  10467  uzm1  10472  uznn0sub  10473  raluz2  10482  rexuz2  10484  peano2uz  10486  uzind4  10490  zsupss  10521  elfzuzb  11009  4fvwrd4  11076  elfzo2  11098  elfzouz2  11108  fzossrbm1  11119  fzostep1  11152  fzind2  11153  flword2  11175  uzsup  11199  fzsdom2  11648  ccatval1  11700  rexuzre  12111  limsupgre  12230  rlimclim1  12294  rlimclim  12295  climrlim2  12296  isercolllem1  12413  isercoll  12416  climcndslem1  12584  bitsmod  12903  smueqlem  12957  vdwlem9  13312  strlemor1  13511  strleun  13514  fislw  15214  efgsp1  15324  efgredleme  15330  lt6abl  15459  ablfac1eu  15586  znidomb  16797  dvfsumlem1  19863  dvfsumlem3  19865  plyaddlem1  20085  coeidlem  20109  ppisval  20839  chtdif  20894  ppidif  20899  ppiublem1  20939  ppiub  20941  chtub  20949  lgsdilem2  21068  lgsquadlem1  21091  lgsquadlem3  21093  chebbnd1lem1  21116  chebbnd1lem2  21117  chebbnd1lem3  21118  dchrisumlem2  21137  dchrvmasumiflem1  21148  mulog2sumlem2  21182  logdivbnd  21203  pntlemg  21245  pntlemq  21248  pntlemf  21252  4cycl4v4e  21606  4cycl4dv4e  21608  eupath2lem3  21654  ssnnssfz  24101  ballotlemsdom  24722  ballotlemsel1i  24723  ballotlemfrceq  24739  erdszelem8  24837  climuzcnv  25061  axlowdim  25804  fdc  26339  eldioph2lem1  26708  hbt  27202  fmul01lt1lem2  27582  stoweidlem11  27627  stoweidlem26  27642  wallispilem4  27684  ssfz12  27976  elfzelfzadd  27982  elfzomelpfzo  27989  elfzonelfzo  27992  swrd0swrd  28009  swrdccatin2  28018  swrdccatin12lem3a  28021  swrdccatin12lem3c  28023  swrdccatin12  28026  swrdccatin12b  28027

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6043  df-neg 9250  df-z 10239  df-uz 10445