MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz1i Structured version   Unicode version

Theorem eluz1i 10856
Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)
Hypothesis
Ref Expression
eluz.1  |-  M  e.  ZZ
Assertion
Ref Expression
eluz1i  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )

Proof of Theorem eluz1i
StepHypRef Expression
1 eluz.1 . 2  |-  M  e.  ZZ
2 eluz1 10853 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) )
31, 2ax-mp 5 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1755   class class class wbr 4280   ` cfv 5406    <_ cle 9407   ZZcz 10634   ZZ>=cuz 10849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pr 4519  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fv 5414  df-ov 6083  df-neg 9586  df-z 10635  df-uz 10850
This theorem is referenced by:  eluzaddi  10875  eluzsubi  10876  eluz2b1  10914  injresinj  11623  faclbnd4lem1  12053  climcndslem1  13295  ef01bndlem  13451  sin01bnd  13452  cos01bnd  13453  sin01gt0  13457  dvradcnv  21771  bposlem3  22510  bposlem4  22511  bposlem5  22512  bposlem9  22516  axlowdimlem16  23026  axlowdimlem17  23027  usgraexvlem  23136  rnlogblem  26312  ballotlem2  26719  ballotlemfc0  26723  ballotlemfcc  26724  nn0prpwlem  28361  jm2.20nn  29191  stoweidlem17  29658  wallispilem4  29709
  Copyright terms: Public domain W3C validator