MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz1i Structured version   Unicode version

Theorem eluz1i 10983
Description: Membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.)
Hypothesis
Ref Expression
eluz.1  |-  M  e.  ZZ
Assertion
Ref Expression
eluz1i  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )

Proof of Theorem eluz1i
StepHypRef Expression
1 eluz.1 . 2  |-  M  e.  ZZ
2 eluz1 10980 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) )
31, 2ax-mp 5 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1758   class class class wbr 4403   ` cfv 5529    <_ cle 9534   ZZcz 10761   ZZ>=cuz 10976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pr 4642  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fv 5537  df-ov 6206  df-neg 9713  df-z 10762  df-uz 10977
This theorem is referenced by:  eluzaddi  11002  eluzsubi  11003  eluz2b1  11041  injresinj  11760  faclbnd4lem1  12190  climcndslem1  13434  ef01bndlem  13590  sin01bnd  13591  cos01bnd  13592  sin01gt0  13596  dvradcnv  22029  bposlem3  22768  bposlem4  22769  bposlem5  22770  bposlem9  22774  axlowdimlem16  23382  axlowdimlem17  23383  usgraexvlem  23492  rnlogblem  26626  ballotlem2  27038  ballotlemfc0  27042  ballotlemfcc  27043  nn0prpwlem  28688  jm2.20nn  29517  stoweidlem17  29983  wallispilem4  30034
  Copyright terms: Public domain W3C validator