Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  elunop2 Unicode version

Theorem elunop2 23469
 Description: An operator is unitary iff it is linear, onto, and idempotent in the norm. Similar to theorem in [AkhiezerGlazman] p. 73, and its converse. (Contributed by NM, 24-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
elunop2
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem elunop2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unoplin 23376 . . 3
2 elunop 23328 . . . 4
32simplbi 447 . . 3
4 unopnorm 23373 . . . 4
54ralrimiva 2749 . . 3
61, 3, 53jca 1134 . 2
7 eleq1 2464 . . 3
8 eleq1 2464 . . . . . . 7
9 foeq1 5608 . . . . . . 7
10 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11
1110fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10
12 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10
1311, 12eqeq12d 2418 . . . . . . . . 9
1413cbvralv 2892 . . . . . . . 8
15 fveq1 5686 . . . . . . . . . . 11
1615fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10
1716eqeq1d 2412 . . . . . . . . 9
1817ralbidv 2686 . . . . . . . 8
1914, 18syl5bb 249 . . . . . . 7
208, 9, 193anbi123d 1254 . . . . . 6
21 eleq1 2464 . . . . . . 7
22 foeq1 5608 . . . . . . 7
23 fveq1 5686 . . . . . . . . . 10
2423fveq2d 5691 . . . . . . . . 9
2524eqeq1d 2412 . . . . . . . 8
2625ralbidv 2686 . . . . . . 7
2721, 22, 263anbi123d 1254 . . . . . 6
28 idlnop 23448 . . . . . . 7
29 f1oi 5672 . . . . . . . 8
30 f1ofo 5640 . . . . . . . 8
3129, 30ax-mp 8 . . . . . . 7
32 fvresi 5883 . . . . . . . . 9
3332fveq2d 5691 . . . . . . . 8
3433rgen 2731 . . . . . . 7
3528, 31, 343pm3.2i 1132 . . . . . 6
3620, 27, 35elimhyp 3747 . . . . 5
3736simp1i 966 . . . 4
3836simp2i 967 . . . 4
3936simp3i 968 . . . 4
4037, 38, 39lnopunii 23468 . . 3
417, 40dedth 3740 . 2
426, 41impbii 181 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 177   w3a 936   wceq 1649   wcel 1721  wral 2666  cif 3699   cid 4453   cres 4839  wfo 5411  wf1o 5412  cfv 5413  (class class class)co 6040  chil 22375   csp 22378  cno 22379  clo 22403  cuo 22405 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-hilex 22455  ax-hfvadd 22456  ax-hvcom 22457  ax-hvass 22458  ax-hv0cl 22459  ax-hvaddid 22460  ax-hfvmul 22461  ax-hvmulid 22462  ax-hvdistr2 22465  ax-hvmul0 22466  ax-hfi 22534  ax-his1 22537  ax-his2 22538  ax-his3 22539  ax-his4 22540 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-hnorm 22424  df-hvsub 22427  df-lnop 23297  df-unop 23299
 Copyright terms: Public domain W3C validator