Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elunirnmbfm Structured version   Unicode version

Theorem elunirnmbfm 26680
Description: The property of being a measurable function (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
elunirnmbfm  |-  ( F  e.  U. ran MblFnM  <->  E. s  e.  U. ran sigAlgebra E. t  e. 
U. ran sigAlgebra ( F  e.  ( U. t  ^m  U. s )  /\  A. x  e.  t  ( `' F " x )  e.  s ) )
Distinct variable group:    t, s, F, x

Proof of Theorem elunirnmbfm
Dummy variables  f 
a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-mbfm 26678 . . . . 5  |- MblFnM  =  ( s  e.  U. ran sigAlgebra , 
t  e.  U. ran sigAlgebra  |->  { f  e.  ( U. t  ^m  U. s )  |  A. x  e.  t  ( `' f
" x )  e.  s } )
21mpt2fun 6204 . . . 4  |-  Fun MblFnM
3 elunirn 5980 . . . 4  |-  ( Fun MblFnM  ->  ( F  e.  U. ran MblFnM  <->  E. a  e.  dom MblFnM F  e.  (MblFnM `  a
) ) )
42, 3ax-mp 5 . . 3  |-  ( F  e.  U. ran MblFnM  <->  E. a  e.  dom MblFnM F  e.  (MblFnM `  a ) )
5 ovex 6128 . . . . . 6  |-  ( U. t  ^m  U. s )  e.  _V
65rabex 4455 . . . . 5  |-  { f  e.  ( U. t  ^m  U. s )  | 
A. x  e.  t  ( `' f "
x )  e.  s }  e.  _V
71, 6dmmpt2 6656 . . . 4  |-  dom MblFnM  =  ( U. ran sigAlgebra  X.  U. ran sigAlgebra )
87rexeqi 2934 . . 3  |-  ( E. a  e.  dom MblFnM F  e.  (MblFnM `  a )  <->  E. a  e.  ( U. ran sigAlgebra 
X.  U. ran sigAlgebra ) F  e.  (MblFnM `  a )
)
9 fveq2 5703 . . . . . 6  |-  ( a  =  <. s ,  t
>.  ->  (MblFnM `  a )  =  (MblFnM `  <. s ,  t >. ) )
10 df-ov 6106 . . . . . 6  |-  ( sMblFnM t )  =  (MblFnM `  <. s ,  t
>. )
119, 10syl6eqr 2493 . . . . 5  |-  ( a  =  <. s ,  t
>.  ->  (MblFnM `  a )  =  ( sMblFnM t
) )
1211eleq2d 2510 . . . 4  |-  ( a  =  <. s ,  t
>.  ->  ( F  e.  (MblFnM `  a )  <->  F  e.  ( sMblFnM t
) ) )
1312rexxp 4994 . . 3  |-  ( E. a  e.  ( U. ran sigAlgebra 
X.  U. ran sigAlgebra ) F  e.  (MblFnM `  a )  <->  E. s  e.  U. ran sigAlgebra E. t  e.  U. ran sigAlgebra F  e.  ( sMblFnM t ) )
144, 8, 133bitri 271 . 2  |-  ( F  e.  U. ran MblFnM  <->  E. s  e.  U. ran sigAlgebra E. t  e. 
U. ran sigAlgebra F  e.  ( sMblFnM t ) )
15 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( s  e.  U. ran sigAlgebra  /\  t  e.  U. ran sigAlgebra )  -> 
s  e.  U. ran sigAlgebra )
16 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( s  e.  U. ran sigAlgebra  /\  t  e.  U. ran sigAlgebra )  -> 
t  e.  U. ran sigAlgebra )
1715, 16ismbfm 26679 . . 3  |-  ( ( s  e.  U. ran sigAlgebra  /\  t  e.  U. ran sigAlgebra )  -> 
( F  e.  ( sMblFnM t )  <->  ( F  e.  ( U. t  ^m  U. s )  /\  A. x  e.  t  ( `' F " x )  e.  s ) ) )
18172rexbiia 2761 . 2  |-  ( E. s  e.  U. ran sigAlgebra E. t  e.  U. ran sigAlgebra F  e.  ( sMblFnM t )  <->  E. s  e.  U. ran sigAlgebra E. t  e.  U. ran sigAlgebra ( F  e.  ( U. t  ^m  U. s )  /\  A. x  e.  t  ( `' F " x )  e.  s ) )
1914, 18bitri 249 1  |-  ( F  e.  U. ran MblFnM  <->  E. s  e.  U. ran sigAlgebra E. t  e. 
U. ran sigAlgebra ( F  e.  ( U. t  ^m  U. s )  /\  A. x  e.  t  ( `' F " x )  e.  s ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2727   E.wrex 2728   {crab 2731   <.cop 3895   U.cuni 4103    X. cxp 4850   `'ccnv 4851   dom cdm 4852   ran crn 4853   "cima 4855   Fun wfun 5424   ` cfv 5430  (class class class)co 6103    ^m cmap 7226  sigAlgebracsiga 26562  MblFnMcmbfm 26677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-id 4648  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-fv 5438  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-mbfm 26678
This theorem is referenced by:  mbfmfun  26681  isanmbfm  26683
  Copyright terms: Public domain W3C validator