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Theorem elunirnmbfm 28397
Description: The property of being a measurable function (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
elunirnmbfm  |-  ( F  e.  U. ran MblFnM  <->  E. s  e.  U. ran sigAlgebra E. t  e. 
U. ran sigAlgebra ( F  e.  ( U. t  ^m  U. s )  /\  A. x  e.  t  ( `' F " x )  e.  s ) )
Distinct variable group:    t, s, F, x

Proof of Theorem elunirnmbfm
Dummy variables  f 
a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-mbfm 28395 . . . . 5  |- MblFnM  =  ( s  e.  U. ran sigAlgebra , 
t  e.  U. ran sigAlgebra  |->  { f  e.  ( U. t  ^m  U. s )  |  A. x  e.  t  ( `' f
" x )  e.  s } )
21mpt2fun 6403 . . . 4  |-  Fun MblFnM
3 elunirn 6164 . . . 4  |-  ( Fun MblFnM  ->  ( F  e.  U. ran MblFnM  <->  E. a  e.  dom MblFnM F  e.  (MblFnM `  a
) ) )
42, 3ax-mp 5 . . 3  |-  ( F  e.  U. ran MblFnM  <->  E. a  e.  dom MblFnM F  e.  (MblFnM `  a ) )
5 ovex 6324 . . . . . 6  |-  ( U. t  ^m  U. s )  e.  _V
65rabex 4607 . . . . 5  |-  { f  e.  ( U. t  ^m  U. s )  | 
A. x  e.  t  ( `' f "
x )  e.  s }  e.  _V
71, 6dmmpt2 6869 . . . 4  |-  dom MblFnM  =  ( U. ran sigAlgebra  X.  U. ran sigAlgebra )
87rexeqi 3059 . . 3  |-  ( E. a  e.  dom MblFnM F  e.  (MblFnM `  a )  <->  E. a  e.  ( U. ran sigAlgebra 
X.  U. ran sigAlgebra ) F  e.  (MblFnM `  a )
)
9 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( a  =  <. s ,  t
>.  ->  (MblFnM `  a )  =  (MblFnM `  <. s ,  t >. ) )
10 df-ov 6299 . . . . . 6  |-  ( sMblFnM t )  =  (MblFnM `  <. s ,  t
>. )
119, 10syl6eqr 2516 . . . . 5  |-  ( a  =  <. s ,  t
>.  ->  (MblFnM `  a )  =  ( sMblFnM t
) )
1211eleq2d 2527 . . . 4  |-  ( a  =  <. s ,  t
>.  ->  ( F  e.  (MblFnM `  a )  <->  F  e.  ( sMblFnM t
) ) )
1312rexxp 5155 . . 3  |-  ( E. a  e.  ( U. ran sigAlgebra 
X.  U. ran sigAlgebra ) F  e.  (MblFnM `  a )  <->  E. s  e.  U. ran sigAlgebra E. t  e.  U. ran sigAlgebra F  e.  ( sMblFnM t ) )
144, 8, 133bitri 271 . 2  |-  ( F  e.  U. ran MblFnM  <->  E. s  e.  U. ran sigAlgebra E. t  e. 
U. ran sigAlgebra F  e.  ( sMblFnM t ) )
15 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( s  e.  U. ran sigAlgebra  /\  t  e.  U. ran sigAlgebra )  -> 
s  e.  U. ran sigAlgebra )
16 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( s  e.  U. ran sigAlgebra  /\  t  e.  U. ran sigAlgebra )  -> 
t  e.  U. ran sigAlgebra )
1715, 16ismbfm 28396 . . 3  |-  ( ( s  e.  U. ran sigAlgebra  /\  t  e.  U. ran sigAlgebra )  -> 
( F  e.  ( sMblFnM t )  <->  ( F  e.  ( U. t  ^m  U. s )  /\  A. x  e.  t  ( `' F " x )  e.  s ) ) )
18172rexbiia 2973 . 2  |-  ( E. s  e.  U. ran sigAlgebra E. t  e.  U. ran sigAlgebra F  e.  ( sMblFnM t )  <->  E. s  e.  U. ran sigAlgebra E. t  e.  U. ran sigAlgebra ( F  e.  ( U. t  ^m  U. s )  /\  A. x  e.  t  ( `' F " x )  e.  s ) )
1914, 18bitri 249 1  |-  ( F  e.  U. ran MblFnM  <->  E. s  e.  U. ran sigAlgebra E. t  e. 
U. ran sigAlgebra ( F  e.  ( U. t  ^m  U. s )  /\  A. x  e.  t  ( `' F " x )  e.  s ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   <.cop 4038   U.cuni 4251    X. cxp 5006   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   ran crn 5009   "cima 5011   Fun wfun 5588   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ^m cmap 7438  sigAlgebracsiga 28280  MblFnMcmbfm 28394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-mbfm 28395
This theorem is referenced by:  mbfmfun  28398  isanmbfm  28400
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