Theorem elunirn 4844

Description: Membership in the union of the range of a function.

Assertion

Ref	Expression
elunirn	|- (Fun F -> (A e. U.ran F <-> E.x e. dom F A e. (F` x)))

Distinct variable groups:   x,A   x,F

Proof of Theorem elunirn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluniima 4843	. 2 |- (Fun F -> (A e. U.(F"dom F) <-> E.x e. dom F A e. (F` x)))
2		imadmrn 4277	. . . 4 |- (F"dom F) = ran F
3	2	unieqi 3187	. . 3 |- U.(F"dom F) = U.ran F
4	3	eleq2i 1961	. 2 |- (A e. U.(F"dom F) <-> A e. U.ran F)
5	1, 4	syl5bbr 593	1 |- (Fun F -> (A e. U.ran F <-> E.x e. dom F A e. (F` x)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   e. wcel 1300  E.wrex 2106  U.cuni 3177  dom cdm 3986  ran crn 3987  "cima 3989  Fun wfun 3992  ` cfv 3998

This theorem is referenced by:  bcthlem29 9305  eltrcl 13932  trcltr 13936  nsn 14874

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014

Copyright terms: Public domain