MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltx Structured version   Unicode version

Theorem eltx 19939
Description: A set in a product is open iff each point is surrounded by an open rectangle. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltx  |-  ( ( J  e.  V  /\  K  e.  W )  ->  ( S  e.  ( J  tX  K )  <->  A. p  e.  S  E. x  e.  J  E. y  e.  K  ( p  e.  (
x  X.  y )  /\  ( x  X.  y )  C_  S
) ) )
Distinct variable groups:    x, p, y, J    K, p, x, y    S, p, x, y
Allowed substitution hints:    V( x, y, p)    W( x, y, p)

Proof of Theorem eltx
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . . 4  |-  ran  (
x  e.  J , 
y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) )  =  ran  (
x  e.  J , 
y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) )
21txval 19935 . . 3  |-  ( ( J  e.  V  /\  K  e.  W )  ->  ( J  tX  K
)  =  ( topGen ` 
ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) ) ) )
32eleq2d 2511 . 2  |-  ( ( J  e.  V  /\  K  e.  W )  ->  ( S  e.  ( J  tX  K )  <-> 
S  e.  ( topGen ` 
ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) ) ) ) )
41txbasex 19937 . . . 4  |-  ( ( J  e.  V  /\  K  e.  W )  ->  ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) )  e. 
_V )
5 eltg2b 19330 . . . 4  |-  ( ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y
) )  e.  _V  ->  ( S  e.  (
topGen `  ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) ) )  <->  A. p  e.  S  E. z  e.  ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y
) ) ( p  e.  z  /\  z  C_  S ) ) )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( J  e.  V  /\  K  e.  W )  ->  ( S  e.  (
topGen `  ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) ) )  <->  A. p  e.  S  E. z  e.  ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y
) ) ( p  e.  z  /\  z  C_  S ) ) )
7 vex 3096 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
8 vex 3096 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
97, 8xpex 6586 . . . . . 6  |-  ( x  X.  y )  e. 
_V
109rgen2w 2803 . . . . 5  |-  A. x  e.  J  A. y  e.  K  ( x  X.  y )  e.  _V
11 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) )  =  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) )
12 eleq2 2514 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( x  X.  y )  ->  (
p  e.  z  <->  p  e.  ( x  X.  y
) ) )
13 sseq1 3508 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( x  X.  y )  ->  (
z  C_  S  <->  ( x  X.  y )  C_  S
) )
1412, 13anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( x  X.  y )  ->  (
( p  e.  z  /\  z  C_  S
)  <->  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  S
) ) )
1511, 14rexrnmpt2 6400 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  J  A. y  e.  K  (
x  X.  y )  e.  _V  ->  ( E. z  e.  ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y
) ) ( p  e.  z  /\  z  C_  S )  <->  E. x  e.  J  E. y  e.  K  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  S
) ) )
1610, 15ax-mp 5 . . . 4  |-  ( E. z  e.  ran  (
x  e.  J , 
y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) ) ( p  e.  z  /\  z  C_  S )  <->  E. x  e.  J  E. y  e.  K  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  S
) )
1716ralbii 2872 . . 3  |-  ( A. p  e.  S  E. z  e.  ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) ) ( p  e.  z  /\  z  C_  S
)  <->  A. p  e.  S  E. x  e.  J  E. y  e.  K  ( p  e.  (
x  X.  y )  /\  ( x  X.  y )  C_  S
) )
186, 17syl6bb 261 . 2  |-  ( ( J  e.  V  /\  K  e.  W )  ->  ( S  e.  (
topGen `  ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) ) )  <->  A. p  e.  S  E. x  e.  J  E. y  e.  K  ( p  e.  (
x  X.  y )  /\  ( x  X.  y )  C_  S
) ) )
193, 18bitrd 253 1  |-  ( ( J  e.  V  /\  K  e.  W )  ->  ( S  e.  ( J  tX  K )  <->  A. p  e.  S  E. x  e.  J  E. y  e.  K  ( p  e.  (
x  X.  y )  /\  ( x  X.  y )  C_  S
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802   A.wral 2791   E.wrex 2792   _Vcvv 3093    C_ wss 3459    X. cxp 4984   ran crn 4987   ` cfv 5575  (class class class)co 6278    |-> cmpt2 6280   topGenctg 14709    tX ctx 19931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-op 4018  df-uni 4232  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-id 4782  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-fv 5583  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-topgen 14715  df-tx 19933
This theorem is referenced by:  txcls  19975  txcnpi  19979  txdis  20003  txindis  20005  txdis1cn  20006  txlly  20007  txnlly  20008  txtube  20011  txcmplem1  20012  hausdiag  20016  tx1stc  20021  qustgplem  20489  txomap  27707  cvmlift2lem10  28627
  Copyright terms: Public domain W3C validator