MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltx Structured version   Unicode version

Theorem eltx 19139
Description: A set in a product is open iff each point is surrounded by an open rectangle. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltx  |-  ( ( J  e.  V  /\  K  e.  W )  ->  ( S  e.  ( J  tX  K )  <->  A. p  e.  S  E. x  e.  J  E. y  e.  K  ( p  e.  (
x  X.  y )  /\  ( x  X.  y )  C_  S
) ) )
Distinct variable groups:    x, p, y, J    K, p, x, y    S, p, x, y
Allowed substitution hints:    V( x, y, p)    W( x, y, p)

Proof of Theorem eltx
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . . 4  |-  ran  (
x  e.  J , 
y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) )  =  ran  (
x  e.  J , 
y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) )
21txval 19135 . . 3  |-  ( ( J  e.  V  /\  K  e.  W )  ->  ( J  tX  K
)  =  ( topGen ` 
ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) ) ) )
32eleq2d 2508 . 2  |-  ( ( J  e.  V  /\  K  e.  W )  ->  ( S  e.  ( J  tX  K )  <-> 
S  e.  ( topGen ` 
ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) ) ) ) )
41txbasex 19137 . . . 4  |-  ( ( J  e.  V  /\  K  e.  W )  ->  ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) )  e. 
_V )
5 eltg2b 18562 . . . 4  |-  ( ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y
) )  e.  _V  ->  ( S  e.  (
topGen `  ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) ) )  <->  A. p  e.  S  E. z  e.  ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y
) ) ( p  e.  z  /\  z  C_  S ) ) )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( J  e.  V  /\  K  e.  W )  ->  ( S  e.  (
topGen `  ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) ) )  <->  A. p  e.  S  E. z  e.  ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y
) ) ( p  e.  z  /\  z  C_  S ) ) )
7 vex 2973 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
8 vex 2973 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
97, 8xpex 6506 . . . . . 6  |-  ( x  X.  y )  e. 
_V
109rgen2w 2782 . . . . 5  |-  A. x  e.  J  A. y  e.  K  ( x  X.  y )  e.  _V
11 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) )  =  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) )
12 eleq2 2502 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( x  X.  y )  ->  (
p  e.  z  <->  p  e.  ( x  X.  y
) ) )
13 sseq1 3375 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( x  X.  y )  ->  (
z  C_  S  <->  ( x  X.  y )  C_  S
) )
1412, 13anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( x  X.  y )  ->  (
( p  e.  z  /\  z  C_  S
)  <->  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  S
) ) )
1511, 14rexrnmpt2 6204 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  J  A. y  e.  K  (
x  X.  y )  e.  _V  ->  ( E. z  e.  ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y
) ) ( p  e.  z  /\  z  C_  S )  <->  E. x  e.  J  E. y  e.  K  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  S
) ) )
1610, 15ax-mp 5 . . . 4  |-  ( E. z  e.  ran  (
x  e.  J , 
y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) ) ( p  e.  z  /\  z  C_  S )  <->  E. x  e.  J  E. y  e.  K  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  S
) )
1716ralbii 2737 . . 3  |-  ( A. p  e.  S  E. z  e.  ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) ) ( p  e.  z  /\  z  C_  S
)  <->  A. p  e.  S  E. x  e.  J  E. y  e.  K  ( p  e.  (
x  X.  y )  /\  ( x  X.  y )  C_  S
) )
186, 17syl6bb 261 . 2  |-  ( ( J  e.  V  /\  K  e.  W )  ->  ( S  e.  (
topGen `  ran  ( x  e.  J ,  y  e.  K  |->  ( x  X.  y ) ) )  <->  A. p  e.  S  E. x  e.  J  E. y  e.  K  ( p  e.  (
x  X.  y )  /\  ( x  X.  y )  C_  S
) ) )
193, 18bitrd 253 1  |-  ( ( J  e.  V  /\  K  e.  W )  ->  ( S  e.  ( J  tX  K )  <->  A. p  e.  S  E. x  e.  J  E. y  e.  K  ( p  e.  (
x  X.  y )  /\  ( x  X.  y )  C_  S
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970    C_ wss 3326    X. cxp 4836   ran crn 4839   ` cfv 5416  (class class class)co 6089    e. cmpt2 6091   topGenctg 14374    tX ctx 19131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-id 4634  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-fv 5424  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-topgen 14380  df-tx 19133
This theorem is referenced by:  txcls  19175  txcnpi  19179  txdis  19203  txindis  19205  txdis1cn  19206  txlly  19207  txnlly  19208  txtube  19211  txcmplem1  19212  hausdiag  19216  tx1stc  19221  divstgplem  19689  cvmlift2lem10  27199
  Copyright terms: Public domain W3C validator