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Theorem eltsms 20797
Description: The property of being a sum of the sequence  F in the topological commutative monoid  G. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eltsms.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
eltsms.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
eltsms.s  |-  S  =  ( ~P A  i^i  Fin )
eltsms.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
eltsms.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
eltsms.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
eltsms.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
Assertion
Ref Expression
eltsms  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( G tsums  F )  <->  ( C  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  u ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, u, B    u, C    z, u, F, y    u, G, y, z    u, J, z   
z, A    ph, u, y, z    u, S, y, z
Allowed substitution hints:    A( y, u)    B( z)    C( y, z)    J( y)    V( y, z, u)

Proof of Theorem eltsms
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eltsms.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eltsms.j . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
3 eltsms.s . . . 4  |-  S  =  ( ~P A  i^i  Fin )
4 eqid 2454 . . . 4  |-  ran  (
z  e.  S  |->  { y  e.  S  | 
z  C_  y }
)  =  ran  (
z  e.  S  |->  { y  e.  S  | 
z  C_  y }
)
5 eltsms.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
6 eltsms.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
7 eltsms.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7tsmsval 20795 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( ( J 
fLimf  ( S filGen ran  (
z  e.  S  |->  { y  e.  S  | 
z  C_  y }
) ) ) `  ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) ) )
98eleq2d 2524 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( G tsums  F )  <->  C  e.  ( ( J  fLimf  ( S filGen ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z 
C_  y } ) ) ) `  (
y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) ) ) )
10 eltsms.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
111, 2istps 19604 . . . 4  |-  ( G  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  B ) )
1210, 11sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
13 eqid 2454 . . . 4  |-  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z 
C_  y } )  =  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } )
143, 13, 4, 6tsmsfbas 20792 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } )  e.  (
fBas `  S )
)
151, 3, 5, 6, 7tsmslem1 20793 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  B
)
16 eqid 2454 . . . 4  |-  ( y  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) ) )  =  ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) )
1715, 16fmptd 6031 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) : S --> B )
18 eqid 2454 . . . 4  |-  ( S
filGen ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) )  =  ( S filGen ran  (
z  e.  S  |->  { y  e.  S  | 
z  C_  y }
) )
1918flffbas 20662 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  B )  /\  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } )  e.  ( fBas `  S )  /\  (
y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) : S --> B )  -> 
( C  e.  ( ( J  fLimf  ( S
filGen ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ) ) `
 ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) ) )  <->  ( C  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) "
w )  C_  u
) ) ) )
2012, 14, 17, 19syl3anc 1226 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( J  fLimf  ( S
filGen ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ) ) `
 ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) ) )  <->  ( C  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) "
w )  C_  u
) ) ) )
21 pwexg 4621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  _V )
22 inex1g 4580 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V )
236, 21, 223syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V )
243, 23syl5eqel 2546 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
2524adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  S  e.  _V )
26 rabexg 4587 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  _V  ->  { y  e.  S  |  z 
C_  y }  e.  _V )
2725, 26syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  { y  e.  S  |  z 
C_  y }  e.  _V )
2827ralrimivw 2869 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  A. z  e.  S  { y  e.  S  |  z  C_  y }  e.  _V )
29 imaeq2 5321 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  { y  e.  S  |  z  C_  y }  ->  ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) "
w )  =  ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) " { y  e.  S  |  z  C_  y } ) )
3029sseq1d 3516 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  { y  e.  S  |  z  C_  y }  ->  ( ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) "
w )  C_  u  <->  ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) " { y  e.  S  |  z  C_  y } )  C_  u )
)
3113, 30rexrnmpt 6017 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  S  {
y  e.  S  | 
z  C_  y }  e.  _V  ->  ( E. w  e.  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z 
C_  y } ) ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) )
" w )  C_  u 
<->  E. z  e.  S  ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) )
" { y  e.  S  |  z  C_  y } )  C_  u
) )
3228, 31syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  ( E. w  e.  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ( ( y  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) ) ) " w
)  C_  u  <->  E. z  e.  S  ( (
y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) " { y  e.  S  |  z  C_  y } )  C_  u )
)
33 funmpt 5606 . . . . . . . . 9  |-  Fun  (
y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) )
34 ssrab2 3571 . . . . . . . . . 10  |-  { y  e.  S  |  z 
C_  y }  C_  S
35 ovex 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  _V
3635, 16dmmpti 5692 . . . . . . . . . 10  |-  dom  (
y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) )  =  S
3734, 36sseqtr4i 3522 . . . . . . . . 9  |-  { y  e.  S  |  z 
C_  y }  C_  dom  ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) )
38 funimass3 5979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) )  /\  { y  e.  S  |  z  C_  y }  C_  dom  (
y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) )  ->  ( ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) " { y  e.  S  |  z  C_  y } )  C_  u  <->  { y  e.  S  |  z  C_  y }  C_  ( `' ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) )
" u ) ) )
3933, 37, 38mp2an 670 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) " { y  e.  S  |  z  C_  y } )  C_  u  <->  { y  e.  S  |  z  C_  y }  C_  ( `' ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) )
" u ) )
4016mptpreima 5483 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) "
u )  =  {
y  e.  S  | 
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u }
4140sseq2i 3514 . . . . . . . 8  |-  ( { y  e.  S  | 
z  C_  y }  C_  ( `' ( y  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) ) ) " u
)  <->  { y  e.  S  |  z  C_  y } 
C_  { y  e.  S  |  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u }
)
42 ss2rab 3562 . . . . . . . 8  |-  ( { y  e.  S  | 
z  C_  y }  C_ 
{ y  e.  S  |  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u }  <->  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  u ) )
4339, 41, 423bitri 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) " { y  e.  S  |  z  C_  y } )  C_  u  <->  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  u ) )
4443rexbii 2956 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  S  ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) " { y  e.  S  |  z  C_  y } )  C_  u  <->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  u ) )
4532, 44syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  ( E. w  e.  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ( ( y  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) ) ) " w
)  C_  u  <->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  u ) ) )
4645imbi2d 314 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  (
( C  e.  u  ->  E. w  e.  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ( ( y  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) ) ) " w
)  C_  u )  <->  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) ) ) )
4746ralbidva 2890 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) "
w )  C_  u
)  <->  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) ) ) )
4847anbi2d 701 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) "
w )  C_  u
) )  <->  ( C  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  u ) ) ) ) )
499, 20, 483bitrd 279 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( G tsums  F )  <->  ( C  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  u ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808   _Vcvv 3106    i^i cin 3460    C_ wss 3461   ~Pcpw 3999    |-> cmpt 4497   `'ccnv 4987   dom cdm 4988   ran crn 4989    |` cres 4990   "cima 4991   Fun wfun 5564   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Fincfn 7509   Basecbs 14716   TopOpenctopn 14911    gsumg cgsu 14930  CMndccmn 16997   fBascfbas 18601   filGencfg 18602  TopOnctopon 19562   TopSpctps 19564    fLimf cflf 20602   tsums ctsu 20790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-hash 12388  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-top 19566  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-ntr 19688  df-nei 19766  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-tsms 20791
This theorem is referenced by:  tsmsi  20798  tsmscl  20799  tsmsgsum  20803  tsmsgsumOLD  20806  tsmssubm  20810  tsmsresOLD  20811  tsmsres  20812  tsmsf1o  20813  tsmsxp  20823  xrge0tsms  21505  xrge0tsmsd  28010
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