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Theorem eltsms 19718
Description: The property of being a sum of the sequence  F in the topological commutative monoid  G. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eltsms.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
eltsms.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
eltsms.s  |-  S  =  ( ~P A  i^i  Fin )
eltsms.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
eltsms.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
eltsms.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
eltsms.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
Assertion
Ref Expression
eltsms  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( G tsums  F )  <->  ( C  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  u ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, u, B    u, C    z, u, F, y    u, G, y, z    u, J, z   
z, A    ph, u, y, z    u, S, y, z
Allowed substitution hints:    A( y, u)    B( z)    C( y, z)    J( y)    V( y, z, u)

Proof of Theorem eltsms
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eltsms.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eltsms.j . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
3 eltsms.s . . . 4  |-  S  =  ( ~P A  i^i  Fin )
4 eqid 2443 . . . 4  |-  ran  (
z  e.  S  |->  { y  e.  S  | 
z  C_  y }
)  =  ran  (
z  e.  S  |->  { y  e.  S  | 
z  C_  y }
)
5 eltsms.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
6 eltsms.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
7 eltsms.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7tsmsval 19716 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( ( J 
fLimf  ( S filGen ran  (
z  e.  S  |->  { y  e.  S  | 
z  C_  y }
) ) ) `  ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) ) )
98eleq2d 2510 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( G tsums  F )  <->  C  e.  ( ( J  fLimf  ( S filGen ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z 
C_  y } ) ) ) `  (
y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) ) ) )
10 eltsms.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
111, 2istps 18556 . . . 4  |-  ( G  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  B ) )
1210, 11sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
13 eqid 2443 . . . 4  |-  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z 
C_  y } )  =  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } )
143, 13, 4, 6tsmsfbas 19713 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } )  e.  (
fBas `  S )
)
151, 3, 5, 6, 7tsmslem1 19714 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  B
)
16 eqid 2443 . . . 4  |-  ( y  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) ) )  =  ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) )
1715, 16fmptd 5882 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) : S --> B )
18 eqid 2443 . . . 4  |-  ( S
filGen ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) )  =  ( S filGen ran  (
z  e.  S  |->  { y  e.  S  | 
z  C_  y }
) )
1918flffbas 19583 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  B )  /\  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } )  e.  ( fBas `  S )  /\  (
y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) : S --> B )  -> 
( C  e.  ( ( J  fLimf  ( S
filGen ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ) ) `
 ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) ) )  <->  ( C  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) "
w )  C_  u
) ) ) )
2012, 14, 17, 19syl3anc 1218 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( J  fLimf  ( S
filGen ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ) ) `
 ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) ) )  <->  ( C  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) "
w )  C_  u
) ) ) )
21 pwexg 4491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  _V )
22 inex1g 4450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V )
236, 21, 223syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V )
243, 23syl5eqel 2527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
2524adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  S  e.  _V )
26 rabexg 4457 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  _V  ->  { y  e.  S  |  z 
C_  y }  e.  _V )
2725, 26syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  { y  e.  S  |  z 
C_  y }  e.  _V )
2827ralrimivw 2815 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  A. z  e.  S  { y  e.  S  |  z  C_  y }  e.  _V )
29 imaeq2 5180 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  { y  e.  S  |  z  C_  y }  ->  ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) "
w )  =  ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) " { y  e.  S  |  z  C_  y } ) )
3029sseq1d 3398 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  { y  e.  S  |  z  C_  y }  ->  ( ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) "
w )  C_  u  <->  ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) " { y  e.  S  |  z  C_  y } )  C_  u )
)
3113, 30rexrnmpt 5868 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  S  {
y  e.  S  | 
z  C_  y }  e.  _V  ->  ( E. w  e.  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z 
C_  y } ) ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) )
" w )  C_  u 
<->  E. z  e.  S  ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) )
" { y  e.  S  |  z  C_  y } )  C_  u
) )
3228, 31syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  ( E. w  e.  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ( ( y  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) ) ) " w
)  C_  u  <->  E. z  e.  S  ( (
y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) " { y  e.  S  |  z  C_  y } )  C_  u )
)
33 funmpt 5469 . . . . . . . . 9  |-  Fun  (
y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) )
34 ssrab2 3452 . . . . . . . . . 10  |-  { y  e.  S  |  z 
C_  y }  C_  S
35 ovex 6131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  _V
3635, 16dmmpti 5555 . . . . . . . . . 10  |-  dom  (
y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) )  =  S
3734, 36sseqtr4i 3404 . . . . . . . . 9  |-  { y  e.  S  |  z 
C_  y }  C_  dom  ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) )
38 funimass3 5834 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) )  /\  { y  e.  S  |  z  C_  y }  C_  dom  (
y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) )  ->  ( ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) " { y  e.  S  |  z  C_  y } )  C_  u  <->  { y  e.  S  |  z  C_  y }  C_  ( `' ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) )
" u ) ) )
3933, 37, 38mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) " { y  e.  S  |  z  C_  y } )  C_  u  <->  { y  e.  S  |  z  C_  y }  C_  ( `' ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) )
" u ) )
4016mptpreima 5346 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) "
u )  =  {
y  e.  S  | 
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u }
4140sseq2i 3396 . . . . . . . 8  |-  ( { y  e.  S  | 
z  C_  y }  C_  ( `' ( y  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) ) ) " u
)  <->  { y  e.  S  |  z  C_  y } 
C_  { y  e.  S  |  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u }
)
42 ss2rab 3443 . . . . . . . 8  |-  ( { y  e.  S  | 
z  C_  y }  C_ 
{ y  e.  S  |  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u }  <->  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  u ) )
4339, 41, 423bitri 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) " { y  e.  S  |  z  C_  y } )  C_  u  <->  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  u ) )
4443rexbii 2755 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  S  ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) " { y  e.  S  |  z  C_  y } )  C_  u  <->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  u ) )
4532, 44syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  ( E. w  e.  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ( ( y  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) ) ) " w
)  C_  u  <->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  u ) ) )
4645imbi2d 316 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  (
( C  e.  u  ->  E. w  e.  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ( ( y  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) ) ) " w
)  C_  u )  <->  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) ) ) )
4746ralbidva 2746 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) "
w )  C_  u
)  <->  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) ) ) )
4847anbi2d 703 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) "
w )  C_  u
) )  <->  ( C  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  u ) ) ) ) )
499, 20, 483bitrd 279 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( G tsums  F )  <->  ( C  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  u ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2730   E.wrex 2731   {crab 2734   _Vcvv 2987    i^i cin 3342    C_ wss 3343   ~Pcpw 3875    e. cmpt 4365   `'ccnv 4854   dom cdm 4855   ran crn 4856    |` cres 4857   "cima 4858   Fun wfun 5427   -->wf 5429   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   Fincfn 7325   Basecbs 14189   TopOpenctopn 14375    gsumg cgsu 14394  CMndccmn 16292   fBascfbas 17819   filGencfg 17820  TopOnctopon 18514   TopSpctps 18516    fLimf cflf 19523   tsums ctsu 19711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-se 4695  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-isom 5442  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-supp 6706  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-oadd 6939  df-er 7116  df-map 7231  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-fsupp 7636  df-oi 7739  df-card 8124  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-nn 10338  df-n0 10595  df-z 10662  df-uz 10877  df-fz 11453  df-fzo 11564  df-seq 11822  df-hash 12119  df-0g 14395  df-gsum 14396  df-mnd 15430  df-cntz 15850  df-cmn 16294  df-fbas 17829  df-fg 17830  df-top 18518  df-topon 18521  df-topsp 18522  df-ntr 18639  df-nei 18717  df-fil 19434  df-fm 19526  df-flim 19527  df-flf 19528  df-tsms 19712
This theorem is referenced by:  tsmsi  19719  tsmscl  19720  tsmsgsum  19724  tsmsgsumOLD  19727  tsmssubm  19731  tsmsresOLD  19732  tsmsres  19733  tsmsf1o  19734  tsmsxp  19744  xrge0tsms  20426  xrge0tsmsd  26268
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