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Theorem eltsms 19662
Description: The property of being a sum of the sequence  F in the topological commutative monoid  G. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eltsms.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
eltsms.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
eltsms.s  |-  S  =  ( ~P A  i^i  Fin )
eltsms.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
eltsms.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
eltsms.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
eltsms.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
Assertion
Ref Expression
eltsms  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( G tsums  F )  <->  ( C  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  u ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, u, B    u, C    z, u, F, y    u, G, y, z    u, J, z   
z, A    ph, u, y, z    u, S, y, z
Allowed substitution hints:    A( y, u)    B( z)    C( y, z)    J( y)    V( y, z, u)

Proof of Theorem eltsms
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eltsms.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eltsms.j . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
3 eltsms.s . . . 4  |-  S  =  ( ~P A  i^i  Fin )
4 eqid 2441 . . . 4  |-  ran  (
z  e.  S  |->  { y  e.  S  | 
z  C_  y }
)  =  ran  (
z  e.  S  |->  { y  e.  S  | 
z  C_  y }
)
5 eltsms.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
6 eltsms.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
7 eltsms.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7tsmsval 19660 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( ( J 
fLimf  ( S filGen ran  (
z  e.  S  |->  { y  e.  S  | 
z  C_  y }
) ) ) `  ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) ) )
98eleq2d 2508 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( G tsums  F )  <->  C  e.  ( ( J  fLimf  ( S filGen ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z 
C_  y } ) ) ) `  (
y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) ) ) )
10 eltsms.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
111, 2istps 18500 . . . 4  |-  ( G  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  B ) )
1210, 11sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
13 eqid 2441 . . . 4  |-  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z 
C_  y } )  =  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } )
143, 13, 4, 6tsmsfbas 19657 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } )  e.  (
fBas `  S )
)
151, 3, 5, 6, 7tsmslem1 19658 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  B
)
16 eqid 2441 . . . 4  |-  ( y  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) ) )  =  ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) )
1715, 16fmptd 5864 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) : S --> B )
18 eqid 2441 . . . 4  |-  ( S
filGen ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) )  =  ( S filGen ran  (
z  e.  S  |->  { y  e.  S  | 
z  C_  y }
) )
1918flffbas 19527 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  B )  /\  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } )  e.  ( fBas `  S )  /\  (
y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) : S --> B )  -> 
( C  e.  ( ( J  fLimf  ( S
filGen ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ) ) `
 ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) ) )  <->  ( C  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) "
w )  C_  u
) ) ) )
2012, 14, 17, 19syl3anc 1213 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( J  fLimf  ( S
filGen ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ) ) `
 ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) ) )  <->  ( C  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) "
w )  C_  u
) ) ) )
21 pwexg 4473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  _V )
22 inex1g 4432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V )
236, 21, 223syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V )
243, 23syl5eqel 2525 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
2524adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  S  e.  _V )
26 rabexg 4439 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  _V  ->  { y  e.  S  |  z 
C_  y }  e.  _V )
2725, 26syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  { y  e.  S  |  z 
C_  y }  e.  _V )
2827ralrimivw 2798 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  A. z  e.  S  { y  e.  S  |  z  C_  y }  e.  _V )
29 imaeq2 5162 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  { y  e.  S  |  z  C_  y }  ->  ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) "
w )  =  ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) " { y  e.  S  |  z  C_  y } ) )
3029sseq1d 3380 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  { y  e.  S  |  z  C_  y }  ->  ( ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) "
w )  C_  u  <->  ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) " { y  e.  S  |  z  C_  y } )  C_  u )
)
3113, 30rexrnmpt 5850 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  S  {
y  e.  S  | 
z  C_  y }  e.  _V  ->  ( E. w  e.  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z 
C_  y } ) ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) )
" w )  C_  u 
<->  E. z  e.  S  ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) )
" { y  e.  S  |  z  C_  y } )  C_  u
) )
3228, 31syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  ( E. w  e.  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ( ( y  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) ) ) " w
)  C_  u  <->  E. z  e.  S  ( (
y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) " { y  e.  S  |  z  C_  y } )  C_  u )
)
33 funmpt 5451 . . . . . . . . 9  |-  Fun  (
y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) )
34 ssrab2 3434 . . . . . . . . . 10  |-  { y  e.  S  |  z 
C_  y }  C_  S
35 ovex 6115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  _V
3635, 16dmmpti 5537 . . . . . . . . . 10  |-  dom  (
y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) )  =  S
3734, 36sseqtr4i 3386 . . . . . . . . 9  |-  { y  e.  S  |  z 
C_  y }  C_  dom  ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) )
38 funimass3 5816 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) )  /\  { y  e.  S  |  z  C_  y }  C_  dom  (
y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) )  ->  ( ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) " { y  e.  S  |  z  C_  y } )  C_  u  <->  { y  e.  S  |  z  C_  y }  C_  ( `' ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) )
" u ) ) )
3933, 37, 38mp2an 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) " { y  e.  S  |  z  C_  y } )  C_  u  <->  { y  e.  S  |  z  C_  y }  C_  ( `' ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) )
" u ) )
4016mptpreima 5328 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) "
u )  =  {
y  e.  S  | 
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u }
4140sseq2i 3378 . . . . . . . 8  |-  ( { y  e.  S  | 
z  C_  y }  C_  ( `' ( y  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) ) ) " u
)  <->  { y  e.  S  |  z  C_  y } 
C_  { y  e.  S  |  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u }
)
42 ss2rab 3425 . . . . . . . 8  |-  ( { y  e.  S  | 
z  C_  y }  C_ 
{ y  e.  S  |  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u }  <->  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  u ) )
4339, 41, 423bitri 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) " { y  e.  S  |  z  C_  y } )  C_  u  <->  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  u ) )
4443rexbii 2738 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  S  ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) " { y  e.  S  |  z  C_  y } )  C_  u  <->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  u ) )
4532, 44syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  ( E. w  e.  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ( ( y  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) ) ) " w
)  C_  u  <->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  u ) ) )
4645imbi2d 316 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  (
( C  e.  u  ->  E. w  e.  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ( ( y  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) ) ) " w
)  C_  u )  <->  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) ) ) )
4746ralbidva 2729 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) "
w )  C_  u
)  <->  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) ) ) )
4847anbi2d 698 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) "
w )  C_  u
) )  <->  ( C  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  u ) ) ) ) )
499, 20, 483bitrd 279 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( G tsums  F )  <->  ( C  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  u ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717   _Vcvv 2970    i^i cin 3324    C_ wss 3325   ~Pcpw 3857    e. cmpt 4347   `'ccnv 4835   dom cdm 4836   ran crn 4837    |` cres 4838   "cima 4839   Fun wfun 5409   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Fincfn 7306   Basecbs 14170   TopOpenctopn 14356    gsumg cgsu 14375  CMndccmn 16270   fBascfbas 17763   filGencfg 17764  TopOnctopon 18458   TopSpctps 18460    fLimf cflf 19467   tsums ctsu 19655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-hash 12100  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-mnd 15411  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-top 18462  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-ntr 18583  df-nei 18661  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-tsms 19656
This theorem is referenced by:  tsmsi  19663  tsmscl  19664  tsmsgsum  19668  tsmsgsumOLD  19671  tsmssubm  19675  tsmsresOLD  19676  tsmsres  19677  tsmsf1o  19678  tsmsxp  19688  xrge0tsms  20370  xrge0tsmsd  26188
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