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Theorem eltsms 20394
Description: The property of being a sum of the sequence  F in the topological commutative monoid  G. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eltsms.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
eltsms.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
eltsms.s  |-  S  =  ( ~P A  i^i  Fin )
eltsms.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
eltsms.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
eltsms.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
eltsms.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
Assertion
Ref Expression
eltsms  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( G tsums  F )  <->  ( C  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  u ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, u, B    u, C    z, u, F, y    u, G, y, z    u, J, z   
z, A    ph, u, y, z    u, S, y, z
Allowed substitution hints:    A( y, u)    B( z)    C( y, z)    J( y)    V( y, z, u)

Proof of Theorem eltsms
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eltsms.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eltsms.j . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
3 eltsms.s . . . 4  |-  S  =  ( ~P A  i^i  Fin )
4 eqid 2467 . . . 4  |-  ran  (
z  e.  S  |->  { y  e.  S  | 
z  C_  y }
)  =  ran  (
z  e.  S  |->  { y  e.  S  | 
z  C_  y }
)
5 eltsms.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
6 eltsms.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
7 eltsms.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7tsmsval 20392 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( ( J 
fLimf  ( S filGen ran  (
z  e.  S  |->  { y  e.  S  | 
z  C_  y }
) ) ) `  ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) ) )
98eleq2d 2537 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( G tsums  F )  <->  C  e.  ( ( J  fLimf  ( S filGen ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z 
C_  y } ) ) ) `  (
y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) ) ) )
10 eltsms.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
111, 2istps 19232 . . . 4  |-  ( G  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  B ) )
1210, 11sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
13 eqid 2467 . . . 4  |-  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z 
C_  y } )  =  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } )
143, 13, 4, 6tsmsfbas 20389 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } )  e.  (
fBas `  S )
)
151, 3, 5, 6, 7tsmslem1 20390 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  B
)
16 eqid 2467 . . . 4  |-  ( y  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) ) )  =  ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) )
1715, 16fmptd 6045 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) : S --> B )
18 eqid 2467 . . . 4  |-  ( S
filGen ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) )  =  ( S filGen ran  (
z  e.  S  |->  { y  e.  S  | 
z  C_  y }
) )
1918flffbas 20259 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  B )  /\  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } )  e.  ( fBas `  S )  /\  (
y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) : S --> B )  -> 
( C  e.  ( ( J  fLimf  ( S
filGen ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ) ) `
 ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) ) )  <->  ( C  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) "
w )  C_  u
) ) ) )
2012, 14, 17, 19syl3anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( J  fLimf  ( S
filGen ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ) ) `
 ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) ) )  <->  ( C  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) "
w )  C_  u
) ) ) )
21 pwexg 4631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  _V )
22 inex1g 4590 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V )
236, 21, 223syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V )
243, 23syl5eqel 2559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
2524adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  S  e.  _V )
26 rabexg 4597 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  _V  ->  { y  e.  S  |  z 
C_  y }  e.  _V )
2725, 26syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  { y  e.  S  |  z 
C_  y }  e.  _V )
2827ralrimivw 2879 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  A. z  e.  S  { y  e.  S  |  z  C_  y }  e.  _V )
29 imaeq2 5333 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  { y  e.  S  |  z  C_  y }  ->  ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) "
w )  =  ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) " { y  e.  S  |  z  C_  y } ) )
3029sseq1d 3531 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  { y  e.  S  |  z  C_  y }  ->  ( ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) "
w )  C_  u  <->  ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) " { y  e.  S  |  z  C_  y } )  C_  u )
)
3113, 30rexrnmpt 6031 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  S  {
y  e.  S  | 
z  C_  y }  e.  _V  ->  ( E. w  e.  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z 
C_  y } ) ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) )
" w )  C_  u 
<->  E. z  e.  S  ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) )
" { y  e.  S  |  z  C_  y } )  C_  u
) )
3228, 31syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  ( E. w  e.  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ( ( y  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) ) ) " w
)  C_  u  <->  E. z  e.  S  ( (
y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) " { y  e.  S  |  z  C_  y } )  C_  u )
)
33 funmpt 5624 . . . . . . . . 9  |-  Fun  (
y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) )
34 ssrab2 3585 . . . . . . . . . 10  |-  { y  e.  S  |  z 
C_  y }  C_  S
35 ovex 6309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  _V
3635, 16dmmpti 5710 . . . . . . . . . 10  |-  dom  (
y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) )  =  S
3734, 36sseqtr4i 3537 . . . . . . . . 9  |-  { y  e.  S  |  z 
C_  y }  C_  dom  ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) )
38 funimass3 5997 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) )  /\  { y  e.  S  |  z  C_  y }  C_  dom  (
y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) )  ->  ( ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) " { y  e.  S  |  z  C_  y } )  C_  u  <->  { y  e.  S  |  z  C_  y }  C_  ( `' ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) )
" u ) ) )
3933, 37, 38mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) " { y  e.  S  |  z  C_  y } )  C_  u  <->  { y  e.  S  |  z  C_  y }  C_  ( `' ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) )
" u ) )
4016mptpreima 5500 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) "
u )  =  {
y  e.  S  | 
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u }
4140sseq2i 3529 . . . . . . . 8  |-  ( { y  e.  S  | 
z  C_  y }  C_  ( `' ( y  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) ) ) " u
)  <->  { y  e.  S  |  z  C_  y } 
C_  { y  e.  S  |  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u }
)
42 ss2rab 3576 . . . . . . . 8  |-  ( { y  e.  S  | 
z  C_  y }  C_ 
{ y  e.  S  |  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u }  <->  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  u ) )
4339, 41, 423bitri 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) " { y  e.  S  |  z  C_  y } )  C_  u  <->  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  u ) )
4443rexbii 2965 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  S  ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) " { y  e.  S  |  z  C_  y } )  C_  u  <->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  u ) )
4532, 44syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  ( E. w  e.  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ( ( y  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) ) ) " w
)  C_  u  <->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  u ) ) )
4645imbi2d 316 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  (
( C  e.  u  ->  E. w  e.  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ( ( y  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) ) ) " w
)  C_  u )  <->  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) ) ) )
4746ralbidva 2900 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) "
w )  C_  u
)  <->  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) ) ) )
4847anbi2d 703 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) "
w )  C_  u
) )  <->  ( C  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  u ) ) ) ) )
499, 20, 483bitrd 279 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( G tsums  F )  <->  ( C  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  u ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   ran crn 5000    |` cres 5001   "cima 5002   Fun wfun 5582   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Fincfn 7516   Basecbs 14490   TopOpenctopn 14677    gsumg cgsu 14696  CMndccmn 16604   fBascfbas 18205   filGencfg 18206  TopOnctopon 19190   TopSpctps 19192    fLimf cflf 20199   tsums ctsu 20387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-hash 12374  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-mnd 15732  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-top 19194  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-ntr 19315  df-nei 19393  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-tsms 20388
This theorem is referenced by:  tsmsi  20395  tsmscl  20396  tsmsgsum  20400  tsmsgsumOLD  20403  tsmssubm  20407  tsmsresOLD  20408  tsmsres  20409  tsmsf1o  20410  tsmsxp  20420  xrge0tsms  21102  xrge0tsmsd  27466
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