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Theorem eltsms 21225
Description: The property of being a sum of the sequence  F in the topological commutative monoid  G. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eltsms.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
eltsms.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
eltsms.s  |-  S  =  ( ~P A  i^i  Fin )
eltsms.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
eltsms.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
eltsms.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
eltsms.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
Assertion
Ref Expression
eltsms  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( G tsums  F )  <->  ( C  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  u ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, u, B    u, C    z, u, F, y    u, G, y, z    u, J, z   
z, A    ph, u, y, z    u, S, y, z
Allowed substitution hints:    A( y, u)    B( z)    C( y, z)    J( y)    V( y, z, u)

Proof of Theorem eltsms
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eltsms.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eltsms.j . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
3 eltsms.s . . . 4  |-  S  =  ( ~P A  i^i  Fin )
4 eqid 2471 . . . 4  |-  ran  (
z  e.  S  |->  { y  e.  S  | 
z  C_  y }
)  =  ran  (
z  e.  S  |->  { y  e.  S  | 
z  C_  y }
)
5 eltsms.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
6 eltsms.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
7 eltsms.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7tsmsval 21223 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( ( J 
fLimf  ( S filGen ran  (
z  e.  S  |->  { y  e.  S  | 
z  C_  y }
) ) ) `  ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) ) )
98eleq2d 2534 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( G tsums  F )  <->  C  e.  ( ( J  fLimf  ( S filGen ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z 
C_  y } ) ) ) `  (
y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) ) ) )
10 eltsms.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
111, 2istps 20028 . . . 4  |-  ( G  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  B ) )
1210, 11sylib 201 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
13 eqid 2471 . . . 4  |-  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z 
C_  y } )  =  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } )
143, 13, 4, 6tsmsfbas 21220 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } )  e.  (
fBas `  S )
)
151, 3, 5, 6, 7tsmslem1 21221 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  B
)
16 eqid 2471 . . . 4  |-  ( y  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) ) )  =  ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) )
1715, 16fmptd 6061 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) : S --> B )
18 eqid 2471 . . . 4  |-  ( S
filGen ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) )  =  ( S filGen ran  (
z  e.  S  |->  { y  e.  S  | 
z  C_  y }
) )
1918flffbas 21088 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  B )  /\  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } )  e.  ( fBas `  S )  /\  (
y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) : S --> B )  -> 
( C  e.  ( ( J  fLimf  ( S
filGen ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ) ) `
 ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) ) )  <->  ( C  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) "
w )  C_  u
) ) ) )
2012, 14, 17, 19syl3anc 1292 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( J  fLimf  ( S
filGen ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ) ) `
 ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) ) )  <->  ( C  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) "
w )  C_  u
) ) ) )
21 pwexg 4585 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  _V )
22 inex1g 4539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V )
236, 21, 223syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V )
243, 23syl5eqel 2553 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
2524adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  S  e.  _V )
26 rabexg 4549 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  _V  ->  { y  e.  S  |  z 
C_  y }  e.  _V )
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  { y  e.  S  |  z 
C_  y }  e.  _V )
2827ralrimivw 2810 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  A. z  e.  S  { y  e.  S  |  z  C_  y }  e.  _V )
29 imaeq2 5170 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  { y  e.  S  |  z  C_  y }  ->  ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) "
w )  =  ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) " { y  e.  S  |  z  C_  y } ) )
3029sseq1d 3445 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  { y  e.  S  |  z  C_  y }  ->  ( ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) "
w )  C_  u  <->  ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) " { y  e.  S  |  z  C_  y } )  C_  u )
)
3113, 30rexrnmpt 6047 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  S  {
y  e.  S  | 
z  C_  y }  e.  _V  ->  ( E. w  e.  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z 
C_  y } ) ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) )
" w )  C_  u 
<->  E. z  e.  S  ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) )
" { y  e.  S  |  z  C_  y } )  C_  u
) )
3228, 31syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  ( E. w  e.  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ( ( y  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) ) ) " w
)  C_  u  <->  E. z  e.  S  ( (
y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) " { y  e.  S  |  z  C_  y } )  C_  u )
)
33 funmpt 5625 . . . . . . . . 9  |-  Fun  (
y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) )
34 ssrab2 3500 . . . . . . . . . 10  |-  { y  e.  S  |  z 
C_  y }  C_  S
35 ovex 6336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  _V
3635, 16dmmpti 5717 . . . . . . . . . 10  |-  dom  (
y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) )  =  S
3734, 36sseqtr4i 3451 . . . . . . . . 9  |-  { y  e.  S  |  z 
C_  y }  C_  dom  ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) )
38 funimass3 6013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) )  /\  { y  e.  S  |  z  C_  y }  C_  dom  (
y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) )  ->  ( ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) " { y  e.  S  |  z  C_  y } )  C_  u  <->  { y  e.  S  |  z  C_  y }  C_  ( `' ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) )
" u ) ) )
3933, 37, 38mp2an 686 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) " { y  e.  S  |  z  C_  y } )  C_  u  <->  { y  e.  S  |  z  C_  y }  C_  ( `' ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) ) )
" u ) )
4016mptpreima 5335 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) "
u )  =  {
y  e.  S  | 
( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u }
4140sseq2i 3443 . . . . . . . 8  |-  ( { y  e.  S  | 
z  C_  y }  C_  ( `' ( y  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) ) ) " u
)  <->  { y  e.  S  |  z  C_  y } 
C_  { y  e.  S  |  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u }
)
42 ss2rab 3491 . . . . . . . 8  |-  ( { y  e.  S  | 
z  C_  y }  C_ 
{ y  e.  S  |  ( G  gsumg  ( F  |`  y ) )  e.  u }  <->  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  u ) )
4339, 41, 423bitri 279 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) " { y  e.  S  |  z  C_  y } )  C_  u  <->  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  u ) )
4443rexbii 2881 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  S  ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) " { y  e.  S  |  z  C_  y } )  C_  u  <->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  u ) )
4532, 44syl6bb 269 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  ( E. w  e.  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ( ( y  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) ) ) " w
)  C_  u  <->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  u ) ) )
4645imbi2d 323 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  u  e.  J )  ->  (
( C  e.  u  ->  E. w  e.  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ( ( y  e.  S  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  y ) ) ) " w
)  C_  u )  <->  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) ) ) )
4746ralbidva 2828 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) "
w )  C_  u
)  <->  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) )  e.  u
) ) ) )
4847anbi2d 718 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. w  e.  ran  ( z  e.  S  |->  { y  e.  S  |  z  C_  y } ) ( ( y  e.  S  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  y
) ) ) "
w )  C_  u
) )  <->  ( C  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  u ) ) ) ) )
499, 20, 483bitrd 287 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( G tsums  F )  <->  ( C  e.  B  /\  A. u  e.  J  ( C  e.  u  ->  E. z  e.  S  A. y  e.  S  ( z  C_  y  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  y )
)  e.  u ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    i^i cin 3389    C_ wss 3390   ~Pcpw 3942    |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841   "cima 4842   Fun wfun 5583   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   Basecbs 15199   TopOpenctopn 15398    gsumg cgsu 15417  CMndccmn 17508   fBascfbas 19035   filGencfg 19036  TopOnctopon 19995   TopSpctps 19996    fLimf cflf 21028   tsums ctsu 21218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-top 19998  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-ntr 20112  df-nei 20191  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-tsms 21219
This theorem is referenced by:  tsmsi  21226  tsmscl  21227  tsmsgsum  21231  tsmssubm  21235  tsmsres  21236  tsmsf1o  21237  tsmsxp  21247  xrge0tsms  21930  xrge0tsmsd  28622
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