Theorem eltpt 14909

Description: Condition for a set to belong to a product topology..

Hypothesis

Ref	Expression
eltpt.1	|- B = {z | E.u e. J E.v e. K z = (u X. v)}

Assertion

Ref	Expression
eltpt	|- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (A e. (J X.t K) <-> E.x(x C_ B /\ A = U.x)))

Distinct variable groups:   x,A   u,J,v,x,z   u,K,v,x,z

Proof of Theorem eltpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txval 8932	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (J X.t K) = (topGen` {z | E.u e. J E.v e. K z = (u X. v)}))
2	1	eleq2d 1964	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (A e. (J X.t K) <-> A e. (topGen` {z | E.u e. J E.v e. K z = (u X. v)})))
3		txbas 8933	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> {z | E.u e. J E.v e. K z = (u X. v)} e. Bases)
4		eltg3 8896	. . 3 |- ({z | E.u e. J E.v e. K z = (u X. v)} e. Bases -> (A e. (topGen` {z | E.u e. J E.v e. K z = (u X. v)}) <-> E.x(x C_ {z | E.u e. J E.v e. K z = (u X. v)} /\ A = U.x)))
5	3, 4	syl 12	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (A e. (topGen` {z | E.u e. J E.v e. K z = (u X. v)}) <-> E.x(x C_ {z | E.u e. J E.v e. K z = (u X. v)} /\ A = U.x)))
6		eltpt.1	. . . . . . 7 |- B = {z | E.u e. J E.v e. K z = (u X. v)}
7	6	sseq2i 2642	. . . . . 6 |- (x C_ B <-> x C_ {z | E.u e. J E.v e. K z = (u X. v)})
8	7	bicomi 189	. . . . 5 |- (x C_ {z | E.u e. J E.v e. K z = (u X. v)} <-> x C_ B)
9	8	anbi1i 539	. . . 4 |- ((x C_ {z | E.u e. J E.v e. K z = (u X. v)} /\ A = U.x) <-> (x C_ B /\ A = U.x))
10	9	exbii 1398	. . 3 |- (E.x(x C_ {z | E.u e. J E.v e. K z = (u X. v)} /\ A = U.x) <-> E.x(x C_ B /\ A = U.x))
11	10	a1i 8	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (E.x(x C_ {z | E.u e. J E.v e. K z = (u X. v)} /\ A = U.x) <-> E.x(x C_ B /\ A = U.x)))
12	2, 5, 11	3bitrd 603	1 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (A e. (J X.t K) <-> E.x(x C_ B /\ A = U.x)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871  E.wrex 2106   C_ wss 2593  U.cuni 3177   X. cxp 3984  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  Topctop 8857  Basesctb 8859  topGenctg 8860   X.t ctx 8930

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-tx 8931

Copyright terms: Public domain