MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltop3 Structured version   Unicode version

Theorem eltop3 18593
Description: Membership in a topology. (Contributed by NM, 19-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
eltop3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  J  <->  E. x
( x  C_  J  /\  A  =  U. x ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, J

Proof of Theorem eltop3
StepHypRef Expression
1 tgtop 18590 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( topGen `
 J )  =  J )
21eleq2d 2510 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  ( topGen `  J )  <->  A  e.  J ) )
3 eltg3 18579 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  ( topGen `  J )  <->  E. x
( x  C_  J  /\  A  =  U. x ) ) )
42, 3bitr3d 255 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  J  <->  E. x
( x  C_  J  /\  A  =  U. x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    C_ wss 3340   U.cuni 4103   ` cfv 5430   topGenctg 14388   Topctop 18510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-id 4648  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fv 5438  df-topgen 14394  df-top 18515
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator