Theorem eltop2 19991

Description: Membership in a topology. (Contributed by NM, 19-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
eltop2	|- ( J e. Top -> ( A e. J <-> A. x e. A E. y e. J ( x e. y /\ y C_ A ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, J, y

Proof of Theorem eltop2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgtop 19989	. . 3 |- ( J e. Top -> ( topGen ` J ) = J )
2	1	eleq2d 2514	. 2 |- ( J e. Top -> ( A e. ( topGen ` J ) <-> A e. J ) )
3		eltg2b 19974	. 2 |- ( J e. Top -> ( A e. ( topGen ` J ) <-> A. x e. A E. y e. J ( x e. y /\ y C_ A ) ) )
4	2, 3	bitr3d 259	1 |- ( J e. Top -> ( A e. J <-> A. x e. A E. y e. J ( x e. y /\ y C_ A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   C_ wss 3404   ` cfv 5582   topGenctg 15336   Topctop 19917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fv 5590  df-topgen 15342  df-top 19921

This theorem is referenced by:  isclo  20103  cncnp  20296  ist1-2  20363  hauscmp  20422  llycmpkgen2  20565  ptpjopn  20627  txkgen  20667  xkococn  20675  xkoinjcn  20702  fclscf  21040  subgntr  21121  opnsubg  21122  qustgpopn  21134  prdsxmslem2  21544  zdis  21834  efopn  23603  cvmopnlem  30001  neibastop3  31018