MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltop Structured version   Unicode version

Theorem eltop 18578
Description: Membership in a topology, expressed without quantifiers. (Contributed by NM, 19-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
eltop  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  J  <->  A  C_  U. ( J  i^i  ~P A ) ) )

Proof of Theorem eltop
StepHypRef Expression
1 tgtop 18577 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( topGen `
 J )  =  J )
21eleq2d 2509 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  ( topGen `  J )  <->  A  e.  J ) )
3 eltg 18561 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  ( topGen `  J )  <->  A  C_  U. ( J  i^i  ~P A ) ) )
42, 3bitr3d 255 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  J  <->  A  C_  U. ( J  i^i  ~P A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1756    i^i cin 3326    C_ wss 3327   ~Pcpw 3859   U.cuni 4090   ` cfv 5417   topGenctg 14375   Topctop 18497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-id 4635  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fv 5425  df-topgen 14381  df-top 18502
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator