MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltop Structured version   Unicode version

Theorem eltop 19914
Description: Membership in a topology, expressed without quantifiers. (Contributed by NM, 19-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
eltop  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  J  <->  A  C_  U. ( J  i^i  ~P A ) ) )

Proof of Theorem eltop
StepHypRef Expression
1 tgtop 19913 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( topGen `
 J )  =  J )
21eleq2d 2490 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  ( topGen `  J )  <->  A  e.  J ) )
3 eltg 19896 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  ( topGen `  J )  <->  A  C_  U. ( J  i^i  ~P A ) ) )
42, 3bitr3d 258 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  J  <->  A  C_  U. ( J  i^i  ~P A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    e. wcel 1867    i^i cin 3432    C_ wss 3433   ~Pcpw 3976   U.cuni 4213   ` cfv 5592   topGenctg 15288   Topctop 19841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fv 5600  df-topgen 15294  df-top 19845
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator