MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltg4i Structured version   Unicode version

Theorem eltg4i 18565
Description: An open set in a topology generated by a basis is the union of all basic open sets contained in it. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltg4i  |-  ( A  e.  ( topGen `  B
)  ->  A  =  U. ( B  i^i  ~P A ) )

Proof of Theorem eltg4i
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5716 . . . 4  |-  ( A  e.  ( topGen `  B
)  ->  B  e.  dom  topGen )
2 eltg 18562 . . . 4  |-  ( B  e.  dom  topGen  ->  ( A  e.  ( topGen `  B )  <->  A  C_  U. ( B  i^i  ~P A ) ) )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  ( topGen `  B
)  ->  ( A  e.  ( topGen `  B )  <->  A 
C_  U. ( B  i^i  ~P A ) ) )
43ibi 241 . 2  |-  ( A  e.  ( topGen `  B
)  ->  A  C_  U. ( B  i^i  ~P A ) )
5 inss2 3571 . . . . 5  |-  ( B  i^i  ~P A ) 
C_  ~P A
65unissi 4114 . . . 4  |-  U. ( B  i^i  ~P A ) 
C_  U. ~P A
7 unipw 4542 . . . 4  |-  U. ~P A  =  A
86, 7sseqtri 3388 . . 3  |-  U. ( B  i^i  ~P A ) 
C_  A
98a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  ( topGen `  B
)  ->  U. ( B  i^i  ~P A ) 
C_  A )
104, 9eqssd 3373 1  |-  ( A  e.  ( topGen `  B
)  ->  A  =  U. ( B  i^i  ~P A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756    i^i cin 3327    C_ wss 3328   ~Pcpw 3860   U.cuni 4091   dom cdm 4840   ` cfv 5418   topGenctg 14376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fv 5426  df-topgen 14382
This theorem is referenced by:  eltg3  18567  tgdom  18583  tgidm  18585  ontgval  28277
  Copyright terms: Public domain W3C validator