MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltg4i Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem eltg4i 20023
Description: An open set in a topology generated by a basis is the union of all basic open sets contained in it. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltg4i  |-  ( A  e.  ( topGen `  B
)  ->  A  =  U. ( B  i^i  ~P A ) )

Proof of Theorem eltg4i
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5913 . . . 4  |-  ( A  e.  ( topGen `  B
)  ->  B  e.  dom  topGen )
2 eltg 20020 . . . 4  |-  ( B  e.  dom  topGen  ->  ( A  e.  ( topGen `  B )  <->  A  C_  U. ( B  i^i  ~P A ) ) )
31, 2syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  ( topGen `  B
)  ->  ( A  e.  ( topGen `  B )  <->  A 
C_  U. ( B  i^i  ~P A ) ) )
43ibi 249 . 2  |-  ( A  e.  ( topGen `  B
)  ->  A  C_  U. ( B  i^i  ~P A ) )
5 inss2 3664 . . . . 5  |-  ( B  i^i  ~P A ) 
C_  ~P A
65unissi 4234 . . . 4  |-  U. ( B  i^i  ~P A ) 
C_  U. ~P A
7 unipw 4663 . . . 4  |-  U. ~P A  =  A
86, 7sseqtri 3475 . . 3  |-  U. ( B  i^i  ~P A ) 
C_  A
98a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  ( topGen `  B
)  ->  U. ( B  i^i  ~P A ) 
C_  A )
104, 9eqssd 3460 1  |-  ( A  e.  ( topGen `  B
)  ->  A  =  U. ( B  i^i  ~P A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    = wceq 1454    e. wcel 1897    i^i cin 3414    C_ wss 3415   ~Pcpw 3962   U.cuni 4211   dom cdm 4852   ` cfv 5600   topGenctg 15384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-id 4767  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fv 5608  df-topgen 15390
This theorem is referenced by:  eltg3  20025  tgdom  20042  tgidm  20044  ontgval  31139
  Copyright terms: Public domain W3C validator