MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltg3i Structured version   Unicode version

Theorem eltg3i 18684
Description: The union of a set of basic open sets is in the generated topology. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltg3i  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  ->  U. A  e.  ( topGen `
 B ) )

Proof of Theorem eltg3i
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  ->  A  C_  B )
2 pwuni 4623 . . . . 5  |-  A  C_  ~P U. A
31, 2jctir 538 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( A  C_  B  /\  A  C_  ~P U. A ) )
4 ssin 3672 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  A  C_  ~P U. A
)  <->  A  C_  ( B  i^i  ~P U. A
) )
53, 4sylib 196 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  ->  A  C_  ( B  i^i  ~P
U. A ) )
65unissd 4215 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  ->  U. A  C_  U. ( B  i^i  ~P U. A
) )
7 eltg 18680 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  ( U. A  e.  ( topGen `
 B )  <->  U. A  C_  U. ( B  i^i  ~P U. A ) ) )
87adantr 465 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( U. A  e.  ( topGen `  B )  <->  U. A  C_  U. ( B  i^i  ~P U. A
) ) )
96, 8mpbird 232 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  ->  U. A  e.  ( topGen `
 B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1758    i^i cin 3427    C_ wss 3428   ~Pcpw 3960   U.cuni 4191   ` cfv 5518   topGenctg 14480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fv 5526  df-topgen 14486
This theorem is referenced by:  eltg3  18685  tgiun  18702  tgidm  18703  tgrest  18881  leordtval2  18934  ontgval  28413  fnemeet1  28727  fnejoin2  28730
  Copyright terms: Public domain W3C validator