MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltg3i Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem eltg3i 19976
Description: The union of a set of basic open sets is in the generated topology. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltg3i  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  ->  U. A  e.  ( topGen `
 B ) )

Proof of Theorem eltg3i
StepHypRef Expression
1 simpr 463 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  ->  A  C_  B )
2 pwuni 4631 . . . . 5  |-  A  C_  ~P U. A
31, 2jctir 541 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( A  C_  B  /\  A  C_  ~P U. A ) )
4 ssin 3654 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  A  C_  ~P U. A
)  <->  A  C_  ( B  i^i  ~P U. A
) )
53, 4sylib 200 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  ->  A  C_  ( B  i^i  ~P
U. A ) )
65unissd 4222 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  ->  U. A  C_  U. ( B  i^i  ~P U. A
) )
7 eltg 19972 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  ( U. A  e.  ( topGen `
 B )  <->  U. A  C_  U. ( B  i^i  ~P U. A ) ) )
87adantr 467 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( U. A  e.  ( topGen `  B )  <->  U. A  C_  U. ( B  i^i  ~P U. A
) ) )
96, 8mpbird 236 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  ->  U. A  e.  ( topGen `
 B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    e. wcel 1887    i^i cin 3403    C_ wss 3404   ~Pcpw 3951   U.cuni 4198   ` cfv 5582   topGenctg 15336
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fv 5590  df-topgen 15342
This theorem is referenced by:  eltg3  19977  tgiun  19995  tgidm  19996  tgrest  20175  leordtval2  20228  fnemeet1  31022  fnejoin2  31025  ontgval  31091
  Copyright terms: Public domain W3C validator