MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltg3i Structured version   Unicode version

Theorem eltg3i 19222
Description: The union of a set of basic open sets is in the generated topology. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltg3i  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  ->  U. A  e.  ( topGen `
 B ) )

Proof of Theorem eltg3i
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  ->  A  C_  B )
2 pwuni 4671 . . . . 5  |-  A  C_  ~P U. A
31, 2jctir 538 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( A  C_  B  /\  A  C_  ~P U. A ) )
4 ssin 3713 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  A  C_  ~P U. A
)  <->  A  C_  ( B  i^i  ~P U. A
) )
53, 4sylib 196 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  ->  A  C_  ( B  i^i  ~P
U. A ) )
65unissd 4262 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  ->  U. A  C_  U. ( B  i^i  ~P U. A
) )
7 eltg 19218 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  ( U. A  e.  ( topGen `
 B )  <->  U. A  C_  U. ( B  i^i  ~P U. A ) ) )
87adantr 465 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( U. A  e.  ( topGen `  B )  <->  U. A  C_  U. ( B  i^i  ~P U. A
) ) )
96, 8mpbird 232 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  ->  U. A  e.  ( topGen `
 B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1762    i^i cin 3468    C_ wss 3469   ~Pcpw 4003   U.cuni 4238   ` cfv 5579   topGenctg 14682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fv 5587  df-topgen 14688
This theorem is referenced by:  eltg3  19223  tgiun  19240  tgidm  19241  tgrest  19419  leordtval2  19472  ontgval  29323  fnemeet1  29638  fnejoin2  29641
  Copyright terms: Public domain W3C validator