Theorem eltg3 8896

Description: Membership in a topology generated by a basis.

Assertion

Ref	Expression
eltg3	|- (B e. Bases -> (A e. (topGen` B) <-> E.x(x C_ B /\ A = U.x)))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem eltg3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgval3 8895	. . 3 |- (B e. Bases -> (topGen` B) = {y | E.x(x C_ B /\ y = U.x)})
2	1	eleq2d 1964	. 2 |- (B e. Bases -> (A e. (topGen` B) <-> A e. {y | E.x(x C_ B /\ y = U.x)}))
3		visset 2295	. . . . . . 7 |- x e. _V
4	3	uniex 3794	. . . . . 6 |- U.x e. _V
5		eleq1 1957	. . . . . 6 |- (A = U.x -> (A e. _V <-> U.x e. _V))
6	4, 5	mpbiri 211	. . . . 5 |- (A = U.x -> A e. _V)
7	6	adantl 424	. . . 4 |- ((x C_ B /\ A = U.x) -> A e. _V)
8	7	19.23aiv 1674	. . 3 |- (E.x(x C_ B /\ A = U.x) -> A e. _V)
9		eqeq1 1890	. . . . 5 |- (y = A -> (y = U.x <-> A = U.x))
10	9	anbi2d 678	. . . 4 |- (y = A -> ((x C_ B /\ y = U.x) <-> (x C_ B /\ A = U.x)))
11	10	exbidv 1657	. . 3 |- (y = A -> (E.x(x C_ B /\ y = U.x) <-> E.x(x C_ B /\ A = U.x)))
12	8, 11	elab3 2412	. 2 |- (A e. {y | E.x(x C_ B /\ y = U.x)} <-> E.x(x C_ B /\ A = U.x))
13	2, 12	syl6bb 595	1 |- (B e. Bases -> (A e. (topGen` B) <-> E.x(x C_ B /\ A = U.x)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Basesctb 8859  topGenctg 8860

This theorem is referenced by:  tgtop 8898  eltop3 8901  basgen2 8909  bastop1 8912  uptx 10226  eltpt 14909  txsubsp 15912

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864

Copyright terms: Public domain