MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltg2b Structured version   Unicode version

Theorem eltg2b 18666
Description: Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltg2b  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  e.  ( topGen `  B )  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, V, y

Proof of Theorem eltg2b
StepHypRef Expression
1 eltg2 18665 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  e.  ( topGen `  B )  <->  ( A  C_ 
U. B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) ) )
2 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  C_  A )  ->  x  e.  y )
32reximi 2905 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  A )  ->  E. y  e.  B  x  e.  y )
4 eluni2 4179 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U. B  <->  E. y  e.  B  x  e.  y )
53, 4sylibr 212 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  A )  ->  x  e.  U. B )
65ralimi 2806 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  A )  ->  A. x  e.  A  x  e.  U. B )
7 dfss3 3430 . . . 4  |-  ( A 
C_  U. B  <->  A. x  e.  A  x  e.  U. B )
86, 7sylibr 212 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  A )  ->  A  C_  U. B )
98pm4.71ri 633 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  A )  <->  ( A  C_ 
U. B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) )
101, 9syl6bbr 263 1  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  e.  ( topGen `  B )  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1757   A.wral 2792   E.wrex 2793    C_ wss 3412   U.cuni 4175   ` cfv 5502   topGenctg 14464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-ral 2797  df-rex 2798  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-op 3968  df-uni 4176  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-id 4720  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fv 5510  df-topgen 14470
This theorem is referenced by:  tg2  18672  tgcl  18676  eltop2  18682  tgss2  18694  basgen2  18696  2ndc1stc  19157  eltx  19243  tgqioo  20479  isfne2  28667
  Copyright terms: Public domain W3C validator