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Theorem eltg2 19641
Description: Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 15-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltg2  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  e.  ( topGen `  B )  <->  ( A  C_ 
U. B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, V, y

Proof of Theorem eltg2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgval2 19639 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  ( topGen `
 B )  =  { z  |  ( z  C_  U. B  /\  A. x  e.  z  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  z ) ) } )
21eleq2d 2470 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  e.  ( topGen `  B )  <->  A  e.  { z  |  ( z 
C_  U. B  /\  A. x  e.  z  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  z ) ) } ) )
3 elex 3065 . . . 4  |-  ( A  e.  { z  |  ( z  C_  U. B  /\  A. x  e.  z  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  z ) ) }  ->  A  e.  _V )
43adantl 464 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  { z  |  ( z  C_  U. B  /\  A. x  e.  z  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  z ) ) } )  ->  A  e.  _V )
5 uniexg 6533 . . . . . 6  |-  ( B  e.  V  ->  U. B  e.  _V )
6 ssexg 4537 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  U. B  /\  U. B  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
75, 6sylan2 472 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  U. B  /\  B  e.  V )  ->  A  e.  _V )
87ancoms 451 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  U. B )  ->  A  e.  _V )
98adantrr 715 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  ( A  C_  U. B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) )  ->  A  e.  _V )
10 sseq1 3460 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  (
z  C_  U. B  <->  A  C_  U. B
) )
11 sseq2 3461 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  A  ->  (
y  C_  z  <->  y  C_  A ) )
1211anbi2d 702 . . . . . . 7  |-  ( z  =  A  ->  (
( x  e.  y  /\  y  C_  z
)  <->  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) )
1312rexbidv 2915 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  ( E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  z )  <->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) )
1413raleqbi1dv 3009 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  ( A. x  e.  z  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  z )  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) )
1510, 14anbi12d 709 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  (
( z  C_  U. B  /\  A. x  e.  z  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  z ) )  <->  ( A  C_  U. B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) ) )
1615elabg 3194 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  { z  |  ( z  C_  U. B  /\  A. x  e.  z  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  z ) ) }  <-> 
( A  C_  U. B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) ) )
174, 9, 16pm5.21nd 899 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  e.  { z  |  ( z  C_  U. B  /\  A. x  e.  z  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  z ) ) }  <-> 
( A  C_  U. B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) ) )
182, 17bitrd 253 1  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  e.  ( topGen `  B )  <->  ( A  C_ 
U. B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1403    e. wcel 1840   {cab 2385   A.wral 2751   E.wrex 2752   _Vcvv 3056    C_ wss 3411   U.cuni 4188   ` cfv 5523   topGenctg 14942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-ral 2756  df-rex 2757  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-op 3976  df-uni 4189  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4735  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fv 5531  df-topgen 14948
This theorem is referenced by:  eltg2b  19642  tg1  19647  tgcl  19653  elmopn  21127  metutopOLD  21267  psmetutop  21268
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