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Theorem eltg2 18698
Description: Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 15-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltg2  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  e.  ( topGen `  B )  <->  ( A  C_ 
U. B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, V, y

Proof of Theorem eltg2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgval2 18696 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  ( topGen `
 B )  =  { z  |  ( z  C_  U. B  /\  A. x  e.  z  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  z ) ) } )
21eleq2d 2524 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  e.  ( topGen `  B )  <->  A  e.  { z  |  ( z 
C_  U. B  /\  A. x  e.  z  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  z ) ) } ) )
3 elex 3087 . . . 4  |-  ( A  e.  { z  |  ( z  C_  U. B  /\  A. x  e.  z  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  z ) ) }  ->  A  e.  _V )
43adantl 466 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  { z  |  ( z  C_  U. B  /\  A. x  e.  z  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  z ) ) } )  ->  A  e.  _V )
5 uniexg 6490 . . . . . 6  |-  ( B  e.  V  ->  U. B  e.  _V )
6 ssexg 4549 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  U. B  /\  U. B  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
75, 6sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  U. B  /\  B  e.  V )  ->  A  e.  _V )
87ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  U. B )  ->  A  e.  _V )
98adantrr 716 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  ( A  C_  U. B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) )  ->  A  e.  _V )
10 sseq1 3488 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  (
z  C_  U. B  <->  A  C_  U. B
) )
11 sseq2 3489 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  A  ->  (
y  C_  z  <->  y  C_  A ) )
1211anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( z  =  A  ->  (
( x  e.  y  /\  y  C_  z
)  <->  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) )
1312rexbidv 2868 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  ( E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  z )  <->  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) )
1413raleqbi1dv 3031 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  ( A. x  e.  z  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  z )  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) )
1510, 14anbi12d 710 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  (
( z  C_  U. B  /\  A. x  e.  z  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  z ) )  <->  ( A  C_  U. B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) ) )
1615elabg 3214 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  { z  |  ( z  C_  U. B  /\  A. x  e.  z  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  z ) ) }  <-> 
( A  C_  U. B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) ) )
174, 9, 16pm5.21nd 893 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  e.  { z  |  ( z  C_  U. B  /\  A. x  e.  z  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  z ) ) }  <-> 
( A  C_  U. B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) ) )
182, 17bitrd 253 1  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  e.  ( topGen `  B )  <->  ( A  C_ 
U. B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   {cab 2439   A.wral 2799   E.wrex 2800   _Vcvv 3078    C_ wss 3439   U.cuni 4202   ` cfv 5529   topGenctg 14498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fv 5537  df-topgen 14504
This theorem is referenced by:  eltg2b  18699  tg1  18704  tgcl  18709  elmopn  20152  metutopOLD  20292  psmetutop  20293
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