Theorem eltg 8888

Description: Membership in a topology generated by a basis.

Assertion

Ref	Expression
eltg	|- (B e. Bases -> (A e. (topGen` B) <-> A C_ U.(B i^i ~PA)))

Proof of Theorem eltg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgval 8886	. . 3 |- (B e. Bases -> (topGen` B) = {x | x C_ U.(B i^i ~Px)})
2	1	eleq2d 1964	. 2 |- (B e. Bases -> (A e. (topGen` B) <-> A e. {x | x C_ U.(B i^i ~Px)}))
3		elisset 2299	. . . 4 |- (A e. {x | x C_ U.(B i^i ~Px)} -> A e. _V)
4	3	adantl 424	. . 3 |- ((B e. Bases /\ A e. {x | x C_ U.(B i^i ~Px)}) -> A e. _V)
5		ssexg 3457	. . . . 5 |- ((A C_ U.(B i^i ~PA) /\ U.(B i^i ~PA) e. _V) -> A e. _V)
6		inex1g 3454	. . . . . 6 |- (B e. Bases -> (B i^i ~PA) e. _V)
7		uniexg 3795	. . . . . 6 |- ((B i^i ~PA) e. _V -> U.(B i^i ~PA) e. _V)
8	6, 7	syl 12	. . . . 5 |- (B e. Bases -> U.(B i^i ~PA) e. _V)
9	5, 8	sylan2 500	. . . 4 |- ((A C_ U.(B i^i ~PA) /\ B e. Bases) -> A e. _V)
10	9	ancoms 484	. . 3 |- ((B e. Bases /\ A C_ U.(B i^i ~PA)) -> A e. _V)
11		id 73	. . . . 5 |- (x = A -> x = A)
12		pweq 3036	. . . . . . 7 |- (x = A -> ~Px = ~PA)
13	12	ineq2d 2796	. . . . . 6 |- (x = A -> (B i^i ~Px) = (B i^i ~PA))
14	13	unieqd 3188	. . . . 5 |- (x = A -> U.(B i^i ~Px) = U.(B i^i ~PA))
15	11, 14	sseq12d 2646	. . . 4 |- (x = A -> (x C_ U.(B i^i ~Px) <-> A C_ U.(B i^i ~PA)))
16	15	elabg 2405	. . 3 |- (A e. _V -> (A e. {x | x C_ U.(B i^i ~Px)} <-> A C_ U.(B i^i ~PA)))
17	4, 10, 16	pm5.21nd 744	. 2 |- (B e. Bases -> (A e. {x | x C_ U.(B i^i ~Px)} <-> A C_ U.(B i^i ~PA)))
18	2, 17	bitrd 587	1 |- (B e. Bases -> (A e. (topGen` B) <-> A C_ U.(B i^i ~PA)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  _Vcvv 2292   i^i cin 2592   C_ wss 2593  ~Pcpw 3032  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Basesctb 8859  topGenctg 8860

This theorem is referenced by:  bastg 8892  unitg 8893  eltop 8899  tgss 8906

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-topgen 8864

Copyright terms: Public domain