MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltayl Structured version   Unicode version

Theorem eltayl 23047
Description: Value of the Taylor series as a relation (elementhood in the domain here expresses that the series is convergent). (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
taylfval.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
taylfval.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
taylfval.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
taylfval.n  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  \/  N  = +oo )
)
taylfval.b  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 [,] N )  i^i  ZZ ) )  ->  B  e.  dom  ( ( S  Dn F ) `
 k ) )
taylfval.t  |-  T  =  ( N ( S Tayl 
F ) B )
Assertion
Ref Expression
eltayl  |-  ( ph  ->  ( X T Y  <-> 
( X  e.  CC  /\  Y  e.  (fld tsums  ( k  e.  ( ( 0 [,] N )  i^i  ZZ )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  k ) `  B
)  /  ( ! `
 k ) )  x.  ( ( X  -  B ) ^
k ) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, k    k, F    ph, k    k, N    S, k    k, X
Allowed substitution hints:    A( k)    T( k)    Y( k)

Proof of Theorem eltayl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylfval.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 taylfval.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
3 taylfval.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
4 taylfval.n . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  \/  N  = +oo )
)
5 taylfval.b . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 [,] N )  i^i  ZZ ) )  ->  B  e.  dom  ( ( S  Dn F ) `
 k ) )
6 taylfval.t . . . 4  |-  T  =  ( N ( S Tayl 
F ) B )
71, 2, 3, 4, 5, 6taylfval 23046 . . 3  |-  ( ph  ->  T  =  U_ x  e.  CC  ( { x }  X.  (fld tsums 
( k  e.  ( ( 0 [,] N
)  i^i  ZZ )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn
F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^ k
) ) ) ) ) )
87eleq2d 2472 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. X ,  Y >.  e.  T  <->  <. X ,  Y >.  e.  U_ x  e.  CC  ( { x }  X.  (fld tsums 
( k  e.  ( ( 0 [,] N
)  i^i  ZZ )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn
F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^ k
) ) ) ) ) ) )
9 df-br 4396 . . 3  |-  ( X T Y  <->  <. X ,  Y >.  e.  T )
109bicomi 202 . 2  |-  ( <. X ,  Y >.  e.  T  <->  X T Y )
11 oveq1 6285 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
x  -  B )  =  ( X  -  B ) )
1211oveq1d 6293 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  -  B
) ^ k )  =  ( ( X  -  B ) ^
k ) )
1312oveq2d 6294 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( ( ( S  Dn F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  (
( x  -  B
) ^ k ) )  =  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  k )
)  x.  ( ( X  -  B ) ^ k ) ) )
1413mpteq2dv 4482 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
k  e.  ( ( 0 [,] N )  i^i  ZZ )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  (
( x  -  B
) ^ k ) ) )  =  ( k  e.  ( ( 0 [,] N )  i^i  ZZ )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  (
( X  -  B
) ^ k ) ) ) )
1514oveq2d 6294 . . 3  |-  ( x  =  X  ->  (fld tsums  ( k  e.  ( ( 0 [,] N )  i^i 
ZZ )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  k )
)  x.  ( ( x  -  B ) ^ k ) ) ) )  =  (fld tsums  (
k  e.  ( ( 0 [,] N )  i^i  ZZ )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  (
( X  -  B
) ^ k ) ) ) ) )
1615opeliunxp2 4962 . 2  |-  ( <. X ,  Y >.  e. 
U_ x  e.  CC  ( { x }  X.  (fld tsums  ( k  e.  ( ( 0 [,] N )  i^i  ZZ )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  (
( x  -  B
) ^ k ) ) ) ) )  <-> 
( X  e.  CC  /\  Y  e.  (fld tsums  ( k  e.  ( ( 0 [,] N )  i^i  ZZ )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  k ) `  B
)  /  ( ! `
 k ) )  x.  ( ( X  -  B ) ^
k ) ) ) ) ) )
178, 10, 163bitr3g 287 1  |-  ( ph  ->  ( X T Y  <-> 
( X  e.  CC  /\  Y  e.  (fld tsums  ( k  e.  ( ( 0 [,] N )  i^i  ZZ )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  k ) `  B
)  /  ( ! `
 k ) )  x.  ( ( X  -  B ) ^
k ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    i^i cin 3413    C_ wss 3414   {csn 3972   {cpr 3974   <.cop 3978   U_ciun 4271   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453    X. cxp 4821   dom cdm 4823   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522    x. cmul 9527   +oocpnf 9655    - cmin 9841    / cdiv 10247   NN0cn0 10836   ZZcz 10905   [,]cicc 11585   ^cexp 12210   !cfa 12397  ℂfldccnfld 18740   tsums ctsu 20916    Dncdvn 22560   Tayl ctayl 23040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-exp 12211  df-fac 12398  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-rest 15037  df-topn 15038  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-topgen 15058  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-abl 17125  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-cring 17521  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-fbas 18736  df-fg 18737  df-cnfld 18741  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cld 19812  df-ntr 19813  df-cls 19814  df-nei 19892  df-lp 19930  df-perf 19931  df-cnp 20022  df-haus 20109  df-fil 20639  df-fm 20731  df-flim 20732  df-flf 20733  df-tsms 20917  df-xms 21115  df-ms 21116  df-limc 22562  df-dv 22563  df-dvn 22564  df-tayl 23042
This theorem is referenced by:  taylf  23048  tayl0  23049
  Copyright terms: Public domain W3C validator