MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltayl Structured version   Unicode version

Theorem eltayl 22482
Description: Value of the Taylor series as a relation (elementhood in the domain here expresses that the series is convergent). (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
taylfval.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
taylfval.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
taylfval.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
taylfval.n  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  \/  N  = +oo )
)
taylfval.b  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 [,] N )  i^i  ZZ ) )  ->  B  e.  dom  ( ( S  Dn F ) `
 k ) )
taylfval.t  |-  T  =  ( N ( S Tayl 
F ) B )
Assertion
Ref Expression
eltayl  |-  ( ph  ->  ( X T Y  <-> 
( X  e.  CC  /\  Y  e.  (fld tsums  ( k  e.  ( ( 0 [,] N )  i^i  ZZ )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  k ) `  B
)  /  ( ! `
 k ) )  x.  ( ( X  -  B ) ^
k ) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, k    k, F    ph, k    k, N    S, k    k, X
Allowed substitution hints:    A( k)    T( k)    Y( k)

Proof of Theorem eltayl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 taylfval.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 taylfval.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
3 taylfval.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
4 taylfval.n . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  \/  N  = +oo )
)
5 taylfval.b . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 [,] N )  i^i  ZZ ) )  ->  B  e.  dom  ( ( S  Dn F ) `
 k ) )
6 taylfval.t . . . 4  |-  T  =  ( N ( S Tayl 
F ) B )
71, 2, 3, 4, 5, 6taylfval 22481 . . 3  |-  ( ph  ->  T  =  U_ x  e.  CC  ( { x }  X.  (fld tsums 
( k  e.  ( ( 0 [,] N
)  i^i  ZZ )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn
F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^ k
) ) ) ) ) )
87eleq2d 2530 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. X ,  Y >.  e.  T  <->  <. X ,  Y >.  e.  U_ x  e.  CC  ( { x }  X.  (fld tsums 
( k  e.  ( ( 0 [,] N
)  i^i  ZZ )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn
F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^ k
) ) ) ) ) ) )
9 df-br 4441 . . 3  |-  ( X T Y  <->  <. X ,  Y >.  e.  T )
109bicomi 202 . 2  |-  ( <. X ,  Y >.  e.  T  <->  X T Y )
11 oveq1 6282 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
x  -  B )  =  ( X  -  B ) )
1211oveq1d 6290 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  -  B
) ^ k )  =  ( ( X  -  B ) ^
k ) )
1312oveq2d 6291 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( ( ( S  Dn F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  (
( x  -  B
) ^ k ) )  =  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  k )
)  x.  ( ( X  -  B ) ^ k ) ) )
1413mpteq2dv 4527 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
k  e.  ( ( 0 [,] N )  i^i  ZZ )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  (
( x  -  B
) ^ k ) ) )  =  ( k  e.  ( ( 0 [,] N )  i^i  ZZ )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  (
( X  -  B
) ^ k ) ) ) )
1514oveq2d 6291 . . 3  |-  ( x  =  X  ->  (fld tsums  ( k  e.  ( ( 0 [,] N )  i^i 
ZZ )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  k )
)  x.  ( ( x  -  B ) ^ k ) ) ) )  =  (fld tsums  (
k  e.  ( ( 0 [,] N )  i^i  ZZ )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  (
( X  -  B
) ^ k ) ) ) ) )
1615opeliunxp2 5132 . 2  |-  ( <. X ,  Y >.  e. 
U_ x  e.  CC  ( { x }  X.  (fld tsums  ( k  e.  ( ( 0 [,] N )  i^i  ZZ )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  (
( x  -  B
) ^ k ) ) ) ) )  <-> 
( X  e.  CC  /\  Y  e.  (fld tsums  ( k  e.  ( ( 0 [,] N )  i^i  ZZ )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  k ) `  B
)  /  ( ! `
 k ) )  x.  ( ( X  -  B ) ^
k ) ) ) ) ) )
178, 10, 163bitr3g 287 1  |-  ( ph  ->  ( X T Y  <-> 
( X  e.  CC  /\  Y  e.  (fld tsums  ( k  e.  ( ( 0 [,] N )  i^i  ZZ )  |->  ( ( ( ( ( S  Dn F ) `  k ) `  B
)  /  ( ! `
 k ) )  x.  ( ( X  -  B ) ^
k ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    i^i cin 3468    C_ wss 3469   {csn 4020   {cpr 4022   <.cop 4026   U_ciun 4318   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498    X. cxp 4990   dom cdm 4992   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481    x. cmul 9486   +oocpnf 9614    - cmin 9794    / cdiv 10195   NN0cn0 10784   ZZcz 10853   [,]cicc 11521   ^cexp 12122   !cfa 12308  ℂfldccnfld 18184   tsums ctsu 20352    Dncdvn 21996   Tayl ctayl 22475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-seq 12064  df-exp 12123  df-fac 12309  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-rest 14667  df-topn 14668  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-topgen 14688  df-mnd 15721  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-cring 16982  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-fbas 18180  df-fg 18181  df-cnfld 18185  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cld 19279  df-ntr 19280  df-cls 19281  df-nei 19358  df-lp 19396  df-perf 19397  df-cnp 19488  df-haus 19575  df-fil 20075  df-fm 20167  df-flim 20168  df-flf 20169  df-tsms 20353  df-xms 20551  df-ms 20552  df-limc 21998  df-dv 21999  df-dvn 22000  df-tayl 22477
This theorem is referenced by:  taylf  22483  tayl0  22484
  Copyright terms: Public domain W3C validator