Theorem elsymgrn 10200

Description: Two ways of saying a function is a 1-1-onto mapping of A to itself. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
elsymgrn.1	|- A e. _V
elsymgrn.2	|- P = {x | x:A-1-1-onto->A}

Assertion

Ref	Expression
elsymgrn	|- (F e. P <-> F:A-1-1-onto->A)

Distinct variable groups:   x,A   x,F

Proof of Theorem elsymgrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elisset 2299	. 2 |- (F e. P -> F e. _V)
2		f1of 4635	. . 3 |- (F:A-1-1-onto->A -> F:A-->A)
3		elsymgrn.1	. . . 4 |- A e. _V
4		fex 4595	. . . 4 |- ((F:A-->A /\ A e. _V) -> F e. _V)
5	3, 4	mpan2 760	. . 3 |- (F:A-->A -> F e. _V)
6	2, 5	syl 12	. 2 |- (F:A-1-1-onto->A -> F e. _V)
7		f1oeq1 4630	. . 3 |- (x = F -> (x:A-1-1-onto->A <-> F:A-1-1-onto->A))
8		elsymgrn.2	. . 3 |- P = {x | x:A-1-1-onto->A}
9	7, 8	elab2g 2406	. 2 |- (F e. _V -> (F e. P <-> F:A-1-1-onto->A))
10	1, 6, 9	pm5.21nii 743	1 |- (F e. P <-> F:A-1-1-onto->A)

Syntax hints:   <-> wb 163   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  _Vcvv 2292  -->wf 3994  -1-1-onto->wf1o 3997

This theorem is referenced by:  symgoprab 10201  symgf 10204  symggrpi 10205  symgidi 10206  cayleylem1 13641  cayleylem2 13642  symgfo 14730

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013

Copyright terms: Public domain