MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elss2prb Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem elss2prb 12675
Description: An element of the set of subsets with two elements is a proper unordered pair. (Contributed by AV, 1-Nov-2020.)
Assertion
Ref Expression
elss2prb  |-  ( P  e.  { z  e. 
~P V  |  (
# `  z )  =  2 }  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( x  =/=  y  /\  P  =  { x ,  y } ) )
Distinct variable groups:    x, P, y, z    x, V, y, z

Proof of Theorem elss2prb
StepHypRef Expression
1 fveq2 5887 . . . 4  |-  ( z  =  P  ->  ( # `
 z )  =  ( # `  P
) )
21eqeq1d 2463 . . 3  |-  ( z  =  P  ->  (
( # `  z )  =  2  <->  ( # `  P
)  =  2 ) )
32elrab 3207 . 2  |-  ( P  e.  { z  e. 
~P V  |  (
# `  z )  =  2 }  <->  ( P  e.  ~P V  /\  ( # `
 P )  =  2 ) )
4 hash2prb 12665 . . . . 5  |-  ( P  e.  ~P V  -> 
( ( # `  P
)  =  2  <->  E. x  e.  P  E. y  e.  P  (
x  =/=  y  /\  P  =  { x ,  y } ) ) )
5 elpwi 3971 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ~P V  ->  P  C_  V )
6 ssrexv 3505 . . . . . . 7  |-  ( P 
C_  V  ->  ( E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( x  =/=  y  /\  P  =  {
x ,  y } )  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  P  ( x  =/=  y  /\  P  =  { x ,  y } ) ) )
75, 6syl 17 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ~P V  -> 
( E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( x  =/=  y  /\  P  =  { x ,  y } )  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  P  ( x  =/=  y  /\  P  =  { x ,  y } ) ) )
8 ssrexv 3505 . . . . . . . 8  |-  ( P 
C_  V  ->  ( E. y  e.  P  ( x  =/=  y  /\  P  =  {
x ,  y } )  ->  E. y  e.  V  ( x  =/=  y  /\  P  =  { x ,  y } ) ) )
95, 8syl 17 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ~P V  -> 
( E. y  e.  P  ( x  =/=  y  /\  P  =  { x ,  y } )  ->  E. y  e.  V  ( x  =/=  y  /\  P  =  { x ,  y } ) ) )
109reximdv 2872 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ~P V  -> 
( E. x  e.  V  E. y  e.  P  ( x  =/=  y  /\  P  =  { x ,  y } )  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( x  =/=  y  /\  P  =  { x ,  y } ) ) )
117, 10syld 45 . . . . 5  |-  ( P  e.  ~P V  -> 
( E. x  e.  P  E. y  e.  P  ( x  =/=  y  /\  P  =  { x ,  y } )  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( x  =/=  y  /\  P  =  { x ,  y } ) ) )
124, 11sylbid 223 . . . 4  |-  ( P  e.  ~P V  -> 
( ( # `  P
)  =  2  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( x  =/=  y  /\  P  =  {
x ,  y } ) ) )
1312imp 435 . . 3  |-  ( ( P  e.  ~P V  /\  ( # `  P
)  =  2 )  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( x  =/=  y  /\  P  =  {
x ,  y } ) )
14 prelpwi 4660 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  { x ,  y }  e.  ~P V
)
1514adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V
)  /\  ( x  =/=  y  /\  P  =  { x ,  y } ) )  ->  { x ,  y }  e.  ~P V
)
16 eleq1 2527 . . . . . . . 8  |-  ( P  =  { x ,  y }  ->  ( P  e.  ~P V  <->  { x ,  y }  e.  ~P V ) )
1716ad2antll 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V
)  /\  ( x  =/=  y  /\  P  =  { x ,  y } ) )  -> 
( P  e.  ~P V 
<->  { x ,  y }  e.  ~P V
) )
1815, 17mpbird 240 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V
)  /\  ( x  =/=  y  /\  P  =  { x ,  y } ) )  ->  P  e.  ~P V
)
19 fveq2 5887 . . . . . . . 8  |-  ( P  =  { x ,  y }  ->  ( # `
 P )  =  ( # `  {
x ,  y } ) )
2019ad2antll 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V
)  /\  ( x  =/=  y  /\  P  =  { x ,  y } ) )  -> 
( # `  P )  =  ( # `  {
x ,  y } ) )
21 hashprg 12603 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( x  =/=  y  <->  (
# `  { x ,  y } )  =  2 ) )
2221biimpcd 232 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =/=  y  ->  (
( x  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  ( # `  {
x ,  y } )  =  2 ) )
2322adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =/=  y  /\  P  =  { x ,  y } )  ->  ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( # `
 { x ,  y } )  =  2 ) )
2423impcom 436 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V
)  /\  ( x  =/=  y  /\  P  =  { x ,  y } ) )  -> 
( # `  { x ,  y } )  =  2 )
2520, 24eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V
)  /\  ( x  =/=  y  /\  P  =  { x ,  y } ) )  -> 
( # `  P )  =  2 )
2618, 25jca 539 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V
)  /\  ( x  =/=  y  /\  P  =  { x ,  y } ) )  -> 
( P  e.  ~P V  /\  ( # `  P
)  =  2 ) )
2726ex 440 . . . 4  |-  ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( ( x  =/=  y  /\  P  =  { x ,  y } )  ->  ( P  e.  ~P V  /\  ( # `  P
)  =  2 ) ) )
2827rexlimivv 2895 . . 3  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  (
x  =/=  y  /\  P  =  { x ,  y } )  ->  ( P  e. 
~P V  /\  ( # `
 P )  =  2 ) )
2913, 28impbii 192 . 2  |-  ( ( P  e.  ~P V  /\  ( # `  P
)  =  2 )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( x  =/=  y  /\  P  =  {
x ,  y } ) )
303, 29bitri 257 1  |-  ( P  e.  { z  e. 
~P V  |  (
# `  z )  =  2 }  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( x  =/=  y  /\  P  =  { x ,  y } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897    =/= wne 2632   E.wrex 2749   {crab 2752    C_ wss 3415   ~Pcpw 3962   {cpr 3981   ` cfv 5600   2c2 10686   #chash 12546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-2o 7208  df-oadd 7211  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-card 8398  df-cda 8623  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-2 10695  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-fz 11813  df-hash 12547
This theorem is referenced by:  hash2sspr  12676  exprelprel  12678  cusgredg  39541
  Copyright terms: Public domain W3C validator