MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elsnres Structured version   Unicode version

Theorem elsnres 5320
Description: Membership in restriction to a singleton. (Contributed by Scott Fenton, 17-Mar-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
elsnres.1  |-  C  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
elsnres  |-  ( A  e.  ( B  |`  { C } )  <->  E. y
( A  =  <. C ,  y >.  /\  <. C ,  y >.  e.  B
) )
Distinct variable groups:    y, A    y, B    y, C

Proof of Theorem elsnres
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elres 5319 . 2  |-  ( A  e.  ( B  |`  { C } )  <->  E. x  e.  { C } E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B ) )
2 rexcom4 3129 . 2  |-  ( E. x  e.  { C } E. y ( A  =  <. x ,  y
>.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B )  <->  E. y E. x  e.  { C }  ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B ) )
3 elsnres.1 . . . 4  |-  C  e. 
_V
4 opeq1 4219 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  <. x ,  y >.  =  <. C ,  y >. )
54eqeq2d 2471 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  ( A  =  <. x ,  y >.  <->  A  =  <. C ,  y >. )
)
64eleq1d 2526 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  ( <. x ,  y >.  e.  B  <->  <. C ,  y
>.  e.  B ) )
75, 6anbi12d 710 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
)  <->  ( A  = 
<. C ,  y >.  /\  <. C ,  y
>.  e.  B ) ) )
83, 7rexsn 4072 . . 3  |-  ( E. x  e.  { C }  ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B )  <->  ( A  =  <. C ,  y
>.  /\  <. C ,  y
>.  e.  B ) )
98exbii 1668 . 2  |-  ( E. y E. x  e. 
{ C }  ( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
)  <->  E. y ( A  =  <. C ,  y
>.  /\  <. C ,  y
>.  e.  B ) )
101, 2, 93bitri 271 1  |-  ( A  e.  ( B  |`  { C } )  <->  E. y
( A  =  <. C ,  y >.  /\  <. C ,  y >.  e.  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819   E.wrex 2808   _Vcvv 3109   {csn 4032   <.cop 4038    |` cres 5010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-opab 4516  df-xp 5014  df-rel 5015  df-res 5020
This theorem is referenced by:  fvn0ssdmfun  6023  frxp  6909
  Copyright terms: Public domain W3C validator