Theorem elsnres 13825

Description: Memebership in restriction to a singleton.

Hypothesis

Ref	Expression
elsnres.1	|- C e. _V

Assertion

Ref	Expression
elsnres	|- (A e. (B |` {C}) <-> E.y(A = <.C, y>. /\ <.C, y>. e. B))

Distinct variable groups:   y,A   y,B   y,C

Proof of Theorem elsnres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elres 13824	. 2 |- (A e. (B |` {C}) <-> E.x e. {C}E.y(A = <.x, y>. /\ <.x, y>. e. B))
2		rexcom4 2312	. 2 |- (E.x e. {C}E.y(A = <.x, y>. /\ <.x, y>. e. B) <-> E.yE.x e. {C} (A = <.x, y>. /\ <.x, y>. e. B))
3		elsnres.1	. . . 4 |- C e. _V
4		opeq1 3158	. . . . . 6 |- (x = C -> <.x, y>. = <.C, y>.)
5	4	eqeq2d 1895	. . . . 5 |- (x = C -> (A = <.x, y>. <-> A = <.C, y>.))
6	4	eleq1d 1963	. . . . 5 |- (x = C -> (<.x, y>. e. B <-> <.C, y>. e. B))
7	5, 6	anbi12d 690	. . . 4 |- (x = C -> ((A = <.x, y>. /\ <.x, y>. e. B) <-> (A = <.C, y>. /\ <.C, y>. e. B)))
8	3, 7	rexsn 3073	. . 3 |- (E.x e. {C} (A = <.x, y>. /\ <.x, y>. e. B) <-> (A = <.C, y>. /\ <.C, y>. e. B))
9	8	exbii 1398	. 2 |- (E.yE.x e. {C} (A = <.x, y>. /\ <.x, y>. e. B) <-> E.y(A = <.C, y>. /\ <.C, y>. e. B))
10	1, 2, 9	3bitri 194	1 |- (A e. (B |` {C}) <-> E.y(A = <.C, y>. /\ <.C, y>. e. B))

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  E.wrex 2106  _Vcvv 2292  {csn 3044  <.cop 3046   |` cres 3988

This theorem is referenced by:  frxp 13951

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001  df-res 4006

Copyright terms: Public domain