MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elsetchom Structured version   Unicode version

Theorem elsetchom 15071
Description: A morphism of sets is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
setcbas.c  |-  C  =  ( SetCat `  U )
setcbas.u  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
setchomfval.h  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
setchom.x  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
setchom.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
Assertion
Ref Expression
elsetchom  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X H Y )  <-> 
F : X --> Y ) )

Proof of Theorem elsetchom
StepHypRef Expression
1 setcbas.c . . . 4  |-  C  =  ( SetCat `  U )
2 setcbas.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  V )
3 setchomfval.h . . . 4  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
4 setchom.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  U )
5 setchom.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
61, 2, 3, 4, 5setchom 15070 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X H Y )  =  ( Y  ^m  X ) )
76eleq2d 2524 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X H Y )  <-> 
F  e.  ( Y  ^m  X ) ) )
8 elmapg 7340 . . 3  |-  ( ( Y  e.  U  /\  X  e.  U )  ->  ( F  e.  ( Y  ^m  X )  <-> 
F : X --> Y ) )
95, 4, 8syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Y  ^m  X )  <-> 
F : X --> Y ) )
107, 9bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X H Y )  <-> 
F : X --> Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1370    e. wcel 1758   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    ^m cmap 7327   Hom chom 14371   SetCatcsetc 15065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-fz 11558  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-hom 14384  df-cco 14385  df-setc 15066
This theorem is referenced by:  setccatid  15074  setcmon  15077  setcepi  15078  setcsect  15079  resssetc  15082  hofcl  15191  yonedalem3a  15206  yonedalem4c  15209  yonedalem3b  15211  yonedalem3  15212  yonedainv  15213  yonffthlem  15214
  Copyright terms: Public domain W3C validator