Theorem elsb4OLD 1721

Description: Substitution applied to an atomic membership wff. (Contributed by Rodolfo Medina, 3-Apr-2010.)

Assertion

Ref	Expression
elsb4OLD	|- ([x / y]z e. y <-> z e. x)

Distinct variable group:   y,z

Proof of Theorem elsb4OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		equsb2 1562	. . . . . 6 |- [w / y]w = y
2		elequ2 1497	. . . . . . 7 |- (w = y -> (z e. w <-> z e. y))
3	2	sbimi 1537	. . . . . 6 |- ([w / y]w = y -> [w / y](z e. w <-> z e. y))
4	1, 3	ax-mp 7	. . . . 5 |- [w / y](z e. w <-> z e. y)
5		sbbi 1609	. . . . 5 |- ([w / y](z e. w <-> z e. y) <-> ([w / y]z e. w <-> [w / y]z e. y))
6	4, 5	mpbi 206	. . . 4 |- ([w / y]z e. w <-> [w / y]z e. y)
7		ax-17 1317	. . . . 5 |- (z e. w -> A.y z e. w)
8	7	sbf 1551	. . . 4 |- ([w / y]z e. w <-> z e. w)
9	6, 8	bitr3i 192	. . 3 |- ([w / y]z e. y <-> z e. w)
10	9	sbbii 1538	. 2 |- ([x / w][w / y]z e. y <-> [x / w]z e. w)
11		ax-17 1317	. . 3 |- (z e. y -> A.w z e. y)
12	11	sbco2 1629	. 2 |- ([x / w][w / y]z e. y <-> [x / y]z e. y)
13		equsb2 1562	. . . . 5 |- [x / w]x = w
14		elequ2 1497	. . . . . 6 |- (x = w -> (z e. x <-> z e. w))
15	14	sbimi 1537	. . . . 5 |- ([x / w]x = w -> [x / w](z e. x <-> z e. w))
16	13, 15	ax-mp 7	. . . 4 |- [x / w](z e. x <-> z e. w)
17		sbbi 1609	. . . 4 |- ([x / w](z e. x <-> z e. w) <-> ([x / w]z e. x <-> [x / w]z e. w))
18	16, 17	mpbi 206	. . 3 |- ([x / w]z e. x <-> [x / w]z e. w)
19		ax-17 1317	. . . 4 |- (z e. x -> A.w z e. x)
20	19	sbf 1551	. . 3 |- ([x / w]z e. x <-> z e. x)
21	18, 20	bitr3i 192	. 2 |- ([x / w]z e. w <-> z e. x)
22	10, 12, 21	3bitr3i 198	1 |- ([x / y]z e. y <-> z e. x)

Syntax hints:   <-> wb 163   e. wcel 1300  [wsbc 1534

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-11o 1588

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536

Copyright terms: Public domain