Theorem elsb4 1720

Description: Substitution applied to an atomic membership wff. (Contributed by Rodolfo Medina, 3-Apr-2010.) (The proof was shortened by Andrew Salmon, 14-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
elsb4	|- ([x / y]z e. y <-> z e. x)

Distinct variable group:   y,z

Proof of Theorem elsb4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-17 1317	. . . . 5 |- (z e. y -> A.w z e. y)
2		elequ2 1497	. . . . 5 |- (w = y -> (z e. w <-> z e. y))
3	1, 2	sbie 1565	. . . 4 |- ([y / w]z e. w <-> z e. y)
4	3	sbbii 1538	. . 3 |- ([x / y][y / w]z e. w <-> [x / y]z e. y)
5		ax-17 1317	. . . 4 |- (z e. w -> A.y z e. w)
6	5	sbco2 1629	. . 3 |- ([x / y][y / w]z e. w <-> [x / w]z e. w)
7	4, 6	bitr3i 192	. 2 |- ([x / y]z e. y <-> [x / w]z e. w)
8		equsb1 1561	. . . 4 |- [x / w]w = x
9		elequ2 1497	. . . . 5 |- (w = x -> (z e. w <-> z e. x))
10	9	sbimi 1537	. . . 4 |- ([x / w]w = x -> [x / w](z e. w <-> z e. x))
11	8, 10	ax-mp 7	. . 3 |- [x / w](z e. w <-> z e. x)
12		sbbi 1609	. . 3 |- ([x / w](z e. w <-> z e. x) <-> ([x / w]z e. w <-> [x / w]z e. x))
13	11, 12	mpbi 206	. 2 |- ([x / w]z e. w <-> [x / w]z e. x)
14		ax-17 1317	. . 3 |- (z e. x -> A.w z e. x)
15	14	sbf 1551	. 2 |- ([x / w]z e. x <-> z e. x)
16	7, 13, 15	3bitri 194	1 |- ([x / y]z e. y <-> z e. x)

Syntax hints:   <-> wb 163   e. wcel 1300  [wsbc 1534

This theorem is referenced by:  sbsslem 2978  sbsslemOLD 2979

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-11o 1588

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536

Copyright terms: Public domain