Theorem elsb3 1556

Description: Substitution applied to an atomic membership wff. (The proof was shortened by Andrew Salmon, 14-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
elsb3	|- ([x / y]y e. z <-> x e. z)

Distinct variable group:   y,z

Proof of Theorem elsb3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-17 1155	. . . . 5 |- (y e. z -> A.w y e. z)
2		elequ1 1334	. . . . 5 |- (w = y -> (w e. z <-> y e. z))
3	1, 2	sbie 1403	. . . 4 |- ([y / w]w e. z <-> y e. z)
4	3	sbbii 1376	. . 3 |- ([x / y][y / w]w e. z <-> [x / y]y e. z)
5		ax-17 1155	. . . 4 |- (w e. z -> A.y w e. z)
6	5	sbco2 1467	. . 3 |- ([x / y][y / w]w e. z <-> [x / w]w e. z)
7	4, 6	bitr3i 191	. 2 |- ([x / y]y e. z <-> [x / w]w e. z)
8		equsb1 1399	. . . 4 |- [x / w]w = x
9		elequ1 1334	. . . . 5 |- (w = x -> (w e. z <-> x e. z))
10	9	sbimi 1375	. . . 4 |- ([x / w]w = x -> [x / w](w e. z <-> x e. z))
11	8, 10	ax-mp 7	. . 3 |- [x / w](w e. z <-> x e. z)
12		sbbi 1447	. . 3 |- ([x / w](w e. z <-> x e. z) <-> ([x / w]w e. z <-> [x / w]x e. z))
13	11, 12	mpbi 205	. 2 |- ([x / w]w e. z <-> [x / w]x e. z)
14		ax-17 1155	. . 3 |- (x e. z -> A.w x e. z)
15	14	sbf 1389	. 2 |- ([x / w]x e. z <-> x e. z)
16	7, 13, 15	3bitri 193	1 |- ([x / y]y e. z <-> x e. z)

Syntax hints:   <-> wb 162   e. wcel 1138  [wsbc 1372

This theorem is referenced by:  cvjust 1716  sbsslemOLD 2803  bnj1043 13183  prtlem5 15927

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1142  ax-gen 1143  ax-8 1144  ax-9 1145  ax-10 1146  ax-11 1147  ax-12 1148  ax-13 1149  ax-17 1155  ax-4 1157  ax-5o 1159  ax-6o 1162  ax-9o 1319  ax-10o 1338  ax-11o 1426

This theorem depends on definitions:  df-bi 163  df-or 240  df-an 241  df-ex 1165  df-sb 1374

Copyright terms: Public domain