Theorem elrnoprab 5067

Description: Membership in the range of an operation class abstraction.

Hypotheses

Ref	Expression
elrnoprab.1	|- C e. _V
elrnoprab.2	|- F = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ z = C)}

Assertion

Ref	Expression
elrnoprab	|- (D e. ran F <-> E.x e. A E.y e. B D = C)

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z   z,C   x,D,y

Proof of Theorem elrnoprab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrnoprab.2	. . 3 |- F = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ z = C)}
2	1	elrnoprabg 5066	. 2 |- (A.x e. A A.y e. B C e. _V -> (D e. ran F <-> E.x e. A E.y e. B D = C))
3		elrnoprab.1	. . . . 5 |- C e. _V
4	3	a1i 8	. . . 4 |- (y e. B -> C e. _V)
5	4	rgen 2159	. . 3 |- A.y e. B C e. _V
6	5	a1i 8	. 2 |- (x e. A -> A.y e. B C e. _V)
7	2, 6	mprg 2162	1 |- (D e. ran F <-> E.x e. A E.y e. B D = C)

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292  ran crn 3987  {copab2 4885

This theorem is referenced by:  unxpdomlem 5995  qnnen 8772  qdensere 9027

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021

Copyright terms: Public domain