Theorem elrnopab 4774

Description: Membership in the range of an ordered pair class abstraction.

Hypotheses

Ref	Expression
elrnopab.1	|- B e. _V
elrnopab.2	|- F = {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}

Assertion

Ref	Expression
elrnopab	|- (C e. ran F <-> E.x e. A C = B)

Distinct variable groups:   x,y,A   y,B   x,C

Proof of Theorem elrnopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrnopab.2	. . 3 |- F = {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}
2	1	elrnopabg 4773	. 2 |- (A.x e. A B e. _V -> (C e. ran F <-> E.x e. A C = B))
3		elrnopab.1	. . 3 |- B e. _V
4	3	a1i 8	. 2 |- (x e. A -> B e. _V)
5	2, 4	mprg 2162	1 |- (C e. ran F <-> E.x e. A C = B)

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106  _Vcvv 2292  {copab 3395  ran crn 3987

This theorem is referenced by:  pwfilem 5660  grplactf1o 9406  rnbra 11678

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014

Copyright terms: Public domain