Theorem elrnmpt 5249

Description: The range of a function in maps-to notation. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
rnmpt.1	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
elrnmpt	|- ( C e. V -> ( C e. ran F <-> E. x e. A C = B ) )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   F( x)   V( x)

Proof of Theorem elrnmpt

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2471	. . 3 |- ( y = C -> ( y = B <-> C = B ) )
2	1	rexbidv 2973	. 2 |- ( y = C -> ( E. x e. A y = B <-> E. x e. A C = B ) )
3		rnmpt.1	. . 3 |- F = ( x e. A |-> B )
4	3	rnmpt 5248	. 2 |- ran F = { y | E. x e. A y = B }
5	2, 4	elab2g 3252	1 |- ( C e. V -> ( C e. ran F <-> E. x e. A C = B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   = wceq 1379   e. wcel 1767   E.wrex 2815   |-> cmpt 4505   ran crn 5000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-cnv 5007  df-dm 5009  df-rn 5010

This theorem is referenced by:  elrnmpt1s  5250  onnseq  7015  oarec  7211  fifo  7892  infpwfien  8443  fin23lem38  8729  fin1a2lem13  8792  ac6num  8859  isercoll2  13454  iserodd  14218  gsumwspan  15846  odf1o2  16399  mplcoe5lem  17929  neitr  19475  ordtbas2  19486  ordtopn1  19489  ordtopn2  19490  pnfnei  19515  mnfnei  19516  pnrmcld  19637  2ndcomap  19753  dis2ndc  19755  ptpjopn  19876  fbasrn  20148  elfm  20211  rnelfmlem  20216  rnelfm  20217  fmfnfmlem3  20220  fmfnfmlem4  20221  fmfnfm  20222  ptcmplem2  20316  tsmsfbas  20389  ustuqtoplem  20505  utopsnneiplem  20513  utopsnnei  20515  utopreg  20518  fmucnd  20558  neipcfilu  20562  imasdsf1olem  20639  xpsdsval  20647  met1stc  20787  metustelOLD  20817  metustel  20818  metustsymOLD  20827  metustsym  20828  metuel2  20845  metustblOLD  20846  metustbl  20847  restmetu  20853  xrtgioo  21074  minveclem3b  21606  uniioombllem3  21757  dvivth  22174  ordtconlem1  27570  esumcst  27739  measdivcstOLD  27863  oms0  27934  cvmsss2  28387  itg2addnclem2  29672  suprnmpt  31057  stoweidlem27  31355  stoweidlem31  31359  stoweidlem35  31363  stirlinglem5  31406  stirlinglem13  31414  fourierdlem53  31488  fourierdlem80  31515  fourierdlem93  31528  fourierdlem103  31538  fourierdlem104  31539