Theorem elrng 13878

Description: Membership in a range.

Assertion

Ref	Expression
elrng	|- (A e. C -> (A e. ran B <-> E.x xBA))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem elrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrn2g 13877	. 2 |- (A e. C -> (A e. ran B <-> E.x<.x, A>. e. B))
2		df-br 3339	. . . 4 |- (xBA <-> <.x, A>. e. B)
3	2	exbii 1398	. . 3 |- (E.x xBA <-> E.x<.x, A>. e. B)
4	3	a1i 8	. 2 |- (A e. C -> (E.x xBA <-> E.x<.x, A>. e. B))
5	1, 4	bitr4d 590	1 |- (A e. C -> (A e. ran B <-> E.x xBA))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   e. wcel 1300  E.wex 1326  <.cop 3046   class class class wbr 3338  ran crn 3987

This theorem is referenced by:  trclpred 13934

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005

Copyright terms: Public domain