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Theorem elrfirn2 30790
Description: Elementhood in a set of relative finite intersections of an indexed family of sets (implicit). (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
elrfirn2  |-  ( ( B  e.  V  /\  A. y  e.  I  C 
C_  B )  -> 
( A  e.  ( fi `  ( { B }  u.  ran  ( y  e.  I  |->  C ) ) )  <->  E. v  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) A  =  ( B  i^i  |^|_ y  e.  v  C ) ) )
Distinct variable groups:    v, A    v, B, y    v, C   
v, I, y    v, V, y
Allowed substitution hints:    A( y)    C( y)

Proof of Theorem elrfirn2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpw2g 4619 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  V  ->  ( C  e.  ~P B  <->  C 
C_  B ) )
21biimprd 223 . . . . . 6  |-  ( B  e.  V  ->  ( C  C_  B  ->  C  e.  ~P B ) )
32ralimdv 2867 . . . . 5  |-  ( B  e.  V  ->  ( A. y  e.  I  C  C_  B  ->  A. y  e.  I  C  e.  ~P B ) )
43imp 429 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  A. y  e.  I  C 
C_  B )  ->  A. y  e.  I  C  e.  ~P B
)
5 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( y  e.  I  |->  C )  =  ( y  e.  I  |->  C )
65fmpt 6053 . . . 4  |-  ( A. y  e.  I  C  e.  ~P B  <->  ( y  e.  I  |->  C ) : I --> ~P B
)
74, 6sylib 196 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  A. y  e.  I  C 
C_  B )  -> 
( y  e.  I  |->  C ) : I --> ~P B )
8 elrfirn 30789 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  ( y  e.  I  |->  C ) : I --> ~P B )  -> 
( A  e.  ( fi `  ( { B }  u.  ran  ( y  e.  I  |->  C ) ) )  <->  E. v  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) A  =  ( B  i^i  |^|_ z  e.  v  ( ( y  e.  I  |->  C ) `  z ) ) ) )
97, 8syldan 470 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  A. y  e.  I  C 
C_  B )  -> 
( A  e.  ( fi `  ( { B }  u.  ran  ( y  e.  I  |->  C ) ) )  <->  E. v  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) A  =  ( B  i^i  |^|_ z  e.  v  ( ( y  e.  I  |->  C ) `  z ) ) ) )
10 inss1 3714 . . . . . 6  |-  ( ~P I  i^i  Fin )  C_ 
~P I
1110sseli 3495 . . . . 5  |-  ( v  e.  ( ~P I  i^i  Fin )  ->  v  e.  ~P I )
1211elpwid 4025 . . . 4  |-  ( v  e.  ( ~P I  i^i  Fin )  ->  v  C_  I )
13 nffvmpt1 5880 . . . . . . . 8  |-  F/_ y
( ( y  e.  I  |->  C ) `  z )
14 nfcv 2619 . . . . . . . 8  |-  F/_ z
( ( y  e.  I  |->  C ) `  y )
15 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
( y  e.  I  |->  C ) `  z
)  =  ( ( y  e.  I  |->  C ) `  y ) )
1613, 14, 15cbviin 4370 . . . . . . 7  |-  |^|_ z  e.  v  ( (
y  e.  I  |->  C ) `  z )  =  |^|_ y  e.  v  ( ( y  e.  I  |->  C ) `  y )
17 simplr 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  y  e.  I
)  /\  C  C_  B
)  ->  y  e.  I )
18 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  y  e.  I
)  /\  C  C_  B
)  ->  B  e.  V )
19 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  y  e.  I
)  /\  C  C_  B
)  ->  C  C_  B
)
2018, 19ssexd 4603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  y  e.  I
)  /\  C  C_  B
)  ->  C  e.  _V )
215fvmpt2 5964 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  I  /\  C  e.  _V )  ->  ( ( y  e.  I  |->  C ) `  y )  =  C )
2217, 20, 21syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  y  e.  I
)  /\  C  C_  B
)  ->  ( (
y  e.  I  |->  C ) `  y )  =  C )
2322ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  V  /\  y  e.  I )  ->  ( C  C_  B  ->  ( ( y  e.  I  |->  C ) `  y )  =  C ) )
2423ralimdva 2865 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  V  ->  ( A. y  e.  I  C  C_  B  ->  A. y  e.  I  ( (
y  e.  I  |->  C ) `  y )  =  C ) )
2524imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  V  /\  A. y  e.  I  C 
C_  B )  ->  A. y  e.  I 
( ( y  e.  I  |->  C ) `  y )  =  C )
26 ssralv 3560 . . . . . . . . 9  |-  ( v 
C_  I  ->  ( A. y  e.  I 
( ( y  e.  I  |->  C ) `  y )  =  C  ->  A. y  e.  v  ( ( y  e.  I  |->  C ) `  y )  =  C ) )
2725, 26mpan9 469 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A. y  e.  I  C  C_  B )  /\  v  C_  I )  ->  A. y  e.  v 
( ( y  e.  I  |->  C ) `  y )  =  C )
28 iineq2 4350 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  v  (
( y  e.  I  |->  C ) `  y
)  =  C  ->  |^|_ y  e.  v  ( ( y  e.  I  |->  C ) `  y
)  =  |^|_ y  e.  v  C )
2927, 28syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A. y  e.  I  C  C_  B )  /\  v  C_  I )  ->  |^|_ y  e.  v  ( ( y  e.  I  |->  C ) `  y
)  =  |^|_ y  e.  v  C )
3016, 29syl5eq 2510 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A. y  e.  I  C  C_  B )  /\  v  C_  I )  ->  |^|_ z  e.  v  ( ( y  e.  I  |->  C ) `  z
)  =  |^|_ y  e.  v  C )
3130ineq2d 3696 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A. y  e.  I  C  C_  B )  /\  v  C_  I )  -> 
( B  i^i  |^|_ z  e.  v  (
( y  e.  I  |->  C ) `  z
) )  =  ( B  i^i  |^|_ y  e.  v  C )
)
3231eqeq2d 2471 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A. y  e.  I  C  C_  B )  /\  v  C_  I )  -> 
( A  =  ( B  i^i  |^|_ z  e.  v  ( (
y  e.  I  |->  C ) `  z ) )  <->  A  =  ( B  i^i  |^|_ y  e.  v  C ) ) )
3312, 32sylan2 474 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A. y  e.  I  C  C_  B )  /\  v  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) )  ->  ( A  =  ( B  i^i  |^|_ z  e.  v  (
( y  e.  I  |->  C ) `  z
) )  <->  A  =  ( B  i^i  |^|_ y  e.  v  C )
) )
3433rexbidva 2965 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  A. y  e.  I  C 
C_  B )  -> 
( E. v  e.  ( ~P I  i^i 
Fin ) A  =  ( B  i^i  |^|_ z  e.  v  (
( y  e.  I  |->  C ) `  z
) )  <->  E. v  e.  ( ~P I  i^i 
Fin ) A  =  ( B  i^i  |^|_ y  e.  v  C
) ) )
359, 34bitrd 253 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  A. y  e.  I  C 
C_  B )  -> 
( A  e.  ( fi `  ( { B }  u.  ran  ( y  e.  I  |->  C ) ) )  <->  E. v  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) A  =  ( B  i^i  |^|_ y  e.  v  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   {csn 4032   |^|_ciin 4333    |-> cmpt 4515   ran crn 5009   -->wf 5590   ` cfv 5594   Fincfn 7535   ficfi 7888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-fin 7539  df-fi 7889
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