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Theorem elrfirn2 35583
Description: Elementhood in a set of relative finite intersections of an indexed family of sets (implicit). (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
elrfirn2  |-  ( ( B  e.  V  /\  A. y  e.  I  C 
C_  B )  -> 
( A  e.  ( fi `  ( { B }  u.  ran  ( y  e.  I  |->  C ) ) )  <->  E. v  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) A  =  ( B  i^i  |^|_ y  e.  v  C ) ) )
Distinct variable groups:    v, A    v, B, y    v, C   
v, I, y    v, V, y
Allowed substitution hints:    A( y)    C( y)

Proof of Theorem elrfirn2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpw2g 4580 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  V  ->  ( C  e.  ~P B  <->  C 
C_  B ) )
21biimprd 231 . . . . . 6  |-  ( B  e.  V  ->  ( C  C_  B  ->  C  e.  ~P B ) )
32ralimdv 2810 . . . . 5  |-  ( B  e.  V  ->  ( A. y  e.  I  C  C_  B  ->  A. y  e.  I  C  e.  ~P B ) )
43imp 435 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  A. y  e.  I  C 
C_  B )  ->  A. y  e.  I  C  e.  ~P B
)
5 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( y  e.  I  |->  C )  =  ( y  e.  I  |->  C )
65fmpt 6066 . . . 4  |-  ( A. y  e.  I  C  e.  ~P B  <->  ( y  e.  I  |->  C ) : I --> ~P B
)
74, 6sylib 201 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  A. y  e.  I  C 
C_  B )  -> 
( y  e.  I  |->  C ) : I --> ~P B )
8 elrfirn 35582 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  ( y  e.  I  |->  C ) : I --> ~P B )  -> 
( A  e.  ( fi `  ( { B }  u.  ran  ( y  e.  I  |->  C ) ) )  <->  E. v  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) A  =  ( B  i^i  |^|_ z  e.  v  ( ( y  e.  I  |->  C ) `  z ) ) ) )
97, 8syldan 477 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  A. y  e.  I  C 
C_  B )  -> 
( A  e.  ( fi `  ( { B }  u.  ran  ( y  e.  I  |->  C ) ) )  <->  E. v  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) A  =  ( B  i^i  |^|_ z  e.  v  ( ( y  e.  I  |->  C ) `  z ) ) ) )
10 inss1 3664 . . . . . 6  |-  ( ~P I  i^i  Fin )  C_ 
~P I
1110sseli 3440 . . . . 5  |-  ( v  e.  ( ~P I  i^i  Fin )  ->  v  e.  ~P I )
1211elpwid 3973 . . . 4  |-  ( v  e.  ( ~P I  i^i  Fin )  ->  v  C_  I )
13 nffvmpt1 5896 . . . . . . . 8  |-  F/_ y
( ( y  e.  I  |->  C ) `  z )
14 nfcv 2603 . . . . . . . 8  |-  F/_ z
( ( y  e.  I  |->  C ) `  y )
15 fveq2 5888 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
( y  e.  I  |->  C ) `  z
)  =  ( ( y  e.  I  |->  C ) `  y ) )
1613, 14, 15cbviin 4330 . . . . . . 7  |-  |^|_ z  e.  v  ( (
y  e.  I  |->  C ) `  z )  =  |^|_ y  e.  v  ( ( y  e.  I  |->  C ) `  y )
17 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  y  e.  I
)  /\  C  C_  B
)  ->  y  e.  I )
18 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  y  e.  I
)  /\  C  C_  B
)  ->  B  e.  V )
19 simpr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  y  e.  I
)  /\  C  C_  B
)  ->  C  C_  B
)
2018, 19ssexd 4564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  y  e.  I
)  /\  C  C_  B
)  ->  C  e.  _V )
215fvmpt2 5980 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  I  /\  C  e.  _V )  ->  ( ( y  e.  I  |->  C ) `  y )  =  C )
2217, 20, 21syl2anc 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  y  e.  I
)  /\  C  C_  B
)  ->  ( (
y  e.  I  |->  C ) `  y )  =  C )
2322ex 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  V  /\  y  e.  I )  ->  ( C  C_  B  ->  ( ( y  e.  I  |->  C ) `  y )  =  C ) )
2423ralimdva 2808 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  V  ->  ( A. y  e.  I  C  C_  B  ->  A. y  e.  I  ( (
y  e.  I  |->  C ) `  y )  =  C ) )
2524imp 435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  V  /\  A. y  e.  I  C 
C_  B )  ->  A. y  e.  I 
( ( y  e.  I  |->  C ) `  y )  =  C )
26 ssralv 3505 . . . . . . . . 9  |-  ( v 
C_  I  ->  ( A. y  e.  I 
( ( y  e.  I  |->  C ) `  y )  =  C  ->  A. y  e.  v  ( ( y  e.  I  |->  C ) `  y )  =  C ) )
2725, 26mpan9 476 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A. y  e.  I  C  C_  B )  /\  v  C_  I )  ->  A. y  e.  v 
( ( y  e.  I  |->  C ) `  y )  =  C )
28 iineq2 4310 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  v  (
( y  e.  I  |->  C ) `  y
)  =  C  ->  |^|_ y  e.  v  ( ( y  e.  I  |->  C ) `  y
)  =  |^|_ y  e.  v  C )
2927, 28syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A. y  e.  I  C  C_  B )  /\  v  C_  I )  ->  |^|_ y  e.  v  ( ( y  e.  I  |->  C ) `  y
)  =  |^|_ y  e.  v  C )
3016, 29syl5eq 2508 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A. y  e.  I  C  C_  B )  /\  v  C_  I )  ->  |^|_ z  e.  v  ( ( y  e.  I  |->  C ) `  z
)  =  |^|_ y  e.  v  C )
3130ineq2d 3646 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A. y  e.  I  C  C_  B )  /\  v  C_  I )  -> 
( B  i^i  |^|_ z  e.  v  (
( y  e.  I  |->  C ) `  z
) )  =  ( B  i^i  |^|_ y  e.  v  C )
)
3231eqeq2d 2472 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A. y  e.  I  C  C_  B )  /\  v  C_  I )  -> 
( A  =  ( B  i^i  |^|_ z  e.  v  ( (
y  e.  I  |->  C ) `  z ) )  <->  A  =  ( B  i^i  |^|_ y  e.  v  C ) ) )
3312, 32sylan2 481 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A. y  e.  I  C  C_  B )  /\  v  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) )  ->  ( A  =  ( B  i^i  |^|_ z  e.  v  (
( y  e.  I  |->  C ) `  z
) )  <->  A  =  ( B  i^i  |^|_ y  e.  v  C )
) )
3433rexbidva 2910 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  A. y  e.  I  C 
C_  B )  -> 
( E. v  e.  ( ~P I  i^i 
Fin ) A  =  ( B  i^i  |^|_ z  e.  v  (
( y  e.  I  |->  C ) `  z
) )  <->  E. v  e.  ( ~P I  i^i 
Fin ) A  =  ( B  i^i  |^|_ y  e.  v  C
) ) )
359, 34bitrd 261 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  A. y  e.  I  C 
C_  B )  -> 
( A  e.  ( fi `  ( { B }  u.  ran  ( y  e.  I  |->  C ) ) )  <->  E. v  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) A  =  ( B  i^i  |^|_ y  e.  v  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898   A.wral 2749   E.wrex 2750   _Vcvv 3057    u. cun 3414    i^i cin 3415    C_ wss 3416   ~Pcpw 3963   {csn 3980   |^|_ciin 4293    |-> cmpt 4475   ran crn 4854   -->wf 5597   ` cfv 5601   Fincfn 7595   ficfi 7950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-fin 7599  df-fi 7951
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