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Theorem elrfi 35607
Description: Elementhood in a set of relative finite intersections. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
elrfi  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  ->  ( A  e.  ( fi `  ( { B }  u.  C
) )  <->  E. v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  ( B  i^i  |^| v
) ) )
Distinct variable groups:    v, A    v, B    v, C    v, V

Proof of Theorem elrfi
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3040 . . 3  |-  ( A  e.  ( fi `  ( { B }  u.  C ) )  ->  A  e.  _V )
21a1i 11 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  ->  ( A  e.  ( fi `  ( { B }  u.  C
) )  ->  A  e.  _V ) )
3 inex1g 4539 . . . . 5  |-  ( B  e.  V  ->  ( B  i^i  |^| v )  e. 
_V )
4 eleq1 2537 . . . . 5  |-  ( A  =  ( B  i^i  |^| v )  ->  ( A  e.  _V  <->  ( B  i^i  |^| v )  e. 
_V ) )
53, 4syl5ibrcom 230 . . . 4  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  =  ( B  i^i  |^| v )  ->  A  e.  _V )
)
65rexlimdvw 2874 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  ( E. v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  ( B  i^i  |^| v )  ->  A  e.  _V )
)
76adantr 472 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  ->  ( E. v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  ( B  i^i  |^| v
)  ->  A  e.  _V ) )
8 simpr 468 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B
)  /\  A  e.  _V )  ->  A  e. 
_V )
9 snex 4641 . . . . . 6  |-  { B }  e.  _V
10 pwexg 4585 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  V  ->  ~P B  e.  _V )
1110ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B
)  /\  A  e.  _V )  ->  ~P B  e.  _V )
12 simplr 770 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B
)  /\  A  e.  _V )  ->  C  C_  ~P B )
1311, 12ssexd 4543 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B
)  /\  A  e.  _V )  ->  C  e. 
_V )
14 unexg 6611 . . . . . 6  |-  ( ( { B }  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  ( { B }  u.  C )  e.  _V )
159, 13, 14sylancr 676 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B
)  /\  A  e.  _V )  ->  ( { B }  u.  C
)  e.  _V )
16 elfi 7945 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( { B }  u.  C )  e.  _V )  ->  ( A  e.  ( fi `  ( { B }  u.  C
) )  <->  E. w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C
)  i^i  Fin ) A  =  |^| w ) )
178, 15, 16syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B
)  /\  A  e.  _V )  ->  ( A  e.  ( fi `  ( { B }  u.  C ) )  <->  E. w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C
)  i^i  Fin ) A  =  |^| w ) )
18 inss1 3643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  C_  ~P ( { B }  u.  C
)
19 uncom 3569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { B }  u.  C
)  =  ( C  u.  { B }
)
2019pweqi 3946 . . . . . . . . . . . 12  |-  ~P ( { B }  u.  C
)  =  ~P ( C  u.  { B } )
2118, 20sseqtri 3450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  C_  ~P ( C  u.  { B }
)
2221sseli 3414 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C
)  i^i  Fin )  ->  w  e.  ~P ( C  u.  { B } ) )
239elpwun 6623 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ~P ( C  u.  { B }
)  <->  ( w  \  { B } )  e. 
~P C )
2422, 23sylib 201 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C
)  i^i  Fin )  ->  ( w  \  { B } )  e.  ~P C )
2524ad2antrl 742 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  -> 
( w  \  { B } )  e.  ~P C )
26 inss2 3644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  C_  Fin
2726sseli 3414 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C
)  i^i  Fin )  ->  w  e.  Fin )
28 diffi 7821 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  Fin  ->  (
w  \  { B } )  e.  Fin )
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C
)  i^i  Fin )  ->  ( w  \  { B } )  e.  Fin )
3029ad2antrl 742 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  -> 
( w  \  { B } )  e.  Fin )
3125, 30elind 3609 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  -> 
( w  \  { B } )  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )
32 incom 3616 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  i^i  A )  =  ( A  i^i  B
)
33 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  ->  A  =  |^| w )
34 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  ->  A  e.  _V )
3533, 34eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  ->  |^| w  e.  _V )
36 intex 4557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =/=  (/)  <->  |^| w  e.  _V )
3735, 36sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  ->  w  =/=  (/) )
38 intssuni 4248 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =/=  (/)  ->  |^| w  C_  U. w )
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  ->  |^| w  C_  U. w
)
4018sseli 3414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C
)  i^i  Fin )  ->  w  e.  ~P ( { B }  u.  C
) )
4140elpwid 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C
)  i^i  Fin )  ->  w  C_  ( { B }  u.  C
) )
4241ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  ->  w  C_  ( { B }  u.  C )
)
43 pwidg 3955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( B  e.  V  ->  B  e.  ~P B )
4443snssd 4108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  e.  V  ->  { B }  C_  ~P B )
4544adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  ->  { B }  C_ 
~P B )
46 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  ->  C  C_  ~P B )
4745, 46unssd 3601 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  ->  ( { B }  u.  C )  C_ 
~P B )
4847ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  -> 
( { B }  u.  C )  C_  ~P B )
4942, 48sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  ->  w  C_  ~P B )
50 sspwuni 4360 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w 
C_  ~P B  <->  U. w  C_  B )
5149, 50sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  ->  U. w  C_  B )
5239, 51sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  ->  |^| w  C_  B )
5333, 52eqsstrd 3452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  ->  A  C_  B )
54 df-ss 3404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  B  <->  ( A  i^i  B )  =  A )
5553, 54sylib 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  -> 
( A  i^i  B
)  =  A )
5632, 55syl5req 2518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  ->  A  =  ( B  i^i  A ) )
57 ineq2 3619 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  |^| w  -> 
( B  i^i  A
)  =  ( B  i^i  |^| w ) )
5857ad2antll 743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  -> 
( B  i^i  A
)  =  ( B  i^i  |^| w ) )
5956, 58eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  ->  A  =  ( B  i^i  |^| w ) )
60 intun 4258 . . . . . . . . . . . 12  |-  |^| ( { B }  u.  w
)  =  ( |^| { B }  i^i  |^| w )
61 intsng 4261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  V  ->  |^| { B }  =  B )
6261ineq1d 3624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  V  ->  ( |^| { B }  i^i  |^| w )  =  ( B  i^i  |^| w
) )
6360, 62syl5req 2518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  V  ->  ( B  i^i  |^| w )  = 
|^| ( { B }  u.  w )
)
6463ad3antrrr 744 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  -> 
( B  i^i  |^| w )  =  |^| ( { B }  u.  w ) )
6559, 64eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  ->  A  =  |^| ( { B }  u.  w
) )
66 undif2 3834 . . . . . . . . . 10  |-  ( { B }  u.  (
w  \  { B } ) )  =  ( { B }  u.  w )
6766inteqi 4230 . . . . . . . . 9  |-  |^| ( { B }  u.  (
w  \  { B } ) )  = 
|^| ( { B }  u.  w )
6865, 67syl6eqr 2523 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  ->  A  =  |^| ( { B }  u.  (
w  \  { B } ) ) )
69 intun 4258 . . . . . . . . . 10  |-  |^| ( { B }  u.  (
w  \  { B } ) )  =  ( |^| { B }  i^i  |^| ( w  \  { B } ) )
7061ineq1d 3624 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  V  ->  ( |^| { B }  i^i  |^| ( w  \  { B } ) )  =  ( B  i^i  |^| ( w  \  { B } ) ) )
7169, 70syl5eq 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  V  ->  |^| ( { B }  u.  (
w  \  { B } ) )  =  ( B  i^i  |^| ( w  \  { B } ) ) )
7271ad3antrrr 744 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  ->  |^| ( { B }  u.  ( w  \  { B } ) )  =  ( B  i^i  |^| ( w  \  { B } ) ) )
7368, 72eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  ->  A  =  ( B  i^i  |^| ( w  \  { B } ) ) )
74 inteq 4229 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( w  \  { B } )  ->  |^| v  =  |^| ( w  \  { B } ) )
7574ineq2d 3625 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( w  \  { B } )  -> 
( B  i^i  |^| v )  =  ( B  i^i  |^| (
w  \  { B } ) ) )
7675eqeq2d 2481 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( w  \  { B } )  -> 
( A  =  ( B  i^i  |^| v
)  <->  A  =  ( B  i^i  |^| ( w  \  { B } ) ) ) )
7776rspcev 3136 . . . . . . 7  |-  ( ( ( w  \  { B } )  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  /\  A  =  ( B  i^i  |^| (
w  \  { B } ) ) )  ->  E. v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  ( B  i^i  |^| v ) )
7831, 73, 77syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  (
w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| w ) )  ->  E. v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  ( B  i^i  |^| v ) )
7978rexlimdvaa 2872 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B
)  /\  A  e.  _V )  ->  ( E. w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin ) A  =  |^| w  ->  E. v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  ( B  i^i  |^| v ) ) )
80 ssun1 3588 . . . . . . . . . . . 12  |-  { B }  C_  ( { B }  u.  C )
8180a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  { B }  C_  ( { B }  u.  C )
)
82 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ~P C  i^i  Fin )  C_ 
~P C
8382sseli 3414 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  ->  v  e.  ~P C )
84 elpwi 3951 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ~P C  -> 
v  C_  C )
85 ssun4 3591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v 
C_  C  ->  v  C_  ( { B }  u.  C ) )
8683, 84, 853syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  ->  v  C_  ( { B }  u.  C ) )
8786adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  v  C_  ( { B }  u.  C ) )
8881, 87unssd 3601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( { B }  u.  v
)  C_  ( { B }  u.  C
) )
89 vex 3034 . . . . . . . . . . . 12  |-  v  e. 
_V
909, 89unex 6608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { B }  u.  v
)  e.  _V
9190elpw 3948 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { B }  u.  v )  e.  ~P ( { B }  u.  C )  <->  ( { B }  u.  v
)  C_  ( { B }  u.  C
) )
9288, 91sylibr 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( { B }  u.  v
)  e.  ~P ( { B }  u.  C
) )
93 snfi 7668 . . . . . . . . . 10  |-  { B }  e.  Fin
94 inss2 3644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P C  i^i  Fin )  C_ 
Fin
9594sseli 3414 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  ->  v  e.  Fin )
9695adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  v  e.  Fin )
97 unfi 7856 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { B }  e.  Fin  /\  v  e.  Fin )  ->  ( { B }  u.  v )  e.  Fin )
9893, 96, 97sylancr 676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( { B }  u.  v
)  e.  Fin )
9992, 98elind 3609 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( { B }  u.  v
)  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin ) )
10061eqcomd 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  V  ->  B  =  |^| { B }
)
101100ineq1d 3624 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  V  ->  ( B  i^i  |^| v )  =  ( |^| { B }  i^i  |^| v ) )
102 intun 4258 . . . . . . . . . 10  |-  |^| ( { B }  u.  v
)  =  ( |^| { B }  i^i  |^| v )
103101, 102syl6eqr 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  V  ->  ( B  i^i  |^| v )  = 
|^| ( { B }  u.  v )
)
104103ad3antrrr 744 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( B  i^i  |^| v )  = 
|^| ( { B }  u.  v )
)
105 inteq 4229 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( { B }  u.  v )  ->  |^| w  =  |^| ( { B }  u.  v ) )
106105eqeq2d 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( { B }  u.  v )  ->  ( ( B  i^i  |^| v )  =  |^| w 
<->  ( B  i^i  |^| v )  =  |^| ( { B }  u.  v ) ) )
107106rspcev 3136 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( { B }  u.  v )  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin )  /\  ( B  i^i  |^| v )  = 
|^| ( { B }  u.  v )
)  ->  E. w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C
)  i^i  Fin )
( B  i^i  |^| v )  =  |^| w )
10899, 104, 107syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  E. w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C
)  i^i  Fin )
( B  i^i  |^| v )  =  |^| w )
109 eqeq1 2475 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  ( B  i^i  |^| v )  ->  ( A  =  |^| w  <->  ( B  i^i  |^| v )  = 
|^| w ) )
110109rexbidv 2892 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( B  i^i  |^| v )  ->  ( E. w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin ) A  =  |^| w 
<->  E. w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin ) ( B  i^i  |^| v )  = 
|^| w ) )
111108, 110syl5ibrcom 230 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  /\  A  e.  _V )  /\  v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( A  =  ( B  i^i  |^| v )  ->  E. w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin ) A  =  |^| w ) )
112111rexlimdva 2871 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B
)  /\  A  e.  _V )  ->  ( E. v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  ( B  i^i  |^| v )  ->  E. w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin ) A  =  |^| w ) )
11379, 112impbid 195 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B
)  /\  A  e.  _V )  ->  ( E. w  e.  ( ~P ( { B }  u.  C )  i^i  Fin ) A  =  |^| w 
<->  E. v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  ( B  i^i  |^| v ) ) )
11417, 113bitrd 261 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B
)  /\  A  e.  _V )  ->  ( A  e.  ( fi `  ( { B }  u.  C ) )  <->  E. v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  ( B  i^i  |^| v
) ) )
115114ex 441 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  ->  ( A  e. 
_V  ->  ( A  e.  ( fi `  ( { B }  u.  C
) )  <->  E. v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  ( B  i^i  |^| v
) ) ) )
1162, 7, 115pm5.21ndd 361 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  C_  ~P B )  ->  ( A  e.  ( fi `  ( { B }  u.  C
) )  <->  E. v  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  ( B  i^i  |^| v
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   U.cuni 4190   |^|cint 4226   ` cfv 5589   Fincfn 7587   ficfi 7942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943
This theorem is referenced by:  elrfirn  35608
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