Theorem elrfi 26638

Description: Elementhood in a set of relative finite intersections. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elrfi	|- ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) -> ( A e. ( fi ` ( { B } u. C ) ) <-> E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) ) )

Distinct variable groups:   v, A   v, B   v, C   v, V

Proof of Theorem elrfi

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2924	. . 3 |- ( A e. ( fi ` ( { B } u. C ) ) -> A e. _V )
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) -> ( A e. ( fi ` ( { B } u. C ) ) -> A e. _V ) )
3		inex1g 4306	. . . . 5 |- ( B e. V -> ( B i^i |^| v ) e. _V )
4		eleq1 2464	. . . . 5 |- ( A = ( B i^i |^| v ) -> ( A e. _V <-> ( B i^i |^| v ) e. _V ) )
5	3, 4	syl5ibrcom 214	. . . 4 |- ( B e. V -> ( A = ( B i^i |^| v ) -> A e. _V ) )
6	5	rexlimdvw 2793	. . 3 |- ( B e. V -> ( E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) -> A e. _V ) )
7	6	adantr 452	. 2 |- ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) -> ( E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) -> A e. _V ) )
8		simpr 448	. . . . 5 |- ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) -> A e. _V )
9		snex 4365	. . . . . 6 |- { B } e. _V
10		pwexg 4343	. . . . . . . 8 |- ( B e. V -> ~P B e. _V )
11	10	ad2antrr 707	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) -> ~P B e. _V )
12		simplr 732	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) -> C C_ ~P B )
13	11, 12	ssexd 4310	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) -> C e. _V )
14		unexg 4669	. . . . . 6 |- ( ( { B } e. _V /\ C e. _V ) -> ( { B } u. C ) e. _V )
15	9, 13, 14	sylancr 645	. . . . 5 |- ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) -> ( { B } u. C ) e. _V )
16		elfi 7376	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ ( { B } u. C ) e. _V ) -> ( A e. ( fi ` ( { B } u. C ) ) <-> E. w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) A = |^| w ) )
17	8, 15, 16	syl2anc 643	. . . 4 |- ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) -> ( A e. ( fi ` ( { B } u. C ) ) <-> E. w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) A = |^| w ) )
18		inss1 3521	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) C_ ~P ( { B } u. C )
19		uncom 3451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { B } u. C ) = ( C u. { B } )
20	19	pweqi 3763	. . . . . . . . . . . 12 |- ~P ( { B } u. C ) = ~P ( C u. { B } )
21	18, 20	sseqtri 3340	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) C_ ~P ( C u. { B } )
22	21	sseli 3304	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) -> w e. ~P ( C u. { B } ) )
23	9	elpwun 4715	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ~P ( C u. { B } ) <-> ( w \ { B } ) e. ~P C )
24	22, 23	sylib 189	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) -> ( w \ { B } ) e. ~P C )
25	24	ad2antrl 709	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> ( w \ { B } ) e. ~P C )
26		inss2 3522	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) C_ Fin
27	26	sseli 3304	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) -> w e. Fin )
28		diffi 7298	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. Fin -> ( w \ { B } ) e. Fin )
29	27, 28	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) -> ( w \ { B } ) e. Fin )
30	29	ad2antrl 709	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> ( w \ { B } ) e. Fin )
31		elin 3490	. . . . . . . 8 |- ( ( w \ { B } ) e. ( ~P C i^i Fin ) <-> ( ( w \ { B } ) e. ~P C /\ ( w \ { B } ) e. Fin ) )
32	25, 30, 31	sylanbrc 646	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> ( w \ { B } ) e. ( ~P C i^i Fin ) )
33		incom 3493	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B i^i A ) = ( A i^i B )
34		simprr 734	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> A = |^| w )
35		simplr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> A e. _V )
36	34, 35	eqeltrrd 2479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> |^| w e. _V )
37		intex 4316	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w =/= (/) <-> |^| w e. _V )
38	36, 37	sylibr 204	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> w =/= (/) )
39		intssuni 4032	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w =/= (/) -> |^| w C_ U. w )
40	38, 39	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> |^| w C_ U. w )
41	18	sseli 3304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) -> w e. ~P ( { B } u. C ) )
42		elpwi 3767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w e. ~P ( { B } u. C ) -> w C_ ( { B } u. C ) )
43	41, 42	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) -> w C_ ( { B } u. C ) )
44	43	ad2antrl 709	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> w C_ ( { B } u. C ) )
45		pwidg 3771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( B e. V -> B e. ~P B )
46	45	snssd 3903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( B e. V -> { B } C_ ~P B )
47	46	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) -> { B } C_ ~P B )
48		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) -> C C_ ~P B )
49	47, 48	unssd 3483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) -> ( { B } u. C ) C_ ~P B )
50	49	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> ( { B } u. C ) C_ ~P B )
51	44, 50	sstrd 3318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> w C_ ~P B )
52		sspwuni 4136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w C_ ~P B <-> U. w C_ B )
53	51, 52	sylib 189	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> U. w C_ B )
54	40, 53	sstrd 3318	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> |^| w C_ B )
55	34, 54	eqsstrd 3342	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> A C_ B )
56		df-ss 3294	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A C_ B <-> ( A i^i B ) = A )
57	55, 56	sylib 189	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> ( A i^i B ) = A )
58	33, 57	syl5req 2449	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> A = ( B i^i A ) )
59		ineq2 3496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = |^| w -> ( B i^i A ) = ( B i^i |^| w ) )
60	59	ad2antll 710	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> ( B i^i A ) = ( B i^i |^| w ) )
61	58, 60	eqtrd 2436	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> A = ( B i^i |^| w ) )
62		intun 4042	. . . . . . . . . . . 12 |- |^| ( { B } u. w ) = ( |^| { B } i^i |^| w )
63		intsng 4045	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. V -> |^| { B } = B )
64	63	ineq1d 3501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. V -> ( |^| { B } i^i |^| w ) = ( B i^i |^| w ) )
65	62, 64	syl5req 2449	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. V -> ( B i^i |^| w ) = |^| ( { B } u. w ) )
66	65	ad3antrrr 711	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> ( B i^i |^| w ) = |^| ( { B } u. w ) )
67	61, 66	eqtrd 2436	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> A = |^| ( { B } u. w ) )
68		undif2 3664	. . . . . . . . . 10 |- ( { B } u. ( w \ { B } ) ) = ( { B } u. w )
69	68	inteqi 4014	. . . . . . . . 9 |- |^| ( { B } u. ( w \ { B } ) ) = |^| ( { B } u. w )
70	67, 69	syl6eqr 2454	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> A = |^| ( { B } u. ( w \ { B } ) ) )
71		intun 4042	. . . . . . . . . 10 |- |^| ( { B } u. ( w \ { B } ) ) = ( |^| { B } i^i |^| ( w \ { B } ) )
72	63	ineq1d 3501	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. V -> ( |^| { B } i^i |^| ( w \ { B } ) ) = ( B i^i |^| ( w \ { B } ) ) )
73	71, 72	syl5eq 2448	. . . . . . . . 9 |- ( B e. V -> |^| ( { B } u. ( w \ { B } ) ) = ( B i^i |^| ( w \ { B } ) ) )
74	73	ad3antrrr 711	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> |^| ( { B } u. ( w \ { B } ) ) = ( B i^i |^| ( w \ { B } ) ) )
75	70, 74	eqtrd 2436	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> A = ( B i^i |^| ( w \ { B } ) ) )
76		inteq 4013	. . . . . . . . . 10 |- ( v = ( w \ { B } ) -> |^| v = |^| ( w \ { B } ) )
77	76	ineq2d 3502	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( w \ { B } ) -> ( B i^i |^| v ) = ( B i^i |^| ( w \ { B } ) ) )
78	77	eqeq2d 2415	. . . . . . . 8 |- ( v = ( w \ { B } ) -> ( A = ( B i^i |^| v ) <-> A = ( B i^i |^| ( w \ { B } ) ) ) )
79	78	rspcev 3012	. . . . . . 7 |- ( ( ( w \ { B } ) e. ( ~P C i^i Fin ) /\ A = ( B i^i |^| ( w \ { B } ) ) ) -> E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) )
80	32, 75, 79	syl2anc 643	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) )
81	80	rexlimdvaa 2791	. . . . 5 |- ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) -> ( E. w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) A = |^| w -> E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) ) )
82		ssun1 3470	. . . . . . . . . . . 12 |- { B } C_ ( { B } u. C )
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ v e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> { B } C_ ( { B } u. C ) )
84		inss1 3521	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ~P C i^i Fin ) C_ ~P C
85	84	sseli 3304	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. ( ~P C i^i Fin ) -> v e. ~P C )
86		elpwi 3767	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. ~P C -> v C_ C )
87		ssun4 3473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v C_ C -> v C_ ( { B } u. C ) )
88	85, 86, 87	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. ( ~P C i^i Fin ) -> v C_ ( { B } u. C ) )
89	88	adantl 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ v e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> v C_ ( { B } u. C ) )
90	83, 89	unssd 3483	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ v e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( { B } u. v ) C_ ( { B } u. C ) )
91		vex 2919	. . . . . . . . . . . 12 |- v e. _V
92	9, 91	unex 4666	. . . . . . . . . . 11 |- ( { B } u. v ) e. _V
93	92	elpw 3765	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { B } u. v ) e. ~P ( { B } u. C ) <-> ( { B } u. v ) C_ ( { B } u. C ) )
94	90, 93	sylibr 204	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ v e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( { B } u. v ) e. ~P ( { B } u. C ) )
95		snfi 7146	. . . . . . . . . 10 |- { B } e. Fin
96		inss2 3522	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P C i^i Fin ) C_ Fin
97	96	sseli 3304	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. ( ~P C i^i Fin ) -> v e. Fin )
98	97	adantl 453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ v e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> v e. Fin )
99		unfi 7333	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { B } e. Fin /\ v e. Fin ) -> ( { B } u. v ) e. Fin )
100	95, 98, 99	sylancr 645	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ v e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( { B } u. v ) e. Fin )
101		elin 3490	. . . . . . . . 9 |- ( ( { B } u. v ) e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) <-> ( ( { B } u. v ) e. ~P ( { B } u. C ) /\ ( { B } u. v ) e. Fin ) )
102	94, 100, 101	sylanbrc 646	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ v e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( { B } u. v ) e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) )
103	63	eqcomd 2409	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. V -> B = |^| { B } )
104	103	ineq1d 3501	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. V -> ( B i^i |^| v ) = ( |^| { B } i^i |^| v ) )
105		intun 4042	. . . . . . . . . 10 |- |^| ( { B } u. v ) = ( |^| { B } i^i |^| v )
106	104, 105	syl6eqr 2454	. . . . . . . . 9 |- ( B e. V -> ( B i^i |^| v ) = |^| ( { B } u. v ) )
107	106	ad3antrrr 711	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ v e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( B i^i |^| v ) = |^| ( { B } u. v ) )
108		inteq 4013	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( { B } u. v ) -> |^| w = |^| ( { B } u. v ) )
109	108	eqeq2d 2415	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( { B } u. v ) -> ( ( B i^i |^| v ) = |^| w <-> ( B i^i |^| v ) = |^| ( { B } u. v ) ) )
110	109	rspcev 3012	. . . . . . . 8 |- ( ( ( { B } u. v ) e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ ( B i^i |^| v ) = |^| ( { B } u. v ) ) -> E. w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) ( B i^i |^| v ) = |^| w )
111	102, 107, 110	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ v e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> E. w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) ( B i^i |^| v ) = |^| w )
112		eqeq1 2410	. . . . . . . 8 |- ( A = ( B i^i |^| v ) -> ( A = |^| w <-> ( B i^i |^| v ) = |^| w ) )
113	112	rexbidv 2687	. . . . . . 7 |- ( A = ( B i^i |^| v ) -> ( E. w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) A = |^| w <-> E. w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) ( B i^i |^| v ) = |^| w ) )
114	111, 113	syl5ibrcom 214	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ v e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( A = ( B i^i |^| v ) -> E. w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) A = |^| w ) )
115	114	rexlimdva 2790	. . . . 5 |- ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) -> ( E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) -> E. w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) A = |^| w ) )
116	81, 115	impbid 184	. . . 4 |- ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) -> ( E. w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) A = |^| w <-> E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) ) )
117	17, 116	bitrd 245	. . 3 |- ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) -> ( A e. ( fi ` ( { B } u. C ) ) <-> E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) ) )
118	117	ex 424	. 2 |- ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) -> ( A e. _V -> ( A e. ( fi ` ( { B } u. C ) ) <-> E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) ) ) )
119	2, 7, 118	pm5.21ndd 344	1 |- ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) -> ( A e. ( fi ` ( { B } u. C ) ) <-> E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   E.wrex 2667   _Vcvv 2916   \ cdif 3277   u. cun 3278   i^i cin 3279   C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   U.cuni 3975   |^|cint 4010   ` cfv 5413   Fincfn 7068   ficfi 7373

This theorem is referenced by:  elrfirn  26639

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-fin 7072  df-fi 7374