Theorem elrfi 29001

Description: Elementhood in a set of relative finite intersections. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elrfi	|- ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) -> ( A e. ( fi ` ( { B } u. C ) ) <-> E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) ) )

Distinct variable groups:   v, A   v, B   v, C   v, V

Proof of Theorem elrfi

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2976	. . 3 |- ( A e. ( fi ` ( { B } u. C ) ) -> A e. _V )
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) -> ( A e. ( fi ` ( { B } u. C ) ) -> A e. _V ) )
3		inex1g 4430	. . . . 5 |- ( B e. V -> ( B i^i |^| v ) e. _V )
4		eleq1 2498	. . . . 5 |- ( A = ( B i^i |^| v ) -> ( A e. _V <-> ( B i^i |^| v ) e. _V ) )
5	3, 4	syl5ibrcom 222	. . . 4 |- ( B e. V -> ( A = ( B i^i |^| v ) -> A e. _V ) )
6	5	rexlimdvw 2839	. . 3 |- ( B e. V -> ( E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) -> A e. _V ) )
7	6	adantr 465	. 2 |- ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) -> ( E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) -> A e. _V ) )
8		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) -> A e. _V )
9		snex 4528	. . . . . 6 |- { B } e. _V
10		pwexg 4471	. . . . . . . 8 |- ( B e. V -> ~P B e. _V )
11	10	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) -> ~P B e. _V )
12		simplr 754	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) -> C C_ ~P B )
13	11, 12	ssexd 4434	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) -> C e. _V )
14		unexg 6376	. . . . . 6 |- ( ( { B } e. _V /\ C e. _V ) -> ( { B } u. C ) e. _V )
15	9, 13, 14	sylancr 663	. . . . 5 |- ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) -> ( { B } u. C ) e. _V )
16		elfi 7655	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ ( { B } u. C ) e. _V ) -> ( A e. ( fi ` ( { B } u. C ) ) <-> E. w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) A = |^| w ) )
17	8, 15, 16	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) -> ( A e. ( fi ` ( { B } u. C ) ) <-> E. w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) A = |^| w ) )
18		inss1 3565	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) C_ ~P ( { B } u. C )
19		uncom 3495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { B } u. C ) = ( C u. { B } )
20	19	pweqi 3859	. . . . . . . . . . . 12 |- ~P ( { B } u. C ) = ~P ( C u. { B } )
21	18, 20	sseqtri 3383	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) C_ ~P ( C u. { B } )
22	21	sseli 3347	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) -> w e. ~P ( C u. { B } ) )
23	9	elpwun 6384	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ~P ( C u. { B } ) <-> ( w \ { B } ) e. ~P C )
24	22, 23	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) -> ( w \ { B } ) e. ~P C )
25	24	ad2antrl 727	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> ( w \ { B } ) e. ~P C )
26		inss2 3566	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) C_ Fin
27	26	sseli 3347	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) -> w e. Fin )
28		diffi 7535	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. Fin -> ( w \ { B } ) e. Fin )
29	27, 28	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) -> ( w \ { B } ) e. Fin )
30	29	ad2antrl 727	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> ( w \ { B } ) e. Fin )
31	25, 30	elind 3535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> ( w \ { B } ) e. ( ~P C i^i Fin ) )
32		incom 3538	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B i^i A ) = ( A i^i B )
33		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> A = |^| w )
34		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> A e. _V )
35	33, 34	eqeltrrd 2513	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> |^| w e. _V )
36		intex 4443	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w =/= (/) <-> |^| w e. _V )
37	35, 36	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> w =/= (/) )
38		intssuni 4145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w =/= (/) -> |^| w C_ U. w )
39	37, 38	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> |^| w C_ U. w )
40	18	sseli 3347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) -> w e. ~P ( { B } u. C ) )
41	40	elpwid 3865	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) -> w C_ ( { B } u. C ) )
42	41	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> w C_ ( { B } u. C ) )
43		pwidg 3868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( B e. V -> B e. ~P B )
44	43	snssd 4013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( B e. V -> { B } C_ ~P B )
45	44	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) -> { B } C_ ~P B )
46		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) -> C C_ ~P B )
47	45, 46	unssd 3527	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) -> ( { B } u. C ) C_ ~P B )
48	47	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> ( { B } u. C ) C_ ~P B )
49	42, 48	sstrd 3361	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> w C_ ~P B )
50		sspwuni 4251	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w C_ ~P B <-> U. w C_ B )
51	49, 50	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> U. w C_ B )
52	39, 51	sstrd 3361	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> |^| w C_ B )
53	33, 52	eqsstrd 3385	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> A C_ B )
54		df-ss 3337	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A C_ B <-> ( A i^i B ) = A )
55	53, 54	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> ( A i^i B ) = A )
56	32, 55	syl5req 2483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> A = ( B i^i A ) )
57		ineq2 3541	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = |^| w -> ( B i^i A ) = ( B i^i |^| w ) )
58	57	ad2antll 728	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> ( B i^i A ) = ( B i^i |^| w ) )
59	56, 58	eqtrd 2470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> A = ( B i^i |^| w ) )
60		intun 4155	. . . . . . . . . . . 12 |- |^| ( { B } u. w ) = ( |^| { B } i^i |^| w )
61		intsng 4158	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. V -> |^| { B } = B )
62	61	ineq1d 3546	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. V -> ( |^| { B } i^i |^| w ) = ( B i^i |^| w ) )
63	60, 62	syl5req 2483	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. V -> ( B i^i |^| w ) = |^| ( { B } u. w ) )
64	63	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> ( B i^i |^| w ) = |^| ( { B } u. w ) )
65	59, 64	eqtrd 2470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> A = |^| ( { B } u. w ) )
66		undif2 3750	. . . . . . . . . 10 |- ( { B } u. ( w \ { B } ) ) = ( { B } u. w )
67	66	inteqi 4127	. . . . . . . . 9 |- |^| ( { B } u. ( w \ { B } ) ) = |^| ( { B } u. w )
68	65, 67	syl6eqr 2488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> A = |^| ( { B } u. ( w \ { B } ) ) )
69		intun 4155	. . . . . . . . . 10 |- |^| ( { B } u. ( w \ { B } ) ) = ( |^| { B } i^i |^| ( w \ { B } ) )
70	61	ineq1d 3546	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. V -> ( |^| { B } i^i |^| ( w \ { B } ) ) = ( B i^i |^| ( w \ { B } ) ) )
71	69, 70	syl5eq 2482	. . . . . . . . 9 |- ( B e. V -> |^| ( { B } u. ( w \ { B } ) ) = ( B i^i |^| ( w \ { B } ) ) )
72	71	ad3antrrr 729	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> |^| ( { B } u. ( w \ { B } ) ) = ( B i^i |^| ( w \ { B } ) ) )
73	68, 72	eqtrd 2470	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> A = ( B i^i |^| ( w \ { B } ) ) )
74		inteq 4126	. . . . . . . . . 10 |- ( v = ( w \ { B } ) -> |^| v = |^| ( w \ { B } ) )
75	74	ineq2d 3547	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( w \ { B } ) -> ( B i^i |^| v ) = ( B i^i |^| ( w \ { B } ) ) )
76	75	eqeq2d 2449	. . . . . . . 8 |- ( v = ( w \ { B } ) -> ( A = ( B i^i |^| v ) <-> A = ( B i^i |^| ( w \ { B } ) ) ) )
77	76	rspcev 3068	. . . . . . 7 |- ( ( ( w \ { B } ) e. ( ~P C i^i Fin ) /\ A = ( B i^i |^| ( w \ { B } ) ) ) -> E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) )
78	31, 73, 77	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) )
79	78	rexlimdvaa 2837	. . . . 5 |- ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) -> ( E. w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) A = |^| w -> E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) ) )
80		ssun1 3514	. . . . . . . . . . . 12 |- { B } C_ ( { B } u. C )
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ v e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> { B } C_ ( { B } u. C ) )
82		inss1 3565	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ~P C i^i Fin ) C_ ~P C
83	82	sseli 3347	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. ( ~P C i^i Fin ) -> v e. ~P C )
84		elpwi 3864	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. ~P C -> v C_ C )
85		ssun4 3517	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v C_ C -> v C_ ( { B } u. C ) )
86	83, 84, 85	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. ( ~P C i^i Fin ) -> v C_ ( { B } u. C ) )
87	86	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ v e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> v C_ ( { B } u. C ) )
88	81, 87	unssd 3527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ v e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( { B } u. v ) C_ ( { B } u. C ) )
89		vex 2970	. . . . . . . . . . . 12 |- v e. _V
90	9, 89	unex 6373	. . . . . . . . . . 11 |- ( { B } u. v ) e. _V
91	90	elpw 3861	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { B } u. v ) e. ~P ( { B } u. C ) <-> ( { B } u. v ) C_ ( { B } u. C ) )
92	88, 91	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ v e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( { B } u. v ) e. ~P ( { B } u. C ) )
93		snfi 7382	. . . . . . . . . 10 |- { B } e. Fin
94		inss2 3566	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P C i^i Fin ) C_ Fin
95	94	sseli 3347	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. ( ~P C i^i Fin ) -> v e. Fin )
96	95	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ v e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> v e. Fin )
97		unfi 7571	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { B } e. Fin /\ v e. Fin ) -> ( { B } u. v ) e. Fin )
98	93, 96, 97	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ v e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( { B } u. v ) e. Fin )
99	92, 98	elind 3535	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ v e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( { B } u. v ) e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) )
100	61	eqcomd 2443	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. V -> B = |^| { B } )
101	100	ineq1d 3546	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. V -> ( B i^i |^| v ) = ( |^| { B } i^i |^| v ) )
102		intun 4155	. . . . . . . . . 10 |- |^| ( { B } u. v ) = ( |^| { B } i^i |^| v )
103	101, 102	syl6eqr 2488	. . . . . . . . 9 |- ( B e. V -> ( B i^i |^| v ) = |^| ( { B } u. v ) )
104	103	ad3antrrr 729	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ v e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( B i^i |^| v ) = |^| ( { B } u. v ) )
105		inteq 4126	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( { B } u. v ) -> |^| w = |^| ( { B } u. v ) )
106	105	eqeq2d 2449	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( { B } u. v ) -> ( ( B i^i |^| v ) = |^| w <-> ( B i^i |^| v ) = |^| ( { B } u. v ) ) )
107	106	rspcev 3068	. . . . . . . 8 |- ( ( ( { B } u. v ) e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ ( B i^i |^| v ) = |^| ( { B } u. v ) ) -> E. w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) ( B i^i |^| v ) = |^| w )
108	99, 104, 107	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ v e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> E. w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) ( B i^i |^| v ) = |^| w )
109		eqeq1 2444	. . . . . . . 8 |- ( A = ( B i^i |^| v ) -> ( A = |^| w <-> ( B i^i |^| v ) = |^| w ) )
110	109	rexbidv 2731	. . . . . . 7 |- ( A = ( B i^i |^| v ) -> ( E. w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) A = |^| w <-> E. w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) ( B i^i |^| v ) = |^| w ) )
111	108, 110	syl5ibrcom 222	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ v e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( A = ( B i^i |^| v ) -> E. w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) A = |^| w ) )
112	111	rexlimdva 2836	. . . . 5 |- ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) -> ( E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) -> E. w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) A = |^| w ) )
113	79, 112	impbid 191	. . . 4 |- ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) -> ( E. w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) A = |^| w <-> E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) ) )
114	17, 113	bitrd 253	. . 3 |- ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) -> ( A e. ( fi ` ( { B } u. C ) ) <-> E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) ) )
115	114	ex 434	. 2 |- ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) -> ( A e. _V -> ( A e. ( fi ` ( { B } u. C ) ) <-> E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) ) ) )
116	2, 7, 115	pm5.21ndd 354	1 |- ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) -> ( A e. ( fi ` ( { B } u. C ) ) <-> E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2601   E.wrex 2711   _Vcvv 2967   \ cdif 3320   u. cun 3321   i^i cin 3322   C_ wss 3323   (/)c0 3632   ~Pcpw 3855   {csn 3872   U.cuni 4086   |^|cint 4123   ` cfv 5413   Fincfn 7302   ficfi 7652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-fin 7306  df-fi 7653

This theorem is referenced by:  elrfirn  29002