Theorem elrfi 29177

Description: Elementhood in a set of relative finite intersections. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elrfi	|- ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) -> ( A e. ( fi ` ( { B } u. C ) ) <-> E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) ) )

Distinct variable groups:   v, A   v, B   v, C   v, V

Proof of Theorem elrfi

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3085	. . 3 |- ( A e. ( fi ` ( { B } u. C ) ) -> A e. _V )
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) -> ( A e. ( fi ` ( { B } u. C ) ) -> A e. _V ) )
3		inex1g 4542	. . . . 5 |- ( B e. V -> ( B i^i |^| v ) e. _V )
4		eleq1 2526	. . . . 5 |- ( A = ( B i^i |^| v ) -> ( A e. _V <-> ( B i^i |^| v ) e. _V ) )
5	3, 4	syl5ibrcom 222	. . . 4 |- ( B e. V -> ( A = ( B i^i |^| v ) -> A e. _V ) )
6	5	rexlimdvw 2948	. . 3 |- ( B e. V -> ( E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) -> A e. _V ) )
7	6	adantr 465	. 2 |- ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) -> ( E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) -> A e. _V ) )
8		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) -> A e. _V )
9		snex 4640	. . . . . 6 |- { B } e. _V
10		pwexg 4583	. . . . . . . 8 |- ( B e. V -> ~P B e. _V )
11	10	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) -> ~P B e. _V )
12		simplr 754	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) -> C C_ ~P B )
13	11, 12	ssexd 4546	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) -> C e. _V )
14		unexg 6490	. . . . . 6 |- ( ( { B } e. _V /\ C e. _V ) -> ( { B } u. C ) e. _V )
15	9, 13, 14	sylancr 663	. . . . 5 |- ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) -> ( { B } u. C ) e. _V )
16		elfi 7773	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ ( { B } u. C ) e. _V ) -> ( A e. ( fi ` ( { B } u. C ) ) <-> E. w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) A = |^| w ) )
17	8, 15, 16	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) -> ( A e. ( fi ` ( { B } u. C ) ) <-> E. w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) A = |^| w ) )
18		inss1 3677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) C_ ~P ( { B } u. C )
19		uncom 3607	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { B } u. C ) = ( C u. { B } )
20	19	pweqi 3971	. . . . . . . . . . . 12 |- ~P ( { B } u. C ) = ~P ( C u. { B } )
21	18, 20	sseqtri 3495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) C_ ~P ( C u. { B } )
22	21	sseli 3459	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) -> w e. ~P ( C u. { B } ) )
23	9	elpwun 6498	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ~P ( C u. { B } ) <-> ( w \ { B } ) e. ~P C )
24	22, 23	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) -> ( w \ { B } ) e. ~P C )
25	24	ad2antrl 727	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> ( w \ { B } ) e. ~P C )
26		inss2 3678	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) C_ Fin
27	26	sseli 3459	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) -> w e. Fin )
28		diffi 7653	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. Fin -> ( w \ { B } ) e. Fin )
29	27, 28	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) -> ( w \ { B } ) e. Fin )
30	29	ad2antrl 727	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> ( w \ { B } ) e. Fin )
31	25, 30	elind 3647	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> ( w \ { B } ) e. ( ~P C i^i Fin ) )
32		incom 3650	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B i^i A ) = ( A i^i B )
33		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> A = |^| w )
34		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> A e. _V )
35	33, 34	eqeltrrd 2543	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> |^| w e. _V )
36		intex 4555	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w =/= (/) <-> |^| w e. _V )
37	35, 36	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> w =/= (/) )
38		intssuni 4257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w =/= (/) -> |^| w C_ U. w )
39	37, 38	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> |^| w C_ U. w )
40	18	sseli 3459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) -> w e. ~P ( { B } u. C ) )
41	40	elpwid 3977	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) -> w C_ ( { B } u. C ) )
42	41	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> w C_ ( { B } u. C ) )
43		pwidg 3980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( B e. V -> B e. ~P B )
44	43	snssd 4125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( B e. V -> { B } C_ ~P B )
45	44	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) -> { B } C_ ~P B )
46		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) -> C C_ ~P B )
47	45, 46	unssd 3639	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) -> ( { B } u. C ) C_ ~P B )
48	47	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> ( { B } u. C ) C_ ~P B )
49	42, 48	sstrd 3473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> w C_ ~P B )
50		sspwuni 4363	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w C_ ~P B <-> U. w C_ B )
51	49, 50	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> U. w C_ B )
52	39, 51	sstrd 3473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> |^| w C_ B )
53	33, 52	eqsstrd 3497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> A C_ B )
54		df-ss 3449	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A C_ B <-> ( A i^i B ) = A )
55	53, 54	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> ( A i^i B ) = A )
56	32, 55	syl5req 2508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> A = ( B i^i A ) )
57		ineq2 3653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = |^| w -> ( B i^i A ) = ( B i^i |^| w ) )
58	57	ad2antll 728	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> ( B i^i A ) = ( B i^i |^| w ) )
59	56, 58	eqtrd 2495	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> A = ( B i^i |^| w ) )
60		intun 4267	. . . . . . . . . . . 12 |- |^| ( { B } u. w ) = ( |^| { B } i^i |^| w )
61		intsng 4270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. V -> |^| { B } = B )
62	61	ineq1d 3658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. V -> ( |^| { B } i^i |^| w ) = ( B i^i |^| w ) )
63	60, 62	syl5req 2508	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. V -> ( B i^i |^| w ) = |^| ( { B } u. w ) )
64	63	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> ( B i^i |^| w ) = |^| ( { B } u. w ) )
65	59, 64	eqtrd 2495	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> A = |^| ( { B } u. w ) )
66		undif2 3862	. . . . . . . . . 10 |- ( { B } u. ( w \ { B } ) ) = ( { B } u. w )
67	66	inteqi 4239	. . . . . . . . 9 |- |^| ( { B } u. ( w \ { B } ) ) = |^| ( { B } u. w )
68	65, 67	syl6eqr 2513	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> A = |^| ( { B } u. ( w \ { B } ) ) )
69		intun 4267	. . . . . . . . . 10 |- |^| ( { B } u. ( w \ { B } ) ) = ( |^| { B } i^i |^| ( w \ { B } ) )
70	61	ineq1d 3658	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. V -> ( |^| { B } i^i |^| ( w \ { B } ) ) = ( B i^i |^| ( w \ { B } ) ) )
71	69, 70	syl5eq 2507	. . . . . . . . 9 |- ( B e. V -> |^| ( { B } u. ( w \ { B } ) ) = ( B i^i |^| ( w \ { B } ) ) )
72	71	ad3antrrr 729	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> |^| ( { B } u. ( w \ { B } ) ) = ( B i^i |^| ( w \ { B } ) ) )
73	68, 72	eqtrd 2495	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> A = ( B i^i |^| ( w \ { B } ) ) )
74		inteq 4238	. . . . . . . . . 10 |- ( v = ( w \ { B } ) -> |^| v = |^| ( w \ { B } ) )
75	74	ineq2d 3659	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( w \ { B } ) -> ( B i^i |^| v ) = ( B i^i |^| ( w \ { B } ) ) )
76	75	eqeq2d 2468	. . . . . . . 8 |- ( v = ( w \ { B } ) -> ( A = ( B i^i |^| v ) <-> A = ( B i^i |^| ( w \ { B } ) ) ) )
77	76	rspcev 3177	. . . . . . 7 |- ( ( ( w \ { B } ) e. ( ~P C i^i Fin ) /\ A = ( B i^i |^| ( w \ { B } ) ) ) -> E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) )
78	31, 73, 77	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ ( w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ A = |^| w ) ) -> E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) )
79	78	rexlimdvaa 2946	. . . . 5 |- ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) -> ( E. w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) A = |^| w -> E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) ) )
80		ssun1 3626	. . . . . . . . . . . 12 |- { B } C_ ( { B } u. C )
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ v e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> { B } C_ ( { B } u. C ) )
82		inss1 3677	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ~P C i^i Fin ) C_ ~P C
83	82	sseli 3459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. ( ~P C i^i Fin ) -> v e. ~P C )
84		elpwi 3976	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. ~P C -> v C_ C )
85		ssun4 3629	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v C_ C -> v C_ ( { B } u. C ) )
86	83, 84, 85	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. ( ~P C i^i Fin ) -> v C_ ( { B } u. C ) )
87	86	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ v e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> v C_ ( { B } u. C ) )
88	81, 87	unssd 3639	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ v e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( { B } u. v ) C_ ( { B } u. C ) )
89		vex 3079	. . . . . . . . . . . 12 |- v e. _V
90	9, 89	unex 6487	. . . . . . . . . . 11 |- ( { B } u. v ) e. _V
91	90	elpw 3973	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { B } u. v ) e. ~P ( { B } u. C ) <-> ( { B } u. v ) C_ ( { B } u. C ) )
92	88, 91	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ v e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( { B } u. v ) e. ~P ( { B } u. C ) )
93		snfi 7499	. . . . . . . . . 10 |- { B } e. Fin
94		inss2 3678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P C i^i Fin ) C_ Fin
95	94	sseli 3459	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. ( ~P C i^i Fin ) -> v e. Fin )
96	95	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ v e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> v e. Fin )
97		unfi 7689	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { B } e. Fin /\ v e. Fin ) -> ( { B } u. v ) e. Fin )
98	93, 96, 97	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ v e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( { B } u. v ) e. Fin )
99	92, 98	elind 3647	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ v e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( { B } u. v ) e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) )
100	61	eqcomd 2462	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. V -> B = |^| { B } )
101	100	ineq1d 3658	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. V -> ( B i^i |^| v ) = ( |^| { B } i^i |^| v ) )
102		intun 4267	. . . . . . . . . 10 |- |^| ( { B } u. v ) = ( |^| { B } i^i |^| v )
103	101, 102	syl6eqr 2513	. . . . . . . . 9 |- ( B e. V -> ( B i^i |^| v ) = |^| ( { B } u. v ) )
104	103	ad3antrrr 729	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ v e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( B i^i |^| v ) = |^| ( { B } u. v ) )
105		inteq 4238	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( { B } u. v ) -> |^| w = |^| ( { B } u. v ) )
106	105	eqeq2d 2468	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( { B } u. v ) -> ( ( B i^i |^| v ) = |^| w <-> ( B i^i |^| v ) = |^| ( { B } u. v ) ) )
107	106	rspcev 3177	. . . . . . . 8 |- ( ( ( { B } u. v ) e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) /\ ( B i^i |^| v ) = |^| ( { B } u. v ) ) -> E. w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) ( B i^i |^| v ) = |^| w )
108	99, 104, 107	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ v e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> E. w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) ( B i^i |^| v ) = |^| w )
109		eqeq1 2458	. . . . . . . 8 |- ( A = ( B i^i |^| v ) -> ( A = |^| w <-> ( B i^i |^| v ) = |^| w ) )
110	109	rexbidv 2864	. . . . . . 7 |- ( A = ( B i^i |^| v ) -> ( E. w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) A = |^| w <-> E. w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) ( B i^i |^| v ) = |^| w ) )
111	108, 110	syl5ibrcom 222	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) /\ v e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( A = ( B i^i |^| v ) -> E. w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) A = |^| w ) )
112	111	rexlimdva 2945	. . . . 5 |- ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) -> ( E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) -> E. w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) A = |^| w ) )
113	79, 112	impbid 191	. . . 4 |- ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) -> ( E. w e. ( ~P ( { B } u. C ) i^i Fin ) A = |^| w <-> E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) ) )
114	17, 113	bitrd 253	. . 3 |- ( ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) /\ A e. _V ) -> ( A e. ( fi ` ( { B } u. C ) ) <-> E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) ) )
115	114	ex 434	. 2 |- ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) -> ( A e. _V -> ( A e. ( fi ` ( { B } u. C ) ) <-> E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) ) ) )
116	2, 7, 115	pm5.21ndd 354	1 |- ( ( B e. V /\ C C_ ~P B ) -> ( A e. ( fi ` ( { B } u. C ) ) <-> E. v e. ( ~P C i^i Fin ) A = ( B i^i |^| v ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2647   E.wrex 2799   _Vcvv 3076   \ cdif 3432   u. cun 3433   i^i cin 3434   C_ wss 3435   (/)c0 3744   ~Pcpw 3967   {csn 3984   U.cuni 4198   |^|cint 4235   ` cfv 5525   Fincfn 7419   ficfi 7770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-en 7420  df-fin 7423  df-fi 7771

This theorem is referenced by:  elrfirn  29178