MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elrestr Structured version   Unicode version

Theorem elrestr 14388
Description: Sufficient condition for being an open set in a subspace. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
elrestr  |-  ( ( J  e.  V  /\  S  e.  W  /\  A  e.  J )  ->  ( A  i^i  S
)  e.  ( Jt  S ) )

Proof of Theorem elrestr
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . 4  |-  ( A  i^i  S )  =  ( A  i^i  S
)
2 ineq1 3566 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  i^i  S )  =  ( A  i^i  S ) )
32eqeq2d 2454 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( A  i^i  S
)  =  ( x  i^i  S )  <->  ( A  i^i  S )  =  ( A  i^i  S ) ) )
43rspcev 3094 . . . 4  |-  ( ( A  e.  J  /\  ( A  i^i  S )  =  ( A  i^i  S ) )  ->  E. x  e.  J  ( A  i^i  S )  =  ( x  i^i  S ) )
51, 4mpan2 671 . . 3  |-  ( A  e.  J  ->  E. x  e.  J  ( A  i^i  S )  =  ( x  i^i  S ) )
6 elrest 14387 . . 3  |-  ( ( J  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( ( A  i^i  S )  e.  ( Jt  S )  <->  E. x  e.  J  ( A  i^i  S )  =  ( x  i^i 
S ) ) )
75, 6syl5ibr 221 . 2  |-  ( ( J  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( A  e.  J  ->  ( A  i^i  S
)  e.  ( Jt  S ) ) )
873impia 1184 1  |-  ( ( J  e.  V  /\  S  e.  W  /\  A  e.  J )  ->  ( A  i^i  S
)  e.  ( Jt  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2737    i^i cin 3348  (class class class)co 6112   ↾t crest 14380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pr 4552  ax-un 6393
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-rest 14382
This theorem is referenced by:  firest  14392  restbas  18784  tgrest  18785  resttopon  18787  restcld  18798  restfpw  18805  neitr  18806  restntr  18808  ordtrest  18828  cnrest  18911  lmss  18924  consubclo  19050  restnlly  19108  islly2  19110  cldllycmp  19121  lly1stc  19122  kgenss  19138  xkococnlem  19254  xkoinjcn  19282  qtoprest  19312  trfbas2  19438  trfil1  19481  trfil2  19482  fgtr  19485  trfg  19486  uzrest  19492  trufil  19505  flimrest  19578  cnextcn  19661  trust  19826  restutop  19834  trcfilu  19891  cfiluweak  19892  xrsmopn  20411  zdis  20415  xrge0tsms  20433  cnheibor  20549  cfilres  20829  lhop2  21509  psercn  21913  xrlimcnp  22384  xrge0tsmsd  26275  ordtrestNEW  26373  pnfneige0  26403  lmxrge0  26404  rrhre  26469  cvmscld  27184  cvmopnlem  27189  cvmliftmolem1  27192  subspopn  28674
  Copyright terms: Public domain W3C validator