MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elrestr Structured version   Unicode version

Theorem elrestr 14363
Description: Sufficient condition for being an open set in a subspace. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
elrestr  |-  ( ( J  e.  V  /\  S  e.  W  /\  A  e.  J )  ->  ( A  i^i  S
)  e.  ( Jt  S ) )

Proof of Theorem elrestr
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . . 4  |-  ( A  i^i  S )  =  ( A  i^i  S
)
2 ineq1 3542 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  i^i  S )  =  ( A  i^i  S ) )
32eqeq2d 2452 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( A  i^i  S
)  =  ( x  i^i  S )  <->  ( A  i^i  S )  =  ( A  i^i  S ) ) )
43rspcev 3070 . . . 4  |-  ( ( A  e.  J  /\  ( A  i^i  S )  =  ( A  i^i  S ) )  ->  E. x  e.  J  ( A  i^i  S )  =  ( x  i^i  S ) )
51, 4mpan2 666 . . 3  |-  ( A  e.  J  ->  E. x  e.  J  ( A  i^i  S )  =  ( x  i^i  S ) )
6 elrest 14362 . . 3  |-  ( ( J  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( ( A  i^i  S )  e.  ( Jt  S )  <->  E. x  e.  J  ( A  i^i  S )  =  ( x  i^i 
S ) ) )
75, 6syl5ibr 221 . 2  |-  ( ( J  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( A  e.  J  ->  ( A  i^i  S
)  e.  ( Jt  S ) ) )
873impia 1179 1  |-  ( ( J  e.  V  /\  S  e.  W  /\  A  e.  J )  ->  ( A  i^i  S
)  e.  ( Jt  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   E.wrex 2714    i^i cin 3324  (class class class)co 6090   ↾t crest 14355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-rest 14357
This theorem is referenced by:  firest  14367  restbas  18721  tgrest  18722  resttopon  18724  restcld  18735  restfpw  18742  neitr  18743  restntr  18745  ordtrest  18765  cnrest  18848  lmss  18861  consubclo  18987  restnlly  19045  islly2  19047  cldllycmp  19058  lly1stc  19059  kgenss  19075  xkococnlem  19191  xkoinjcn  19219  qtoprest  19249  trfbas2  19375  trfil1  19418  trfil2  19419  fgtr  19422  trfg  19423  uzrest  19429  trufil  19442  flimrest  19515  cnextcn  19598  trust  19763  restutop  19771  trcfilu  19828  cfiluweak  19829  xrsmopn  20348  zdis  20352  xrge0tsms  20370  cnheibor  20486  cfilres  20766  lhop2  21446  psercn  21850  xrlimcnp  22321  xrge0tsmsd  26188  ordtrestNEW  26287  pnfneige0  26317  lmxrge0  26318  rrhre  26383  cvmscld  27092  cvmopnlem  27097  cvmliftmolem1  27100  subspopn  28573
  Copyright terms: Public domain W3C validator