MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elrest Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem elrest 15374
Description: The predicate "is an open set of a subspace topology". (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
elrest  |-  ( ( J  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  e.  ( Jt  B )  <->  E. x  e.  J  A  =  ( x  i^i  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, J
Allowed substitution hints:    V( x)    W( x)

Proof of Theorem elrest
StepHypRef Expression
1 restval 15373 . . 3  |-  ( ( J  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( Jt  B )  =  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  B
) ) )
21eleq2d 2524 . 2  |-  ( ( J  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  e.  ( Jt  B )  <->  A  e.  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  B
) ) ) )
3 eqid 2461 . . 3  |-  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  B ) )  =  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i 
B ) )
4 vex 3059 . . . 4  |-  x  e. 
_V
54inex1 4557 . . 3  |-  ( x  i^i  B )  e. 
_V
63, 5elrnmpti 5103 . 2  |-  ( A  e.  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  B ) )  <->  E. x  e.  J  A  =  ( x  i^i  B ) )
72, 6syl6bb 269 1  |-  ( ( J  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  e.  ( Jt  B )  <->  E. x  e.  J  A  =  ( x  i^i  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897   E.wrex 2749    i^i cin 3414    |-> cmpt 4474   ran crn 4853  (class class class)co 6314   ↾t crest 15367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pr 4652  ax-un 6609
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-id 4767  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-rest 15369
This theorem is referenced by:  elrestr  15375  restsspw  15378  firest  15379  restbas  20222  restsn  20234  restcld  20236  restopnb  20239  ssrest  20240  neitr  20244  restntr  20246  cnrest2  20350  cnpresti  20352  cnprest  20353  cnprest2  20354  lmss  20362  cmpsublem  20462  cmpsub  20463  consuba  20483  1stcrest  20516  subislly  20544  cldllycmp  20558  txrest  20694  trfbas2  20906  trfbas  20907  trfil2  20950  flimrest  21046  fclsrest  21087  cnextcn  21130  tsmssubm  21205  trust  21292  restutop  21300  restutopopn  21301  trcfilu  21357  metrest  21587  xrtgioo  21872  xrge0tsms  21900  icoopnst  22015  iocopnst  22016  subopnmbl  22610  mbfimaopn2  22661  xrlimcnp  23942  xrge0tsmsd  28596  ptrest  31983  poimirlem29  32013  icccncfext  37802
  Copyright terms: Public domain W3C validator