MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elrest Structured version   Unicode version

Theorem elrest 14381
Description: The predicate "is an open set of a subspace topology". (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
elrest  |-  ( ( J  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  e.  ( Jt  B )  <->  E. x  e.  J  A  =  ( x  i^i  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, J
Allowed substitution hints:    V( x)    W( x)

Proof of Theorem elrest
StepHypRef Expression
1 restval 14380 . . 3  |-  ( ( J  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( Jt  B )  =  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  B
) ) )
21eleq2d 2510 . 2  |-  ( ( J  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  e.  ( Jt  B )  <->  A  e.  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  B
) ) ) )
3 eqid 2443 . . 3  |-  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  B ) )  =  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i 
B ) )
4 vex 2990 . . . 4  |-  x  e. 
_V
54inex1 4448 . . 3  |-  ( x  i^i  B )  e. 
_V
63, 5elrnmpti 5105 . 2  |-  ( A  e.  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  B ) )  <->  E. x  e.  J  A  =  ( x  i^i  B ) )
72, 6syl6bb 261 1  |-  ( ( J  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  e.  ( Jt  B )  <->  E. x  e.  J  A  =  ( x  i^i  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2731    i^i cin 3342    e. cmpt 4365   ran crn 4856  (class class class)co 6106   ↾t crest 14374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pr 4546  ax-un 6387
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-nul 3653  df-if 3807  df-sn 3893  df-pr 3895  df-op 3899  df-uni 4107  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-id 4651  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-rest 14376
This theorem is referenced by:  elrestr  14382  restsspw  14385  firest  14386  restbas  18777  restsn  18789  restcld  18791  restopnb  18794  ssrest  18795  neitr  18799  restntr  18801  cnrest2  18905  cnpresti  18907  cnprest  18908  cnprest2  18909  lmss  18917  cmpsublem  19017  cmpsub  19018  consuba  19039  1stcrest  19072  subislly  19100  cldllycmp  19114  txrest  19219  trfbas2  19431  trfbas  19432  trfil2  19475  flimrest  19571  fclsrest  19612  cnextcn  19654  tsmssubm  19731  trust  19819  restutop  19827  restutopopn  19828  trcfilu  19884  metrest  20114  xrtgioo  20398  xrge0tsms  20426  icoopnst  20526  iocopnst  20527  subopnmbl  21099  mbfimaopn2  21150  xrlimcnp  22377  xrge0tsmsd  26268  ptrest  28444
  Copyright terms: Public domain W3C validator