MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elrest Structured version   Unicode version

Theorem elrest 14679
Description: The predicate "is an open set of a subspace topology". (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
elrest  |-  ( ( J  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  e.  ( Jt  B )  <->  E. x  e.  J  A  =  ( x  i^i  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, J
Allowed substitution hints:    V( x)    W( x)

Proof of Theorem elrest
StepHypRef Expression
1 restval 14678 . . 3  |-  ( ( J  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( Jt  B )  =  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  B
) ) )
21eleq2d 2537 . 2  |-  ( ( J  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  e.  ( Jt  B )  <->  A  e.  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  B
) ) ) )
3 eqid 2467 . . 3  |-  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  B ) )  =  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i 
B ) )
4 vex 3116 . . . 4  |-  x  e. 
_V
54inex1 4588 . . 3  |-  ( x  i^i  B )  e. 
_V
63, 5elrnmpti 5251 . 2  |-  ( A  e.  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  B ) )  <->  E. x  e.  J  A  =  ( x  i^i  B ) )
72, 6syl6bb 261 1  |-  ( ( J  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  e.  ( Jt  B )  <->  E. x  e.  J  A  =  ( x  i^i  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815    i^i cin 3475    |-> cmpt 4505   ran crn 5000  (class class class)co 6282   ↾t crest 14672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-rest 14674
This theorem is referenced by:  elrestr  14680  restsspw  14683  firest  14684  restbas  19425  restsn  19437  restcld  19439  restopnb  19442  ssrest  19443  neitr  19447  restntr  19449  cnrest2  19553  cnpresti  19555  cnprest  19556  cnprest2  19557  lmss  19565  cmpsublem  19665  cmpsub  19666  consuba  19687  1stcrest  19720  subislly  19748  cldllycmp  19762  txrest  19867  trfbas2  20079  trfbas  20080  trfil2  20123  flimrest  20219  fclsrest  20260  cnextcn  20302  tsmssubm  20379  trust  20467  restutop  20475  restutopopn  20476  trcfilu  20532  metrest  20762  xrtgioo  21046  xrge0tsms  21074  icoopnst  21174  iocopnst  21175  subopnmbl  21748  mbfimaopn2  21799  xrlimcnp  23026  xrge0tsmsd  27438  ptrest  29625  icccncfext  31226
  Copyright terms: Public domain W3C validator