MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elrest Structured version   Unicode version

Theorem elrest 14362
Description: The predicate "is an open set of a subspace topology". (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
elrest  |-  ( ( J  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  e.  ( Jt  B )  <->  E. x  e.  J  A  =  ( x  i^i  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, J
Allowed substitution hints:    V( x)    W( x)

Proof of Theorem elrest
StepHypRef Expression
1 restval 14361 . . 3  |-  ( ( J  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( Jt  B )  =  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  B
) ) )
21eleq2d 2508 . 2  |-  ( ( J  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  e.  ( Jt  B )  <->  A  e.  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  B
) ) ) )
3 eqid 2441 . . 3  |-  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  B ) )  =  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i 
B ) )
4 vex 2973 . . . 4  |-  x  e. 
_V
54inex1 4430 . . 3  |-  ( x  i^i  B )  e. 
_V
63, 5elrnmpti 5086 . 2  |-  ( A  e.  ran  ( x  e.  J  |->  ( x  i^i  B ) )  <->  E. x  e.  J  A  =  ( x  i^i  B ) )
72, 6syl6bb 261 1  |-  ( ( J  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  e.  ( Jt  B )  <->  E. x  e.  J  A  =  ( x  i^i  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   E.wrex 2714    i^i cin 3324    e. cmpt 4347   ran crn 4837  (class class class)co 6090   ↾t crest 14355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-rest 14357
This theorem is referenced by:  elrestr  14363  restsspw  14366  firest  14367  restbas  18721  restsn  18733  restcld  18735  restopnb  18738  ssrest  18739  neitr  18743  restntr  18745  cnrest2  18849  cnpresti  18851  cnprest  18852  cnprest2  18853  lmss  18861  cmpsublem  18961  cmpsub  18962  consuba  18983  1stcrest  19016  subislly  19044  cldllycmp  19058  txrest  19163  trfbas2  19375  trfbas  19376  trfil2  19419  flimrest  19515  fclsrest  19556  cnextcn  19598  tsmssubm  19675  trust  19763  restutop  19771  restutopopn  19772  trcfilu  19828  metrest  20058  xrtgioo  20342  xrge0tsms  20370  icoopnst  20470  iocopnst  20471  subopnmbl  21043  mbfimaopn2  21094  xrlimcnp  22321  xrge0tsmsd  26188  ptrest  28350
  Copyright terms: Public domain W3C validator