MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elres Unicode version

Theorem elres 5140
Description: Membership in a restriction. (Contributed by Scott Fenton, 17-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
elres  |-  ( A  e.  ( B  |`  C )  <->  E. x  e.  C  E. y
( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C, y

Proof of Theorem elres
StepHypRef Expression
1 relres 5133 . . . . 5  |-  Rel  ( B  |`  C )
2 elrel 4937 . . . . 5  |-  ( ( Rel  ( B  |`  C )  /\  A  e.  ( B  |`  C ) )  ->  E. x E. y  A  =  <. x ,  y >.
)
31, 2mpan 652 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B  |`  C )  ->  E. x E. y  A  =  <. x ,  y >.
)
4 eleq1 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  ( A  e.  ( B  |`  C )  <->  <. x ,  y >.  e.  ( B  |`  C ) ) )
54biimpd 199 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  ( A  e.  ( B  |`  C )  ->  <. x ,  y
>.  e.  ( B  |`  C ) ) )
6 vex 2919 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
76opelres 5110 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( B  |`  C )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  B  /\  x  e.  C ) )
87biimpi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( B  |`  C )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  B  /\  x  e.  C
) )
98ancomd 439 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( B  |`  C )  ->  ( x  e.  C  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) )
105, 9syl6com 33 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( B  |`  C )  ->  ( A  =  <. x ,  y >.  ->  ( x  e.  C  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
1110ancld 537 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( B  |`  C )  ->  ( A  =  <. x ,  y >.  ->  ( A  =  <. x ,  y
>.  /\  ( x  e.  C  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) ) ) )
12 an12 773 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  C  /\  <.
x ,  y >.  e.  B ) )  <->  ( x  e.  C  /\  ( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
1311, 12syl6ib 218 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( B  |`  C )  ->  ( A  =  <. x ,  y >.  ->  ( x  e.  C  /\  ( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) ) ) )
14132eximdv 1631 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B  |`  C )  ->  ( E. x E. y  A  =  <. x ,  y
>.  ->  E. x E. y
( x  e.  C  /\  ( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) ) ) )
153, 14mpd 15 . . 3  |-  ( A  e.  ( B  |`  C )  ->  E. x E. y ( x  e.  C  /\  ( A  =  <. x ,  y
>.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B ) ) )
16 rexcom4 2935 . . . 4  |-  ( E. x  e.  C  E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B )  <->  E. y E. x  e.  C  ( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) )
17 df-rex 2672 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  C  ( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
)  <->  E. x ( x  e.  C  /\  ( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
1817exbii 1589 . . . 4  |-  ( E. y E. x  e.  C  ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B )  <->  E. y E. x ( x  e.  C  /\  ( A  =  <. x ,  y
>.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B ) ) )
19 excom 1752 . . . 4  |-  ( E. y E. x ( x  e.  C  /\  ( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) )  <->  E. x E. y ( x  e.  C  /\  ( A  =  <. x ,  y
>.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B ) ) )
2016, 18, 193bitri 263 . . 3  |-  ( E. x  e.  C  E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B )  <->  E. x E. y ( x  e.  C  /\  ( A  =  <. x ,  y
>.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B ) ) )
2115, 20sylibr 204 . 2  |-  ( A  e.  ( B  |`  C )  ->  E. x  e.  C  E. y
( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) )
227simplbi2com 1380 . . . . . 6  |-  ( x  e.  C  ->  ( <. x ,  y >.  e.  B  ->  <. x ,  y >.  e.  ( B  |`  C )
) )
234biimprd 215 . . . . . 6  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( B  |`  C )  ->  A  e.  ( B  |`  C ) ) )
2422, 23syl9 68 . . . . 5  |-  ( x  e.  C  ->  ( A  =  <. x ,  y >.  ->  ( <.
x ,  y >.  e.  B  ->  A  e.  ( B  |`  C ) ) ) )
2524imp3a 421 . . . 4  |-  ( x  e.  C  ->  (
( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  A  e.  ( B  |`  C ) ) )
2625exlimdv 1643 . . 3  |-  ( x  e.  C  ->  ( E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B )  ->  A  e.  ( B  |`  C ) ) )
2726rexlimiv 2784 . 2  |-  ( E. x  e.  C  E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B )  ->  A  e.  ( B  |`  C ) )
2821, 27impbii 181 1  |-  ( A  e.  ( B  |`  C )  <->  E. x  e.  C  E. y
( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2667   <.cop 3777    |` cres 4839   Rel wrel 4842
This theorem is referenced by:  elsnres  5141  eldm3  25333
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-opab 4227  df-xp 4843  df-rel 4844  df-res 4849
  Copyright terms: Public domain W3C validator