MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elrege0 Structured version   Unicode version

Theorem elrege0 11638
Description: The predicate "is a nonnegative real". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elrege0  |-  ( A  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )

Proof of Theorem elrege0
StepHypRef Expression
1 0re 9599 . 2  |-  0  e.  RR
2 elicopnf 11631 . 2  |-  ( 0  e.  RR  ->  ( A  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) ) )
31, 2ax-mp 5 1  |-  ( A  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1804   class class class wbr 4437  (class class class)co 6281   RRcr 9494   0cc0 9495   +oocpnf 9628    <_ cle 9632   [,)cico 11542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-ico 11546
This theorem is referenced by:  rge0ssre  11639  0e0icopnf  11641  ge0addcl  11643  ge0mulcl  11644  fsumge0  13591  isabvd  17448  abvge0  17453  nmolb  21202  nmoge0  21206  nmoi  21213  icopnfcnv  21420  cphsqrtcl  21609  tchcph  21658  ovolfsf  21861  ovolmge0  21866  ovolunlem1a  21885  ovoliunlem1  21891  ovolicc2lem4  21909  ioombl1lem4  21949  uniioombllem2  21970  uniioombllem6  21975  0plef  22057  i1fpos  22091  mbfi1fseqlem1  22100  mbfi1fseqlem3  22102  mbfi1fseqlem4  22103  mbfi1fseqlem5  22104  mbfi1fseqlem6  22105  mbfi1flimlem  22107  itg2const  22125  itg2const2  22126  itg2mulclem  22131  itg2mulc  22132  itg2monolem1  22135  itg2mono  22138  itg2addlem  22143  itg2gt0  22145  itg2cnlem1  22146  itg2cnlem2  22147  itg2cn  22148  iblconst  22202  itgconst  22203  ibladdlem  22204  itgaddlem1  22207  iblabslem  22212  iblabs  22213  iblmulc2  22215  itgmulc2lem1  22216  bddmulibl  22223  itggt0  22226  itgcn  22227  dvge0  22385  dvle  22386  dvfsumrlim  22410  cxpcn3lem  23099  cxpcn3  23100  resqrtcn  23101  loglesqrt  23110  areaf  23269  areacl  23270  areage0  23271  rlimcnp3  23275  jensenlem2  23295  jensen  23296  amgmlem  23297  amgm  23298  dchrisumlem3  23654  dchrmusumlema  23656  dchrmusum2  23657  dchrvmasumlem2  23661  dchrvmasumiflem1  23664  dchrisum0lema  23677  dchrisum0lem1b  23678  dchrisum0lem1  23679  dchrisum0lem2  23681  axcontlem2  24246  axcontlem7  24251  axcontlem8  24252  axcontlem10  24254  rge0scvg  27909  esumpcvgval  28062  hasheuni  28069  esumcvg  28070  sibfof  28260  mbfposadd  30038  itg2addnclem2  30043  itg2addnclem3  30044  itg2addnc  30045  itg2gt0cn  30046  ibladdnclem  30047  itgaddnclem1  30049  iblabsnclem  30054  iblabsnc  30055  iblmulc2nc  30056  itgmulc2nclem1  30057  bddiblnc  30061  itggt0cn  30063  ftc1anclem3  30068  ftc1anclem4  30069  ftc1anclem5  30070  ftc1anclem6  30071  ftc1anclem7  30072  ftc1anclem8  30073  areacirclem2  30084  fprodge0  31551
  Copyright terms: Public domain W3C validator