MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elrege0 Structured version   Unicode version

Theorem elrege0 11745
Description: The predicate "is a nonnegative real". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elrege0  |-  ( A  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )

Proof of Theorem elrege0
StepHypRef Expression
1 0re 9650 . 2  |-  0  e.  RR
2 elicopnf 11737 . 2  |-  ( 0  e.  RR  ->  ( A  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) ) )
31, 2ax-mp 5 1  |-  ( A  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    /\ wa 370    e. wcel 1872   class class class wbr 4423  (class class class)co 6305   RRcr 9545   0cc0 9546   +oocpnf 9679    <_ cle 9683   [,)cico 11644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-ico 11648
This theorem is referenced by:  nn0rp0  11746  rge0ssre  11747  0e0icopnf  11749  ge0addcl  11751  ge0mulcl  11752  fsumge0  13854  fprodge0  14046  isabvd  18047  abvge0  18052  nmolb  21720  nmoge0  21724  nmoi  21731  nmolbOLD  21739  nmoge0OLD  21742  nmoiOLD  21747  icopnfcnv  21968  cphsqrtcl  22160  tchcph  22209  ovolfsf  22422  ovolmge0  22428  ovolunlem1a  22447  ovoliunlem1  22453  ovolicc2lem4OLD  22471  ovolicc2lem4  22472  ioombl1lem4  22512  uniioombllem2  22538  uniioombllem2OLD  22539  uniioombllem6  22544  0plef  22628  i1fpos  22662  mbfi1fseqlem1  22671  mbfi1fseqlem3  22673  mbfi1fseqlem4  22674  mbfi1fseqlem5  22675  mbfi1fseqlem6  22676  mbfi1flimlem  22678  itg2const  22696  itg2const2  22697  itg2mulclem  22702  itg2mulc  22703  itg2monolem1  22706  itg2mono  22709  itg2addlem  22714  itg2gt0  22716  itg2cnlem1  22717  itg2cnlem2  22718  itg2cn  22719  iblconst  22773  itgconst  22774  ibladdlem  22775  itgaddlem1  22778  iblabslem  22783  iblabs  22784  iblmulc2  22786  itgmulc2lem1  22787  bddmulibl  22794  itggt0  22797  itgcn  22798  dvge0  22956  dvle  22957  dvfsumrlim  22981  cxpcn3lem  23685  cxpcn3  23686  resqrtcn  23687  loglesqrt  23696  areaf  23885  areacl  23886  areage0  23887  rlimcnp3  23891  jensenlem2  23911  jensen  23912  amgmlem  23913  amgm  23914  dchrisumlem3  24327  dchrmusumlema  24329  dchrmusum2  24330  dchrvmasumlem2  24334  dchrvmasumiflem1  24337  dchrisum0lema  24350  dchrisum0lem1b  24351  dchrisum0lem1  24352  dchrisum0lem2  24354  axcontlem2  24993  axcontlem7  24998  axcontlem8  24999  axcontlem10  25001  rge0scvg  28763  esumpcvgval  28907  hasheuni  28914  esumcvg  28915  sibfof  29181  mbfposadd  31952  itg2addnclem2  31958  itg2addnclem3  31959  itg2addnc  31960  itg2gt0cn  31961  ibladdnclem  31962  itgaddnclem1  31964  iblabsnclem  31969  iblabsnc  31970  iblmulc2nc  31971  itgmulc2nclem1  31972  bddiblnc  31976  itggt0cn  31978  ftc1anclem3  31983  ftc1anclem4  31984  ftc1anclem5  31985  ftc1anclem6  31986  ftc1anclem7  31987  ftc1anclem8  31988  areacirclem2  31997  sge0iunmptlemfi  38163  digvalnn0  40032  nn0digval  40033  dignn0fr  40034  dig2nn1st  40038  digexp  40040
  Copyright terms: Public domain W3C validator