MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elrege0 Structured version   Unicode version

Theorem elrege0 11512
Description: The predicate "is a nonnegative real". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elrege0  |-  ( A  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )

Proof of Theorem elrege0
StepHypRef Expression
1 0re 9500 . 2  |-  0  e.  RR
2 elicopnf 11505 . 2  |-  ( 0  e.  RR  ->  ( A  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) ) )
31, 2ax-mp 5 1  |-  ( A  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1758   class class class wbr 4403  (class class class)co 6203   RRcr 9395   0cc0 9396   +oocpnf 9529    <_ cle 9533   [,)cico 11416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-ico 11420
This theorem is referenced by:  rge0ssre  11513  0e0icopnf  11515  ge0addcl  11517  ge0mulcl  11518  fsumge0  13379  isabvd  17031  abvge0  17036  nmolb  20431  nmoge0  20435  nmoi  20442  icopnfcnv  20649  icopnfhmeo  20650  cphsqrcl  20838  tchcph  20887  ovolfsf  21090  ovolmge0  21095  ovolunlem1a  21114  ovoliunlem1  21120  ovolicc2lem4  21138  ioombl1lem4  21178  uniioombllem2  21199  uniioombllem6  21204  0plef  21286  i1fpos  21320  mbfi1fseqlem1  21329  mbfi1fseqlem3  21331  mbfi1fseqlem4  21332  mbfi1fseqlem5  21333  mbfi1fseqlem6  21334  mbfi1flimlem  21336  itg2const  21354  itg2const2  21355  itg2mulclem  21360  itg2mulc  21361  itg2monolem1  21364  itg2monolem2  21365  itg2monolem3  21366  itg2mono  21367  itg2i1fseqle  21368  itg2i1fseq3  21371  itg2addlem  21372  itg2gt0  21374  itg2cnlem1  21375  itg2cnlem2  21376  itg2cn  21377  iblconst  21431  itgconst  21432  ibladdlem  21433  itgaddlem1  21436  iblabslem  21441  iblabs  21442  iblmulc2  21444  itgmulc2lem1  21445  bddmulibl  21452  itggt0  21455  itgcn  21456  dvge0  21614  dvle  21615  dvfsumrlim  21639  cxpcn3lem  22321  cxpcn3  22322  resqrcn  22323  loglesqr  22332  areaf  22491  areacl  22492  areage0  22493  rlimcnp3  22497  jensenlem2  22517  jensen  22518  amgmlem  22519  amgm  22520  dchrisumlem3  22876  dchrmusumlema  22878  dchrmusum2  22879  dchrvmasumlem2  22883  dchrvmasumiflem1  22886  dchrisum0lema  22899  dchrisum0lem1b  22900  dchrisum0lem1  22901  dchrisum0lem2  22903  axcontlem2  23383  axcontlem7  23388  axcontlem8  23389  axcontlem10  23391  rge0scvg  26544  esumpcvgval  26692  hasheuni  26699  esumcvg  26700  sibfof  26890  mbfposadd  28607  itg2addnclem2  28612  itg2addnclem3  28613  itg2addnc  28614  itg2gt0cn  28615  ibladdnclem  28616  itgaddnclem1  28618  iblabsnclem  28623  iblabsnc  28624  iblmulc2nc  28625  itgmulc2nclem1  28626  bddiblnc  28630  itggt0cn  28632  ftc1anclem3  28637  ftc1anclem4  28638  ftc1anclem5  28639  ftc1anclem6  28640  ftc1anclem7  28641  ftc1anclem8  28642  areacirclem2  28653
  Copyright terms: Public domain W3C validator