MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elrege0 Structured version   Unicode version

Theorem elrege0 11626
Description: The predicate "is a nonnegative real". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elrege0  |-  ( A  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )

Proof of Theorem elrege0
StepHypRef Expression
1 0re 9595 . 2  |-  0  e.  RR
2 elicopnf 11619 . 2  |-  ( 0  e.  RR  ->  ( A  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) ) )
31, 2ax-mp 5 1  |-  ( A  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6283   RRcr 9490   0cc0 9491   +oocpnf 9624    <_ cle 9628   [,)cico 11530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-ico 11534
This theorem is referenced by:  rge0ssre  11627  0e0icopnf  11629  ge0addcl  11631  ge0mulcl  11632  fsumge0  13571  isabvd  17264  abvge0  17269  nmolb  20975  nmoge0  20979  nmoi  20986  icopnfcnv  21193  icopnfhmeo  21194  cphsqrtcl  21382  tchcph  21431  ovolfsf  21634  ovolmge0  21639  ovolunlem1a  21658  ovoliunlem1  21664  ovolicc2lem4  21682  ioombl1lem4  21722  uniioombllem2  21743  uniioombllem6  21748  0plef  21830  i1fpos  21864  mbfi1fseqlem1  21873  mbfi1fseqlem3  21875  mbfi1fseqlem4  21876  mbfi1fseqlem5  21877  mbfi1fseqlem6  21878  mbfi1flimlem  21880  itg2const  21898  itg2const2  21899  itg2mulclem  21904  itg2mulc  21905  itg2monolem1  21908  itg2monolem2  21909  itg2monolem3  21910  itg2mono  21911  itg2i1fseqle  21912  itg2i1fseq3  21915  itg2addlem  21916  itg2gt0  21918  itg2cnlem1  21919  itg2cnlem2  21920  itg2cn  21921  iblconst  21975  itgconst  21976  ibladdlem  21977  itgaddlem1  21980  iblabslem  21985  iblabs  21986  iblmulc2  21988  itgmulc2lem1  21989  bddmulibl  21996  itggt0  21999  itgcn  22000  dvge0  22158  dvle  22159  dvfsumrlim  22183  cxpcn3lem  22865  cxpcn3  22866  resqrtcn  22867  loglesqrt  22876  areaf  23035  areacl  23036  areage0  23037  rlimcnp3  23041  jensenlem2  23061  jensen  23062  amgmlem  23063  amgm  23064  dchrisumlem3  23420  dchrmusumlema  23422  dchrmusum2  23423  dchrvmasumlem2  23427  dchrvmasumiflem1  23430  dchrisum0lema  23443  dchrisum0lem1b  23444  dchrisum0lem1  23445  dchrisum0lem2  23447  axcontlem2  23960  axcontlem7  23965  axcontlem8  23966  axcontlem10  23968  rge0scvg  27583  esumpcvgval  27740  hasheuni  27747  esumcvg  27748  sibfof  27938  mbfposadd  29655  itg2addnclem2  29660  itg2addnclem3  29661  itg2addnc  29662  itg2gt0cn  29663  ibladdnclem  29664  itgaddnclem1  29666  iblabsnclem  29671  iblabsnc  29672  iblmulc2nc  29673  itgmulc2nclem1  29674  bddiblnc  29678  itggt0cn  29680  ftc1anclem3  29685  ftc1anclem4  29686  ftc1anclem5  29687  ftc1anclem6  29688  ftc1anclem7  29689  ftc1anclem8  29690  areacirclem2  29701
  Copyright terms: Public domain W3C validator