Theorem elreal 6402

Description: Membership in class of real numbers.

Assertion

Ref	Expression
elreal	|- (A e. RR <-> E.x(x e. R. /\ <.x, 0R>. = A))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem elreal

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-r 6396	. . 3 |- RR = (R. X. {0R})
2	1	eleq2i 1961	. 2 |- (A e. RR <-> A e. (R. X. {0R}))
3		elxp 4018	. 2 |- (A e. (R. X. {0R}) <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. R. /\ y e. {0R})))
4		ancom 482	. . . . . . 7 |- ((A = <.x, y>. /\ (x e. R. /\ y e. {0R})) <-> ((x e. R. /\ y e. {0R}) /\ A = <.x, y>.))
5		anass 487	. . . . . . . 8 |- (((x e. R. /\ y e. {0R}) /\ A = <.x, y>.) <-> (x e. R. /\ (y e. {0R} /\ A = <.x, y>.)))
6		elsn 3058	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. {0R} <-> y = 0R)
7		eqcom 1886	. . . . . . . . . . 11 |- (A = <.x, y>. <-> <.x, y>. = A)
8	6, 7	anbi12i 540	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. {0R} /\ A = <.x, y>.) <-> (y = 0R /\ <.x, y>. = A))
9		opeq2 3159	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = 0R -> <.x, y>. = <.x, 0R>.)
10	9	eqeq1d 1892	. . . . . . . . . . 11 |- (y = 0R -> (<.x, y>. = A <-> <.x, 0R>. = A))
11	10	pm5.32i 707	. . . . . . . . . 10 |- ((y = 0R /\ <.x, y>. = A) <-> (y = 0R /\ <.x, 0R>. = A))
12	8, 11	bitri 190	. . . . . . . . 9 |- ((y e. {0R} /\ A = <.x, y>.) <-> (y = 0R /\ <.x, 0R>. = A))
13	12	anbi2i 538	. . . . . . . 8 |- ((x e. R. /\ (y e. {0R} /\ A = <.x, y>.)) <-> (x e. R. /\ (y = 0R /\ <.x, 0R>. = A)))
14		an12 542	. . . . . . . 8 |- ((x e. R. /\ (y = 0R /\ <.x, 0R>. = A)) <-> (y = 0R /\ (x e. R. /\ <.x, 0R>. = A)))
15	5, 13, 14	3bitri 194	. . . . . . 7 |- (((x e. R. /\ y e. {0R}) /\ A = <.x, y>.) <-> (y = 0R /\ (x e. R. /\ <.x, 0R>. = A)))
16	4, 15	bitri 190	. . . . . 6 |- ((A = <.x, y>. /\ (x e. R. /\ y e. {0R})) <-> (y = 0R /\ (x e. R. /\ <.x, 0R>. = A)))
17	16	exbii 1398	. . . . 5 |- (E.y(A = <.x, y>. /\ (x e. R. /\ y e. {0R})) <-> E.y(y = 0R /\ (x e. R. /\ <.x, 0R>. = A)))
18		19.41v 1685	. . . . 5 |- (E.y(y = 0R /\ (x e. R. /\ <.x, 0R>. = A)) <-> (E.y y = 0R /\ (x e. R. /\ <.x, 0R>. = A)))
19	17, 18	bitri 190	. . . 4 |- (E.y(A = <.x, y>. /\ (x e. R. /\ y e. {0R})) <-> (E.y y = 0R /\ (x e. R. /\ <.x, 0R>. = A)))
20		0r 6341	. . . . . 6 |- 0R e. R.
21	20	elisseti 2301	. . . . 5 |- 0R e. _V
22	21	isseti 2297	. . . 4 |- E.y y = 0R
23	19, 22	mpbiran 798	. . 3 |- (E.y(A = <.x, y>. /\ (x e. R. /\ y e. {0R})) <-> (x e. R. /\ <.x, 0R>. = A))
24	23	exbii 1398	. 2 |- (E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. R. /\ y e. {0R})) <-> E.x(x e. R. /\ <.x, 0R>. = A))
25	2, 3, 24	3bitri 194	1 |- (A e. RR <-> E.x(x e. R. /\ <.x, 0R>. = A))

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {csn 3044  <.cop 3046   X. cxp 3984  R.cnr 6145  0Rc0r 6146  RRcr 6385

This theorem is referenced by:  suprelem 6411  supre 6412  ltsor 6413  axaddrcl 6425  axmulrcl 6427  axrnegex 6436  axrrecex 6437  pre-axltadd 6442  pre-axmulgt0 6443

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-enr 6318  df-nr 6319  df-0r 6323  df-r 6396

Copyright terms: Public domain