MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elreal Structured version   Unicode version

Theorem elreal 9508
Description: Membership in class of real numbers. (Contributed by NM, 31-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
elreal  |-  ( A  e.  RR  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem elreal
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-r 9502 . . 3  |-  RR  =  ( R.  X.  { 0R } )
21eleq2i 2519 . 2  |-  ( A  e.  RR  <->  A  e.  ( R.  X.  { 0R } ) )
3 elxp2 5004 . . 3  |-  ( A  e.  ( R.  X.  { 0R } )  <->  E. x  e.  R.  E. y  e. 
{ 0R } A  =  <. x ,  y
>. )
4 0r 9457 . . . . . . 7  |-  0R  e.  R.
54elexi 3103 . . . . . 6  |-  0R  e.  _V
6 opeq2 4200 . . . . . . 7  |-  ( y  =  0R  ->  <. x ,  y >.  =  <. x ,  0R >. )
76eqeq2d 2455 . . . . . 6  |-  ( y  =  0R  ->  ( A  =  <. x ,  y >.  <->  A  =  <. x ,  0R >. )
)
85, 7rexsn 4051 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  { 0R } A  =  <. x ,  y >.  <->  A  =  <. x ,  0R >. )
9 eqcom 2450 . . . . 5  |-  ( A  =  <. x ,  0R >.  <->  <. x ,  0R >.  =  A )
108, 9bitri 249 . . . 4  |-  ( E. y  e.  { 0R } A  =  <. x ,  y >.  <->  <. x ,  0R >.  =  A
)
1110rexbii 2943 . . 3  |-  ( E. x  e.  R.  E. y  e.  { 0R } A  =  <. x ,  y >.  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
123, 11bitri 249 . 2  |-  ( A  e.  ( R.  X.  { 0R } )  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
132, 12bitri 249 1  |-  ( A  e.  RR  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1381    e. wcel 1802   E.wrex 2792   {csn 4011   <.cop 4017    X. cxp 4984   R.cnr 9243   0Rc0r 9244   RRcr 9491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-inf2 8058
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-int 4269  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-1o 7129  df-oadd 7133  df-omul 7134  df-er 7310  df-ec 7312  df-qs 7316  df-ni 9250  df-pli 9251  df-mi 9252  df-lti 9253  df-plpq 9286  df-mpq 9287  df-ltpq 9288  df-enq 9289  df-nq 9290  df-erq 9291  df-plq 9292  df-mq 9293  df-1nq 9294  df-rq 9295  df-ltnq 9296  df-np 9359  df-1p 9360  df-enr 9433  df-nr 9434  df-0r 9438  df-r 9502
This theorem is referenced by:  axaddrcl  9529  axmulrcl  9531  axrrecex  9540  axpre-lttri  9542  axpre-lttrn  9543  axpre-ltadd  9544  axpre-mulgt0  9545
  Copyright terms: Public domain W3C validator