MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elreal Structured version   Unicode version

Theorem elreal 9520
Description: Membership in class of real numbers. (Contributed by NM, 31-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
elreal  |-  ( A  e.  RR  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem elreal
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-r 9514 . . 3  |-  RR  =  ( R.  X.  { 0R } )
21eleq2i 2545 . 2  |-  ( A  e.  RR  <->  A  e.  ( R.  X.  { 0R } ) )
3 elxp2 5023 . . 3  |-  ( A  e.  ( R.  X.  { 0R } )  <->  E. x  e.  R.  E. y  e. 
{ 0R } A  =  <. x ,  y
>. )
4 0r 9469 . . . . . . 7  |-  0R  e.  R.
54elexi 3128 . . . . . 6  |-  0R  e.  _V
6 opeq2 4220 . . . . . . 7  |-  ( y  =  0R  ->  <. x ,  y >.  =  <. x ,  0R >. )
76eqeq2d 2481 . . . . . 6  |-  ( y  =  0R  ->  ( A  =  <. x ,  y >.  <->  A  =  <. x ,  0R >. )
)
85, 7rexsn 4073 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  { 0R } A  =  <. x ,  y >.  <->  A  =  <. x ,  0R >. )
9 eqcom 2476 . . . . 5  |-  ( A  =  <. x ,  0R >.  <->  <. x ,  0R >.  =  A )
108, 9bitri 249 . . . 4  |-  ( E. y  e.  { 0R } A  =  <. x ,  y >.  <->  <. x ,  0R >.  =  A
)
1110rexbii 2969 . . 3  |-  ( E. x  e.  R.  E. y  e.  { 0R } A  =  <. x ,  y >.  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
123, 11bitri 249 . 2  |-  ( A  e.  ( R.  X.  { 0R } )  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
132, 12bitri 249 1  |-  ( A  e.  RR  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2818   {csn 4033   <.cop 4039    X. cxp 5003   R.cnr 9255   0Rc0r 9256   RRcr 9503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-ec 7325  df-qs 7329  df-ni 9262  df-pli 9263  df-mi 9264  df-lti 9265  df-plpq 9298  df-mpq 9299  df-ltpq 9300  df-enq 9301  df-nq 9302  df-erq 9303  df-plq 9304  df-mq 9305  df-1nq 9306  df-rq 9307  df-ltnq 9308  df-np 9371  df-1p 9372  df-enr 9445  df-nr 9446  df-0r 9450  df-r 9514
This theorem is referenced by:  axaddrcl  9541  axmulrcl  9543  axrrecex  9552  axpre-lttri  9554  axpre-lttrn  9555  axpre-ltadd  9556  axpre-mulgt0  9557
  Copyright terms: Public domain W3C validator