MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elreal Structured version   Unicode version

Theorem elreal 9419
Description: Membership in class of real numbers. (Contributed by NM, 31-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
elreal  |-  ( A  e.  RR  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem elreal
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-r 9413 . . 3  |-  RR  =  ( R.  X.  { 0R } )
21eleq2i 2460 . 2  |-  ( A  e.  RR  <->  A  e.  ( R.  X.  { 0R } ) )
3 elxp2 4931 . . 3  |-  ( A  e.  ( R.  X.  { 0R } )  <->  E. x  e.  R.  E. y  e. 
{ 0R } A  =  <. x ,  y
>. )
4 0r 9368 . . . . . . 7  |-  0R  e.  R.
54elexi 3044 . . . . . 6  |-  0R  e.  _V
6 opeq2 4132 . . . . . . 7  |-  ( y  =  0R  ->  <. x ,  y >.  =  <. x ,  0R >. )
76eqeq2d 2396 . . . . . 6  |-  ( y  =  0R  ->  ( A  =  <. x ,  y >.  <->  A  =  <. x ,  0R >. )
)
85, 7rexsn 3984 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  { 0R } A  =  <. x ,  y >.  <->  A  =  <. x ,  0R >. )
9 eqcom 2391 . . . . 5  |-  ( A  =  <. x ,  0R >.  <->  <. x ,  0R >.  =  A )
108, 9bitri 249 . . . 4  |-  ( E. y  e.  { 0R } A  =  <. x ,  y >.  <->  <. x ,  0R >.  =  A
)
1110rexbii 2884 . . 3  |-  ( E. x  e.  R.  E. y  e.  { 0R } A  =  <. x ,  y >.  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
123, 11bitri 249 . 2  |-  ( A  e.  ( R.  X.  { 0R } )  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
132, 12bitri 249 1  |-  ( A  e.  RR  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1399    e. wcel 1826   E.wrex 2733   {csn 3944   <.cop 3950    X. cxp 4911   R.cnr 9154   0Rc0r 9155   RRcr 9402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-omul 7053  df-er 7229  df-ec 7231  df-qs 7235  df-ni 9161  df-pli 9162  df-mi 9163  df-lti 9164  df-plpq 9197  df-mpq 9198  df-ltpq 9199  df-enq 9200  df-nq 9201  df-erq 9202  df-plq 9203  df-mq 9204  df-1nq 9205  df-rq 9206  df-ltnq 9207  df-np 9270  df-1p 9271  df-enr 9344  df-nr 9345  df-0r 9349  df-r 9413
This theorem is referenced by:  axaddrcl  9440  axmulrcl  9442  axrrecex  9451  axpre-lttri  9453  axpre-lttrn  9454  axpre-ltadd  9455  axpre-mulgt0  9456
  Copyright terms: Public domain W3C validator