MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elqtop3 Structured version   Unicode version

Theorem elqtop3 20031
Description: Value of the quotient topology function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elqtop3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( A  e.  ( J qTop  F )  <->  ( A  C_  Y  /\  ( `' F " A )  e.  J
) ) )

Proof of Theorem elqtop3
StepHypRef Expression
1 toponuni 19235 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
2 eqimss 3556 . . . 4  |-  ( X  =  U. J  ->  X  C_  U. J )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  C_  U. J
)
43adantr 465 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  X  C_ 
U. J )
5 eqid 2467 . . 3  |-  U. J  =  U. J
65elqtop 20025 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y  /\  X  C_  U. J )  ->  ( A  e.  ( J qTop  F )  <->  ( A  C_  Y  /\  ( `' F " A )  e.  J
) ) )
74, 6mpd3an3 1325 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( A  e.  ( J qTop  F )  <->  ( A  C_  Y  /\  ( `' F " A )  e.  J
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   U.cuni 4245   `'ccnv 4998   "cima 5002   -onto->wfo 5586   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   qTop cqtop 14761  TopOnctopon 19202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-qtop 14765  df-topon 19209
This theorem is referenced by:  qtopid  20033  idqtop  20034  tgqtop  20040  qtopcld  20041  qtopcn  20042  qtopss  20043  qtoprest  20045  qtopomap  20046  kqopn  20062  qtopf1  20144  qustgpopn  20445
  Copyright terms: Public domain W3C validator