Theorem elqaalem3 20191

Description: Lemma for elqaa 20192. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
elqaa.1	|- ( ph -> A e. CC )
elqaa.2	|- ( ph -> F e. ( (Poly ` QQ ) \ { 0 p } ) )
elqaa.3	|- ( ph -> ( F ` A ) = 0 )
elqaa.4	|- B = (coeff ` F )
elqaa.5	|- N = ( k e. NN0 |-> sup ( { n e. NN | ( ( B ` k ) x. n ) e. ZZ } , RR , `' < ) )
elqaa.6	|- R = ( seq 0 ( x. , N ) ` (deg ` F ) )

Assertion

Ref	Expression
elqaalem3	|- ( ph -> A e. AA )

Distinct variable groups:   k, n, A   B, k, n   ph, k   k, N, n   R, k

Allowed substitution hints:   ph( n)   R( n)   F( k, n)

Proof of Theorem elqaalem3

Dummy variables f m x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elqaa.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		cnex 9027	. . . . . . . 8 |- CC e. _V
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> CC e. _V )
4		elqaa.6	. . . . . . . . 9 |- R = ( seq 0 ( x. , N ) ` (deg ` F ) )
5		fvex 5701	. . . . . . . . 9 |- ( seq 0 ( x. , N ) ` (deg ` F ) ) e. _V
6	4, 5	eqeltri 2474	. . . . . . . 8 |- R e. _V
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> R e. _V )
8		fvex 5701	. . . . . . . 8 |- ( F ` z ) e. _V
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( F ` z ) e. _V )
10		fconstmpt 4880	. . . . . . . 8 |- ( CC X. { R } ) = ( z e. CC |-> R )
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( CC X. { R } ) = ( z e. CC |-> R ) )
12		elqaa.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. ( (Poly ` QQ ) \ { 0 p } ) )
13	12	eldifad 3292	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F e. (Poly ` QQ ) )
14		plyf 20070	. . . . . . . . 9 |- ( F e. (Poly ` QQ ) -> F : CC --> CC )
15	13, 14	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : CC --> CC )
16	15	feqmptd 5738	. . . . . . 7 |- ( ph -> F = ( z e. CC |-> ( F ` z ) ) )
17	3, 7, 9, 11, 16	offval2 6281	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( CC X. { R } ) o F x. F ) = ( z e. CC |-> ( R x. ( F ` z ) ) ) )
18		fzfid 11267	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... (deg ` F ) ) e. Fin )
19		nn0uz 10476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
20		0z 10249	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. ZZ
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
22		ssrab2 3388	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } C_ NN
23		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k = m -> ( B ` k ) = ( B ` m ) )
24	23	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = m -> ( ( B ` k ) x. n ) = ( ( B ` m ) x. n ) )
25	24	eleq1d 2470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = m -> ( ( ( B ` k ) x. n ) e. ZZ <-> ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ ) )
26	25	rabbidv 2908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = m -> { n e. NN | ( ( B ` k ) x. n ) e. ZZ } = { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } )
27	26	supeq1d 7409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = m -> sup ( { n e. NN | ( ( B ` k ) x. n ) e. ZZ } , RR , `' < ) = sup ( { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } , RR , `' < ) )
28		elqaa.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- N = ( k e. NN0 |-> sup ( { n e. NN | ( ( B ` k ) x. n ) e. ZZ } , RR , `' < ) )
29		ltso 9112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- < Or RR
30		cnvso 5370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( < Or RR <-> `' < Or RR )
31	29, 30	mpbi 200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- `' < Or RR
32	31	supex 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- sup ( { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } , RR , `' < ) e. _V
33	27, 28, 32	fvmpt 5765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. NN0 -> ( N ` m ) = sup ( { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } , RR , `' < ) )
34	33	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( N ` m ) = sup ( { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } , RR , `' < ) )
35		nnuz 10477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
36	22, 35	sseqtri 3340	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } C_ ( ZZ>= ` 1 )
37		zq 10536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. QQ )
38	20, 37	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 0 e. QQ
39		elqaa.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- B = (coeff ` F )
40	39	coef2 20103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F e. (Poly ` QQ ) /\ 0 e. QQ ) -> B : NN0 --> QQ )
41	13, 38, 40	sylancl 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> B : NN0 --> QQ )
42	41	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( B ` m ) e. QQ )
43		qmulz 10533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B ` m ) e. QQ -> E. n e. NN ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ )
44	42, 43	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> E. n e. NN ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ )
45		rabn0 3607	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } =/= (/) <-> E. n e. NN ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ )
46	44, 45	sylibr 204	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } =/= (/) )
47		infmssuzcl 10515	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } =/= (/) ) -> sup ( { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } , RR , `' < ) e. { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } )
48	36, 46, 47	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> sup ( { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } , RR , `' < ) e. { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } )
49	34, 48	eqeltrd 2478	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( N ` m ) e. { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } )
50	22, 49	sseldi 3306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( N ` m ) e. NN )
51		nnmulcl 9979	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. NN /\ k e. NN ) -> ( m x. k ) e. NN )
52	51	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( m x. k ) e. NN )
53	19, 21, 50, 52	seqf 11299	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> seq 0 ( x. , N ) : NN0 --> NN )
54		dgrcl 20105	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. (Poly ` QQ ) -> (deg ` F ) e. NN0 )
55	13, 54	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (deg ` F ) e. NN0 )
56	53, 55	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( seq 0 ( x. , N ) ` (deg ` F ) ) e. NN )
57	4, 56	syl5eqel 2488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R e. NN )
58	57	nncnd 9972	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R e. CC )
59	58	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> R e. CC )
60		elfznn0 11039	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) -> m e. NN0 )
61	39	coef3 20104	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. (Poly ` QQ ) -> B : NN0 --> CC )
62	13, 61	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B : NN0 --> CC )
63	62	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> B : NN0 --> CC )
64	63	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ m e. NN0 ) -> ( B ` m ) e. CC )
65		expcl 11354	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. CC /\ m e. NN0 ) -> ( z ^ m ) e. CC )
66	65	adantll 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ m e. NN0 ) -> ( z ^ m ) e. CC )
67	64, 66	mulcld 9064	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) e. CC )
68	60, 67	sylan2 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) e. CC )
69	18, 59, 68	fsummulc2 12522	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( R x. sum_ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) ) = sum_ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ( R x. ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) ) )
70		eqid 2404	. . . . . . . . . . 11 |- (deg ` F ) = (deg ` F )
71	39, 70	coeid2 20111	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. (Poly ` QQ ) /\ z e. CC ) -> ( F ` z ) = sum_ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) )
72	13, 71	sylan 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( F ` z ) = sum_ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) )
73	72	oveq2d 6056	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( R x. ( F ` z ) ) = ( R x. sum_ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) ) )
74	59	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ m e. NN0 ) -> R e. CC )
75	74, 64, 66	mulassd 9067	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( R x. ( B ` m ) ) x. ( z ^ m ) ) = ( R x. ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) ) )
76	60, 75	sylan2 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( ( R x. ( B ` m ) ) x. ( z ^ m ) ) = ( R x. ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) ) )
77	76	sumeq2dv 12452	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ( ( R x. ( B ` m ) ) x. ( z ^ m ) ) = sum_ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ( R x. ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) ) )
78	69, 73, 77	3eqtr4d 2446	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( R x. ( F ` z ) ) = sum_ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ( ( R x. ( B ` m ) ) x. ( z ^ m ) ) )
79	78	mpteq2dva 4255	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z e. CC |-> ( R x. ( F ` z ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ( ( R x. ( B ` m ) ) x. ( z ^ m ) ) ) )
80	17, 79	eqtrd 2436	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( CC X. { R } ) o F x. F ) = ( z e. CC |-> sum_ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ( ( R x. ( B ` m ) ) x. ( z ^ m ) ) ) )
81		zsscn 10246	. . . . . . 7 |- ZZ C_ CC
82	81	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ZZ C_ CC )
83	58	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> R e. CC )
84	50	nncnd 9972	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( N ` m ) e. CC )
85	50	nnne0d 10000	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( N ` m ) =/= 0 )
86	83, 84, 85	divcan2d 9748	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( N ` m ) x. ( R / ( N ` m ) ) ) = R )
87	86	oveq2d 6056	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( B ` m ) x. ( ( N ` m ) x. ( R / ( N ` m ) ) ) ) = ( ( B ` m ) x. R ) )
88	62	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( B ` m ) e. CC )
89	83, 84, 85	divcld 9746	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( R / ( N ` m ) ) e. CC )
90	88, 84, 89	mulassd 9067	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( ( B ` m ) x. ( N ` m ) ) x. ( R / ( N ` m ) ) ) = ( ( B ` m ) x. ( ( N ` m ) x. ( R / ( N ` m ) ) ) ) )
91	83, 88	mulcomd 9065	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( R x. ( B ` m ) ) = ( ( B ` m ) x. R ) )
92	87, 90, 91	3eqtr4rd 2447	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( R x. ( B ` m ) ) = ( ( ( B ` m ) x. ( N ` m ) ) x. ( R / ( N ` m ) ) ) )
93	60, 92	sylan2 461	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( R x. ( B ` m ) ) = ( ( ( B ` m ) x. ( N ` m ) ) x. ( R / ( N ` m ) ) ) )
94		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( N ` m ) -> ( ( B ` m ) x. n ) = ( ( B ` m ) x. ( N ` m ) ) )
95	94	eleq1d 2470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( N ` m ) -> ( ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ <-> ( ( B ` m ) x. ( N ` m ) ) e. ZZ ) )
96	95	elrab 3052	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N ` m ) e. { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } <-> ( ( N ` m ) e. NN /\ ( ( B ` m ) x. ( N ` m ) ) e. ZZ ) )
97	96	simprbi 451	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N ` m ) e. { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } -> ( ( B ` m ) x. ( N ` m ) ) e. ZZ )
98	49, 97	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( B ` m ) x. ( N ` m ) ) e. ZZ )
99	60, 98	sylan2 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( ( B ` m ) x. ( N ` m ) ) e. ZZ )
100		elqaa.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ` A ) = 0 )
101		eqid 2404	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. _V , y e. _V |-> ( ( x x. y ) mod ( N ` m ) ) ) = ( x e. _V , y e. _V |-> ( ( x x. y ) mod ( N ` m ) ) )
102	1, 12, 100, 39, 28, 4, 101	elqaalem2 20190	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( R mod ( N ` m ) ) = 0 )
103	57	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> R e. NN )
104	60, 50	sylan2 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( N ` m ) e. NN )
105		nnre 9963	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. NN -> R e. RR )
106		nnrp 10577	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N ` m ) e. NN -> ( N ` m ) e. RR+ )
107		mod0 11210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR /\ ( N ` m ) e. RR+ ) -> ( ( R mod ( N ` m ) ) = 0 <-> ( R / ( N ` m ) ) e. ZZ ) )
108	105, 106, 107	syl2an 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. NN /\ ( N ` m ) e. NN ) -> ( ( R mod ( N ` m ) ) = 0 <-> ( R / ( N ` m ) ) e. ZZ ) )
109	103, 104, 108	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( ( R mod ( N ` m ) ) = 0 <-> ( R / ( N ` m ) ) e. ZZ ) )
110	102, 109	mpbid 202	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( R / ( N ` m ) ) e. ZZ )
111	99, 110	zmulcld 10337	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( ( ( B ` m ) x. ( N ` m ) ) x. ( R / ( N ` m ) ) ) e. ZZ )
112	93, 111	eqeltrd 2478	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( R x. ( B ` m ) ) e. ZZ )
113	82, 55, 112	elplyd 20074	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ( ( R x. ( B ` m ) ) x. ( z ^ m ) ) ) e. (Poly ` ZZ ) )
114	80, 113	eqeltrd 2478	. . . 4 |- ( ph -> ( ( CC X. { R } ) o F x. F ) e. (Poly ` ZZ ) )
115		eldifsn 3887	. . . . . . 7 |- ( F e. ( (Poly ` QQ ) \ { 0 p } ) <-> ( F e. (Poly ` QQ ) /\ F =/= 0 p ) )
116	12, 115	sylib 189	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F e. (Poly ` QQ ) /\ F =/= 0 p ) )
117	116	simprd 450	. . . . 5 |- ( ph -> F =/= 0 p )
118		oveq1 6047	. . . . . . 7 |- ( ( ( CC X. { R } ) o F x. F ) = 0 p -> ( ( ( CC X. { R } ) o F x. F ) o F / ( CC X. { R } ) ) = ( 0 p o F / ( CC X. { R } ) ) )
119	15	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( F ` z ) e. CC )
120	57	nnne0d 10000	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> R =/= 0 )
121	120	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> R =/= 0 )
122	119, 59, 121	divcan3d 9751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( ( R x. ( F ` z ) ) / R ) = ( F ` z ) )
123	122	mpteq2dva 4255	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( R x. ( F ` z ) ) / R ) ) = ( z e. CC |-> ( F ` z ) ) )
124		ovex 6065	. . . . . . . . . . 11 |- ( R x. ( F ` z ) ) e. _V
125	124	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( R x. ( F ` z ) ) e. _V )
126	3, 125, 7, 17, 11	offval2 6281	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( CC X. { R } ) o F x. F ) o F / ( CC X. { R } ) ) = ( z e. CC |-> ( ( R x. ( F ` z ) ) / R ) ) )
127	123, 126, 16	3eqtr4d 2446	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( CC X. { R } ) o F x. F ) o F / ( CC X. { R } ) ) = F )
128	58, 120	div0d 9745	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 / R ) = 0 )
129	128	mpteq2dv 4256	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( z e. CC |-> ( 0 / R ) ) = ( z e. CC |-> 0 ) )
130		0cn 9040	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. CC
131	130	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> 0 e. CC )
132		df-0p 19515	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 p = ( CC X. { 0 } )
133		fconstmpt 4880	. . . . . . . . . . . 12 |- ( CC X. { 0 } ) = ( z e. CC |-> 0 )
134	132, 133	eqtri 2424	. . . . . . . . . . 11 |- 0 p = ( z e. CC |-> 0 )
135	134	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 p = ( z e. CC |-> 0 ) )
136	3, 131, 7, 135, 11	offval2 6281	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 p o F / ( CC X. { R } ) ) = ( z e. CC |-> ( 0 / R ) ) )
137	129, 136, 135	3eqtr4d 2446	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0 p o F / ( CC X. { R } ) ) = 0 p )
138	127, 137	eqeq12d 2418	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( CC X. { R } ) o F x. F ) o F / ( CC X. { R } ) ) = ( 0 p o F / ( CC X. { R } ) ) <-> F = 0 p ) )
139	118, 138	syl5ib 211	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( CC X. { R } ) o F x. F ) = 0 p -> F = 0 p ) )
140	139	necon3d 2605	. . . . 5 |- ( ph -> ( F =/= 0 p -> ( ( CC X. { R } ) o F x. F ) =/= 0 p ) )
141	117, 140	mpd 15	. . . 4 |- ( ph -> ( ( CC X. { R } ) o F x. F ) =/= 0 p )
142		eldifsn 3887	. . . 4 |- ( ( ( CC X. { R } ) o F x. F ) e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0 p } ) <-> ( ( ( CC X. { R } ) o F x. F ) e. (Poly ` ZZ ) /\ ( ( CC X. { R } ) o F x. F ) =/= 0 p ) )
143	114, 141, 142	sylanbrc 646	. . 3 |- ( ph -> ( ( CC X. { R } ) o F x. F ) e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0 p } ) )
144	6	fconst 5588	. . . . . . 7 |- ( CC X. { R } ) : CC --> { R }
145		ffn 5550	. . . . . . 7 |- ( ( CC X. { R } ) : CC --> { R } -> ( CC X. { R } ) Fn CC )
146	144, 145	mp1i 12	. . . . . 6 |- ( ph -> ( CC X. { R } ) Fn CC )
147		ffn 5550	. . . . . . 7 |- ( F : CC --> CC -> F Fn CC )
148	15, 147	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> F Fn CC )
149		inidm 3510	. . . . . 6 |- ( CC i^i CC ) = CC
150	6	fvconst2 5906	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( CC X. { R } ) ` A ) = R )
151	150	adantl 453	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A e. CC ) -> ( ( CC X. { R } ) ` A ) = R )
152	100	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A e. CC ) -> ( F ` A ) = 0 )
153	146, 148, 3, 3, 149, 151, 152	ofval 6273	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A e. CC ) -> ( ( ( CC X. { R } ) o F x. F ) ` A ) = ( R x. 0 ) )
154	1, 153	mpdan 650	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( CC X. { R } ) o F x. F ) ` A ) = ( R x. 0 ) )
155	58	mul01d 9221	. . . 4 |- ( ph -> ( R x. 0 ) = 0 )
156	154, 155	eqtrd 2436	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( CC X. { R } ) o F x. F ) ` A ) = 0 )
157		fveq1 5686	. . . . 5 |- ( f = ( ( CC X. { R } ) o F x. F ) -> ( f ` A ) = ( ( ( CC X. { R } ) o F x. F ) ` A ) )
158	157	eqeq1d 2412	. . . 4 |- ( f = ( ( CC X. { R } ) o F x. F ) -> ( ( f ` A ) = 0 <-> ( ( ( CC X. { R } ) o F x. F ) ` A ) = 0 ) )
159	158	rspcev 3012	. . 3 |- ( ( ( ( CC X. { R } ) o F x. F ) e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0 p } ) /\ ( ( ( CC X. { R } ) o F x. F ) ` A ) = 0 ) -> E. f e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0 p } ) ( f ` A ) = 0 )
160	143, 156, 159	syl2anc 643	. 2 |- ( ph -> E. f e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0 p } ) ( f ` A ) = 0 )
161		elaa 20186	. 2 |- ( A e. AA <-> ( A e. CC /\ E. f e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0 p } ) ( f ` A ) = 0 ) )
162	1, 160, 161	sylanbrc 646	1 |- ( ph -> A e. AA )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916   \ cdif 3277   C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   e. cmpt 4226   Or wor 4462   X. cxp 4835   `'ccnv 4836   Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   e. cmpt2 6042   o Fcof 6262   supcsup 7403   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   x. cmul 8951   < clt 9076   / cdiv 9633   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   QQcq 10530   RR+crp 10568   ...cfz 10999   mod cmo 11205   seq cseq 11278   ^cexp 11337   sum_csu 12434   0 pc0p 19514  Polycply 20056  coeffccoe 20058  degcdgr 20059   AAcaa 20184

This theorem is referenced by:  elqaa  20192

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-0p 19515  df-ply 20060  df-coe 20062  df-dgr 20063  df-aa 20185