Theorem elqaalem3 21746

Description: Lemma for elqaa 21747. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
elqaa.1	|- ( ph -> A e. CC )
elqaa.2	|- ( ph -> F e. ( (Poly ` QQ ) \ { 0p } ) )
elqaa.3	|- ( ph -> ( F ` A ) = 0 )
elqaa.4	|- B = (coeff ` F )
elqaa.5	|- N = ( k e. NN0 |-> sup ( { n e. NN | ( ( B ` k ) x. n ) e. ZZ } , RR , `' < ) )
elqaa.6	|- R = ( seq 0 ( x. , N ) ` (deg ` F ) )

Assertion

Ref	Expression
elqaalem3	|- ( ph -> A e. AA )

Distinct variable groups:   k, n, A   B, k, n   ph, k   k, N, n   R, k

Allowed substitution hints:   ph( n)   R( n)   F( k, n)

Proof of Theorem elqaalem3

Dummy variables f m x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elqaa.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		cnex 9359	. . . . . . . 8 |- CC e. _V
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> CC e. _V )
4		elqaa.6	. . . . . . . . 9 |- R = ( seq 0 ( x. , N ) ` (deg ` F ) )
5		fvex 5698	. . . . . . . . 9 |- ( seq 0 ( x. , N ) ` (deg ` F ) ) e. _V
6	4, 5	eqeltri 2511	. . . . . . . 8 |- R e. _V
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> R e. _V )
8		fvex 5698	. . . . . . . 8 |- ( F ` z ) e. _V
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( F ` z ) e. _V )
10		fconstmpt 4878	. . . . . . . 8 |- ( CC X. { R } ) = ( z e. CC |-> R )
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( CC X. { R } ) = ( z e. CC |-> R ) )
12		elqaa.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. ( (Poly ` QQ ) \ { 0p } ) )
13	12	eldifad 3337	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F e. (Poly ` QQ ) )
14		plyf 21625	. . . . . . . . 9 |- ( F e. (Poly ` QQ ) -> F : CC --> CC )
15	13, 14	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : CC --> CC )
16	15	feqmptd 5741	. . . . . . 7 |- ( ph -> F = ( z e. CC |-> ( F ` z ) ) )
17	3, 7, 9, 11, 16	offval2 6335	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) = ( z e. CC |-> ( R x. ( F ` z ) ) ) )
18		fzfid 11791	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... (deg ` F ) ) e. Fin )
19		nn0uz 10891	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
20		0zd 10654	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
21		ssrab2 3434	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } C_ NN
22		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k = m -> ( B ` k ) = ( B ` m ) )
23	22	oveq1d 6105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = m -> ( ( B ` k ) x. n ) = ( ( B ` m ) x. n ) )
24	23	eleq1d 2507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = m -> ( ( ( B ` k ) x. n ) e. ZZ <-> ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ ) )
25	24	rabbidv 2962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = m -> { n e. NN | ( ( B ` k ) x. n ) e. ZZ } = { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } )
26	25	supeq1d 7692	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = m -> sup ( { n e. NN | ( ( B ` k ) x. n ) e. ZZ } , RR , `' < ) = sup ( { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } , RR , `' < ) )
27		elqaa.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- N = ( k e. NN0 |-> sup ( { n e. NN | ( ( B ` k ) x. n ) e. ZZ } , RR , `' < ) )
28		gtso 9452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- `' < Or RR
29	28	supex 7709	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- sup ( { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } , RR , `' < ) e. _V
30	26, 27, 29	fvmpt 5771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. NN0 -> ( N ` m ) = sup ( { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } , RR , `' < ) )
31	30	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( N ` m ) = sup ( { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } , RR , `' < ) )
32		nnuz 10892	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
33	21, 32	sseqtri 3385	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } C_ ( ZZ>= ` 1 )
34		0z 10653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 0 e. ZZ
35		zq 10955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. QQ )
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 0 e. QQ
37		elqaa.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- B = (coeff ` F )
38	37	coef2 21658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F e. (Poly ` QQ ) /\ 0 e. QQ ) -> B : NN0 --> QQ )
39	13, 36, 38	sylancl 657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> B : NN0 --> QQ )
40	39	ffvelrnda 5840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( B ` m ) e. QQ )
41		qmulz 10952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B ` m ) e. QQ -> E. n e. NN ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ )
42	40, 41	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> E. n e. NN ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ )
43		rabn0 3654	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } =/= (/) <-> E. n e. NN ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ )
44	42, 43	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } =/= (/) )
45		infmssuzcl 10934	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } =/= (/) ) -> sup ( { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } , RR , `' < ) e. { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } )
46	33, 44, 45	sylancr 658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> sup ( { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } , RR , `' < ) e. { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } )
47	31, 46	eqeltrd 2515	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( N ` m ) e. { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } )
48	21, 47	sseldi 3351	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( N ` m ) e. NN )
49		nnmulcl 10341	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. NN /\ k e. NN ) -> ( m x. k ) e. NN )
50	49	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( m x. k ) e. NN )
51	19, 20, 48, 50	seqf 11823	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> seq 0 ( x. , N ) : NN0 --> NN )
52		dgrcl 21660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. (Poly ` QQ ) -> (deg ` F ) e. NN0 )
53	13, 52	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (deg ` F ) e. NN0 )
54	51, 53	ffvelrnd 5841	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( seq 0 ( x. , N ) ` (deg ` F ) ) e. NN )
55	4, 54	syl5eqel 2525	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R e. NN )
56	55	nncnd 10334	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R e. CC )
57	56	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> R e. CC )
58		elfznn0 11477	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) -> m e. NN0 )
59	37	coef3 21659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. (Poly ` QQ ) -> B : NN0 --> CC )
60	13, 59	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B : NN0 --> CC )
61	60	adantr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> B : NN0 --> CC )
62	61	ffvelrnda 5840	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ m e. NN0 ) -> ( B ` m ) e. CC )
63		expcl 11879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. CC /\ m e. NN0 ) -> ( z ^ m ) e. CC )
64	63	adantll 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ m e. NN0 ) -> ( z ^ m ) e. CC )
65	62, 64	mulcld 9402	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) e. CC )
66	58, 65	sylan2 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) e. CC )
67	18, 57, 66	fsummulc2 13247	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( R x. sum_ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) ) = sum_ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ( R x. ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) ) )
68		eqid 2441	. . . . . . . . . . 11 |- (deg ` F ) = (deg ` F )
69	37, 68	coeid2 21666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. (Poly ` QQ ) /\ z e. CC ) -> ( F ` z ) = sum_ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) )
70	13, 69	sylan 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( F ` z ) = sum_ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) )
71	70	oveq2d 6106	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( R x. ( F ` z ) ) = ( R x. sum_ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) ) )
72	57	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ m e. NN0 ) -> R e. CC )
73	72, 62, 64	mulassd 9405	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( R x. ( B ` m ) ) x. ( z ^ m ) ) = ( R x. ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) ) )
74	58, 73	sylan2 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( ( R x. ( B ` m ) ) x. ( z ^ m ) ) = ( R x. ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) ) )
75	74	sumeq2dv 13176	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ( ( R x. ( B ` m ) ) x. ( z ^ m ) ) = sum_ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ( R x. ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) ) )
76	67, 71, 75	3eqtr4d 2483	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( R x. ( F ` z ) ) = sum_ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ( ( R x. ( B ` m ) ) x. ( z ^ m ) ) )
77	76	mpteq2dva 4375	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z e. CC |-> ( R x. ( F ` z ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ( ( R x. ( B ` m ) ) x. ( z ^ m ) ) ) )
78	17, 77	eqtrd 2473	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) = ( z e. CC |-> sum_ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ( ( R x. ( B ` m ) ) x. ( z ^ m ) ) ) )
79		zsscn 10650	. . . . . . 7 |- ZZ C_ CC
80	79	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ZZ C_ CC )
81	56	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> R e. CC )
82	48	nncnd 10334	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( N ` m ) e. CC )
83	48	nnne0d 10362	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( N ` m ) =/= 0 )
84	81, 82, 83	divcan2d 10105	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( N ` m ) x. ( R / ( N ` m ) ) ) = R )
85	84	oveq2d 6106	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( B ` m ) x. ( ( N ` m ) x. ( R / ( N ` m ) ) ) ) = ( ( B ` m ) x. R ) )
86	60	ffvelrnda 5840	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( B ` m ) e. CC )
87	81, 82, 83	divcld 10103	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( R / ( N ` m ) ) e. CC )
88	86, 82, 87	mulassd 9405	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( ( B ` m ) x. ( N ` m ) ) x. ( R / ( N ` m ) ) ) = ( ( B ` m ) x. ( ( N ` m ) x. ( R / ( N ` m ) ) ) ) )
89	81, 86	mulcomd 9403	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( R x. ( B ` m ) ) = ( ( B ` m ) x. R ) )
90	85, 88, 89	3eqtr4rd 2484	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( R x. ( B ` m ) ) = ( ( ( B ` m ) x. ( N ` m ) ) x. ( R / ( N ` m ) ) ) )
91	58, 90	sylan2 471	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( R x. ( B ` m ) ) = ( ( ( B ` m ) x. ( N ` m ) ) x. ( R / ( N ` m ) ) ) )
92		oveq2 6098	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( N ` m ) -> ( ( B ` m ) x. n ) = ( ( B ` m ) x. ( N ` m ) ) )
93	92	eleq1d 2507	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( N ` m ) -> ( ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ <-> ( ( B ` m ) x. ( N ` m ) ) e. ZZ ) )
94	93	elrab 3114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N ` m ) e. { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } <-> ( ( N ` m ) e. NN /\ ( ( B ` m ) x. ( N ` m ) ) e. ZZ ) )
95	94	simprbi 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N ` m ) e. { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } -> ( ( B ` m ) x. ( N ` m ) ) e. ZZ )
96	47, 95	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( B ` m ) x. ( N ` m ) ) e. ZZ )
97	58, 96	sylan2 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( ( B ` m ) x. ( N ` m ) ) e. ZZ )
98		elqaa.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ` A ) = 0 )
99		eqid 2441	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. _V , y e. _V |-> ( ( x x. y ) mod ( N ` m ) ) ) = ( x e. _V , y e. _V |-> ( ( x x. y ) mod ( N ` m ) ) )
100	1, 12, 98, 37, 27, 4, 99	elqaalem2 21745	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( R mod ( N ` m ) ) = 0 )
101	55	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> R e. NN )
102	58, 48	sylan2 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( N ` m ) e. NN )
103		nnre 10325	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. NN -> R e. RR )
104		nnrp 10996	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N ` m ) e. NN -> ( N ` m ) e. RR+ )
105		mod0 11711	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR /\ ( N ` m ) e. RR+ ) -> ( ( R mod ( N ` m ) ) = 0 <-> ( R / ( N ` m ) ) e. ZZ ) )
106	103, 104, 105	syl2an 474	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. NN /\ ( N ` m ) e. NN ) -> ( ( R mod ( N ` m ) ) = 0 <-> ( R / ( N ` m ) ) e. ZZ ) )
107	101, 102, 106	syl2anc 656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( ( R mod ( N ` m ) ) = 0 <-> ( R / ( N ` m ) ) e. ZZ ) )
108	100, 107	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( R / ( N ` m ) ) e. ZZ )
109	97, 108	zmulcld 10749	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( ( ( B ` m ) x. ( N ` m ) ) x. ( R / ( N ` m ) ) ) e. ZZ )
110	91, 109	eqeltrd 2515	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( R x. ( B ` m ) ) e. ZZ )
111	80, 53, 110	elplyd 21629	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ( ( R x. ( B ` m ) ) x. ( z ^ m ) ) ) e. (Poly ` ZZ ) )
112	78, 111	eqeltrd 2515	. . . 4 |- ( ph -> ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) e. (Poly ` ZZ ) )
113		eldifsn 3997	. . . . . . 7 |- ( F e. ( (Poly ` QQ ) \ { 0p } ) <-> ( F e. (Poly ` QQ ) /\ F =/= 0p ) )
114	12, 113	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F e. (Poly ` QQ ) /\ F =/= 0p ) )
115	114	simprd 460	. . . . 5 |- ( ph -> F =/= 0p )
116		oveq1 6097	. . . . . . 7 |- ( ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) = 0p -> ( ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) oF / ( CC X. { R } ) ) = ( 0p oF / ( CC X. { R } ) ) )
117	15	ffvelrnda 5840	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( F ` z ) e. CC )
118	55	nnne0d 10362	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> R =/= 0 )
119	118	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> R =/= 0 )
120	117, 57, 119	divcan3d 10108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( ( R x. ( F ` z ) ) / R ) = ( F ` z ) )
121	120	mpteq2dva 4375	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( R x. ( F ` z ) ) / R ) ) = ( z e. CC |-> ( F ` z ) ) )
122		ovex 6115	. . . . . . . . . . 11 |- ( R x. ( F ` z ) ) e. _V
123	122	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( R x. ( F ` z ) ) e. _V )
124	3, 123, 7, 17, 11	offval2 6335	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) oF / ( CC X. { R } ) ) = ( z e. CC |-> ( ( R x. ( F ` z ) ) / R ) ) )
125	121, 124, 16	3eqtr4d 2483	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) oF / ( CC X. { R } ) ) = F )
126	56, 118	div0d 10102	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 / R ) = 0 )
127	126	mpteq2dv 4376	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( z e. CC |-> ( 0 / R ) ) = ( z e. CC |-> 0 ) )
128		0cnd 9375	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> 0 e. CC )
129		df-0p 21107	. . . . . . . . . . . 12 |- 0p = ( CC X. { 0 } )
130		fconstmpt 4878	. . . . . . . . . . . 12 |- ( CC X. { 0 } ) = ( z e. CC |-> 0 )
131	129, 130	eqtri 2461	. . . . . . . . . . 11 |- 0p = ( z e. CC |-> 0 )
132	131	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0p = ( z e. CC |-> 0 ) )
133	3, 128, 7, 132, 11	offval2 6335	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0p oF / ( CC X. { R } ) ) = ( z e. CC |-> ( 0 / R ) ) )
134	127, 133, 132	3eqtr4d 2483	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0p oF / ( CC X. { R } ) ) = 0p )
135	125, 134	eqeq12d 2455	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) oF / ( CC X. { R } ) ) = ( 0p oF / ( CC X. { R } ) ) <-> F = 0p ) )
136	116, 135	syl5ib 219	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) = 0p -> F = 0p ) )
137	136	necon3d 2644	. . . . 5 |- ( ph -> ( F =/= 0p -> ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) =/= 0p ) )
138	115, 137	mpd 15	. . . 4 |- ( ph -> ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) =/= 0p )
139		eldifsn 3997	. . . 4 |- ( ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) <-> ( ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) e. (Poly ` ZZ ) /\ ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) =/= 0p ) )
140	112, 138, 139	sylanbrc 659	. . 3 |- ( ph -> ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) )
141	6	fconst 5593	. . . . . . 7 |- ( CC X. { R } ) : CC --> { R }
142		ffn 5556	. . . . . . 7 |- ( ( CC X. { R } ) : CC --> { R } -> ( CC X. { R } ) Fn CC )
143	141, 142	mp1i 12	. . . . . 6 |- ( ph -> ( CC X. { R } ) Fn CC )
144		ffn 5556	. . . . . . 7 |- ( F : CC --> CC -> F Fn CC )
145	15, 144	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> F Fn CC )
146		inidm 3556	. . . . . 6 |- ( CC i^i CC ) = CC
147	6	fvconst2 5930	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( CC X. { R } ) ` A ) = R )
148	147	adantl 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A e. CC ) -> ( ( CC X. { R } ) ` A ) = R )
149	98	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A e. CC ) -> ( F ` A ) = 0 )
150	143, 145, 3, 3, 146, 148, 149	ofval 6328	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A e. CC ) -> ( ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) ` A ) = ( R x. 0 ) )
151	1, 150	mpdan 663	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) ` A ) = ( R x. 0 ) )
152	56	mul01d 9564	. . . 4 |- ( ph -> ( R x. 0 ) = 0 )
153	151, 152	eqtrd 2473	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) ` A ) = 0 )
154		fveq1 5687	. . . . 5 |- ( f = ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) -> ( f ` A ) = ( ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) ` A ) )
155	154	eqeq1d 2449	. . . 4 |- ( f = ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) -> ( ( f ` A ) = 0 <-> ( ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) ` A ) = 0 ) )
156	155	rspcev 3070	. . 3 |- ( ( ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) /\ ( ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) ` A ) = 0 ) -> E. f e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) ( f ` A ) = 0 )
157	140, 153, 156	syl2anc 656	. 2 |- ( ph -> E. f e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) ( f ` A ) = 0 )
158		elaa 21741	. 2 |- ( A e. AA <-> ( A e. CC /\ E. f e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) ( f ` A ) = 0 ) )
159	1, 157, 158	sylanbrc 659	1 |- ( ph -> A e. AA )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   =/= wne 2604   E.wrex 2714   {crab 2717   _Vcvv 2970   \ cdif 3322   C_ wss 3325   (/)c0 3634   {csn 3874   e. cmpt 4347   X. cxp 4834   `'ccnv 4835   Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   e. cmpt2 6092   oFcof 6317   supcsup 7686   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279   x. cmul 9283   < clt 9414   / cdiv 9989   NNcn 10318   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   QQcq 10949   RR+crp 10987   ...cfz 11433   mod cmo 11704   seqcseq 11802   ^cexp 11861   sum_csu 13159   0pc0p 21106  Polycply 21611  coeffccoe 21613  degcdgr 21614   AAcaa 21739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-0p 21107  df-ply 21615  df-coe 21617  df-dgr 21618  df-aa 21740

This theorem is referenced by:  elqaa  21747