Theorem elqaalem3 22451

Description: Lemma for elqaa 22452. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
elqaa.1	|- ( ph -> A e. CC )
elqaa.2	|- ( ph -> F e. ( (Poly ` QQ ) \ { 0p } ) )
elqaa.3	|- ( ph -> ( F ` A ) = 0 )
elqaa.4	|- B = (coeff ` F )
elqaa.5	|- N = ( k e. NN0 |-> sup ( { n e. NN | ( ( B ` k ) x. n ) e. ZZ } , RR , `' < ) )
elqaa.6	|- R = ( seq 0 ( x. , N ) ` (deg ` F ) )

Assertion

Ref	Expression
elqaalem3	|- ( ph -> A e. AA )

Distinct variable groups:   k, n, A   B, k, n   ph, k   k, N, n   R, k

Allowed substitution hints:   ph( n)   R( n)   F( k, n)

Proof of Theorem elqaalem3

Dummy variables f m x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elqaa.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		cnex 9569	. . . . . . . 8 |- CC e. _V
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> CC e. _V )
4		elqaa.6	. . . . . . . . 9 |- R = ( seq 0 ( x. , N ) ` (deg ` F ) )
5		fvex 5874	. . . . . . . . 9 |- ( seq 0 ( x. , N ) ` (deg ` F ) ) e. _V
6	4, 5	eqeltri 2551	. . . . . . . 8 |- R e. _V
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> R e. _V )
8		fvex 5874	. . . . . . . 8 |- ( F ` z ) e. _V
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( F ` z ) e. _V )
10		fconstmpt 5042	. . . . . . . 8 |- ( CC X. { R } ) = ( z e. CC |-> R )
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( CC X. { R } ) = ( z e. CC |-> R ) )
12		elqaa.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. ( (Poly ` QQ ) \ { 0p } ) )
13	12	eldifad 3488	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F e. (Poly ` QQ ) )
14		plyf 22330	. . . . . . . . 9 |- ( F e. (Poly ` QQ ) -> F : CC --> CC )
15	13, 14	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : CC --> CC )
16	15	feqmptd 5918	. . . . . . 7 |- ( ph -> F = ( z e. CC |-> ( F ` z ) ) )
17	3, 7, 9, 11, 16	offval2 6538	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) = ( z e. CC |-> ( R x. ( F ` z ) ) ) )
18		fzfid 12047	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... (deg ` F ) ) e. Fin )
19		nn0uz 11112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
20		0zd 10872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
21		ssrab2 3585	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } C_ NN
22		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k = m -> ( B ` k ) = ( B ` m ) )
23	22	oveq1d 6297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = m -> ( ( B ` k ) x. n ) = ( ( B ` m ) x. n ) )
24	23	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = m -> ( ( ( B ` k ) x. n ) e. ZZ <-> ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ ) )
25	24	rabbidv 3105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = m -> { n e. NN | ( ( B ` k ) x. n ) e. ZZ } = { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } )
26	25	supeq1d 7902	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = m -> sup ( { n e. NN | ( ( B ` k ) x. n ) e. ZZ } , RR , `' < ) = sup ( { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } , RR , `' < ) )
27		elqaa.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- N = ( k e. NN0 |-> sup ( { n e. NN | ( ( B ` k ) x. n ) e. ZZ } , RR , `' < ) )
28		gtso 9662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- `' < Or RR
29	28	supex 7919	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- sup ( { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } , RR , `' < ) e. _V
30	26, 27, 29	fvmpt 5948	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. NN0 -> ( N ` m ) = sup ( { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } , RR , `' < ) )
31	30	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( N ` m ) = sup ( { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } , RR , `' < ) )
32		nnuz 11113	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
33	21, 32	sseqtri 3536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } C_ ( ZZ>= ` 1 )
34		0z 10871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 0 e. ZZ
35		zq 11184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. QQ )
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 0 e. QQ
37		elqaa.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- B = (coeff ` F )
38	37	coef2 22363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F e. (Poly ` QQ ) /\ 0 e. QQ ) -> B : NN0 --> QQ )
39	13, 36, 38	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> B : NN0 --> QQ )
40	39	ffvelrnda 6019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( B ` m ) e. QQ )
41		qmulz 11181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B ` m ) e. QQ -> E. n e. NN ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ )
42	40, 41	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> E. n e. NN ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ )
43		rabn0 3805	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } =/= (/) <-> E. n e. NN ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ )
44	42, 43	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } =/= (/) )
45		infmssuzcl 11161	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } =/= (/) ) -> sup ( { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } , RR , `' < ) e. { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } )
46	33, 44, 45	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> sup ( { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } , RR , `' < ) e. { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } )
47	31, 46	eqeltrd 2555	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( N ` m ) e. { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } )
48	21, 47	sseldi 3502	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( N ` m ) e. NN )
49		nnmulcl 10555	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. NN /\ k e. NN ) -> ( m x. k ) e. NN )
50	49	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( m x. k ) e. NN )
51	19, 20, 48, 50	seqf 12092	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> seq 0 ( x. , N ) : NN0 --> NN )
52		dgrcl 22365	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. (Poly ` QQ ) -> (deg ` F ) e. NN0 )
53	13, 52	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (deg ` F ) e. NN0 )
54	51, 53	ffvelrnd 6020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( seq 0 ( x. , N ) ` (deg ` F ) ) e. NN )
55	4, 54	syl5eqel 2559	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R e. NN )
56	55	nncnd 10548	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R e. CC )
57	56	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> R e. CC )
58		elfznn0 11766	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) -> m e. NN0 )
59	37	coef3 22364	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. (Poly ` QQ ) -> B : NN0 --> CC )
60	13, 59	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B : NN0 --> CC )
61	60	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> B : NN0 --> CC )
62	61	ffvelrnda 6019	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ m e. NN0 ) -> ( B ` m ) e. CC )
63		expcl 12148	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. CC /\ m e. NN0 ) -> ( z ^ m ) e. CC )
64	63	adantll 713	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ m e. NN0 ) -> ( z ^ m ) e. CC )
65	62, 64	mulcld 9612	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) e. CC )
66	58, 65	sylan2 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) e. CC )
67	18, 57, 66	fsummulc2 13558	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( R x. sum_ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) ) = sum_ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ( R x. ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) ) )
68		eqid 2467	. . . . . . . . . . 11 |- (deg ` F ) = (deg ` F )
69	37, 68	coeid2 22371	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. (Poly ` QQ ) /\ z e. CC ) -> ( F ` z ) = sum_ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) )
70	13, 69	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( F ` z ) = sum_ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) )
71	70	oveq2d 6298	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( R x. ( F ` z ) ) = ( R x. sum_ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) ) )
72	57	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ m e. NN0 ) -> R e. CC )
73	72, 62, 64	mulassd 9615	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( R x. ( B ` m ) ) x. ( z ^ m ) ) = ( R x. ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) ) )
74	58, 73	sylan2 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( ( R x. ( B ` m ) ) x. ( z ^ m ) ) = ( R x. ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) ) )
75	74	sumeq2dv 13484	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ( ( R x. ( B ` m ) ) x. ( z ^ m ) ) = sum_ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ( R x. ( ( B ` m ) x. ( z ^ m ) ) ) )
76	67, 71, 75	3eqtr4d 2518	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( R x. ( F ` z ) ) = sum_ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ( ( R x. ( B ` m ) ) x. ( z ^ m ) ) )
77	76	mpteq2dva 4533	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z e. CC |-> ( R x. ( F ` z ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ( ( R x. ( B ` m ) ) x. ( z ^ m ) ) ) )
78	17, 77	eqtrd 2508	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) = ( z e. CC |-> sum_ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ( ( R x. ( B ` m ) ) x. ( z ^ m ) ) ) )
79		zsscn 10868	. . . . . . 7 |- ZZ C_ CC
80	79	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ZZ C_ CC )
81	56	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> R e. CC )
82	48	nncnd 10548	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( N ` m ) e. CC )
83	48	nnne0d 10576	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( N ` m ) =/= 0 )
84	81, 82, 83	divcan2d 10318	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( N ` m ) x. ( R / ( N ` m ) ) ) = R )
85	84	oveq2d 6298	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( B ` m ) x. ( ( N ` m ) x. ( R / ( N ` m ) ) ) ) = ( ( B ` m ) x. R ) )
86	60	ffvelrnda 6019	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( B ` m ) e. CC )
87	81, 82, 83	divcld 10316	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( R / ( N ` m ) ) e. CC )
88	86, 82, 87	mulassd 9615	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( ( B ` m ) x. ( N ` m ) ) x. ( R / ( N ` m ) ) ) = ( ( B ` m ) x. ( ( N ` m ) x. ( R / ( N ` m ) ) ) ) )
89	81, 86	mulcomd 9613	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( R x. ( B ` m ) ) = ( ( B ` m ) x. R ) )
90	85, 88, 89	3eqtr4rd 2519	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( R x. ( B ` m ) ) = ( ( ( B ` m ) x. ( N ` m ) ) x. ( R / ( N ` m ) ) ) )
91	58, 90	sylan2 474	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( R x. ( B ` m ) ) = ( ( ( B ` m ) x. ( N ` m ) ) x. ( R / ( N ` m ) ) ) )
92		oveq2 6290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( N ` m ) -> ( ( B ` m ) x. n ) = ( ( B ` m ) x. ( N ` m ) ) )
93	92	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( N ` m ) -> ( ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ <-> ( ( B ` m ) x. ( N ` m ) ) e. ZZ ) )
94	93	elrab 3261	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N ` m ) e. { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } <-> ( ( N ` m ) e. NN /\ ( ( B ` m ) x. ( N ` m ) ) e. ZZ ) )
95	94	simprbi 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N ` m ) e. { n e. NN | ( ( B ` m ) x. n ) e. ZZ } -> ( ( B ` m ) x. ( N ` m ) ) e. ZZ )
96	47, 95	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( B ` m ) x. ( N ` m ) ) e. ZZ )
97	58, 96	sylan2 474	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( ( B ` m ) x. ( N ` m ) ) e. ZZ )
98		elqaa.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ` A ) = 0 )
99		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. _V , y e. _V |-> ( ( x x. y ) mod ( N ` m ) ) ) = ( x e. _V , y e. _V |-> ( ( x x. y ) mod ( N ` m ) ) )
100	1, 12, 98, 37, 27, 4, 99	elqaalem2 22450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( R mod ( N ` m ) ) = 0 )
101	55	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> R e. NN )
102	58, 48	sylan2 474	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( N ` m ) e. NN )
103		nnre 10539	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. NN -> R e. RR )
104		nnrp 11225	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N ` m ) e. NN -> ( N ` m ) e. RR+ )
105		mod0 11967	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR /\ ( N ` m ) e. RR+ ) -> ( ( R mod ( N ` m ) ) = 0 <-> ( R / ( N ` m ) ) e. ZZ ) )
106	103, 104, 105	syl2an 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. NN /\ ( N ` m ) e. NN ) -> ( ( R mod ( N ` m ) ) = 0 <-> ( R / ( N ` m ) ) e. ZZ ) )
107	101, 102, 106	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( ( R mod ( N ` m ) ) = 0 <-> ( R / ( N ` m ) ) e. ZZ ) )
108	100, 107	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( R / ( N ` m ) ) e. ZZ )
109	97, 108	zmulcld 10968	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( ( ( B ` m ) x. ( N ` m ) ) x. ( R / ( N ` m ) ) ) e. ZZ )
110	91, 109	eqeltrd 2555	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ) -> ( R x. ( B ` m ) ) e. ZZ )
111	80, 53, 110	elplyd 22334	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ m e. ( 0 ... (deg ` F ) ) ( ( R x. ( B ` m ) ) x. ( z ^ m ) ) ) e. (Poly ` ZZ ) )
112	78, 111	eqeltrd 2555	. . . 4 |- ( ph -> ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) e. (Poly ` ZZ ) )
113		eldifsn 4152	. . . . . . 7 |- ( F e. ( (Poly ` QQ ) \ { 0p } ) <-> ( F e. (Poly ` QQ ) /\ F =/= 0p ) )
114	12, 113	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F e. (Poly ` QQ ) /\ F =/= 0p ) )
115	114	simprd 463	. . . . 5 |- ( ph -> F =/= 0p )
116		oveq1 6289	. . . . . . 7 |- ( ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) = 0p -> ( ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) oF / ( CC X. { R } ) ) = ( 0p oF / ( CC X. { R } ) ) )
117	15	ffvelrnda 6019	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( F ` z ) e. CC )
118	55	nnne0d 10576	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> R =/= 0 )
119	118	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> R =/= 0 )
120	117, 57, 119	divcan3d 10321	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( ( R x. ( F ` z ) ) / R ) = ( F ` z ) )
121	120	mpteq2dva 4533	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( z e. CC |-> ( ( R x. ( F ` z ) ) / R ) ) = ( z e. CC |-> ( F ` z ) ) )
122		ovex 6307	. . . . . . . . . . 11 |- ( R x. ( F ` z ) ) e. _V
123	122	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( R x. ( F ` z ) ) e. _V )
124	3, 123, 7, 17, 11	offval2 6538	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) oF / ( CC X. { R } ) ) = ( z e. CC |-> ( ( R x. ( F ` z ) ) / R ) ) )
125	121, 124, 16	3eqtr4d 2518	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) oF / ( CC X. { R } ) ) = F )
126	56, 118	div0d 10315	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 / R ) = 0 )
127	126	mpteq2dv 4534	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( z e. CC |-> ( 0 / R ) ) = ( z e. CC |-> 0 ) )
128		0cnd 9585	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> 0 e. CC )
129		df-0p 21812	. . . . . . . . . . . 12 |- 0p = ( CC X. { 0 } )
130		fconstmpt 5042	. . . . . . . . . . . 12 |- ( CC X. { 0 } ) = ( z e. CC |-> 0 )
131	129, 130	eqtri 2496	. . . . . . . . . . 11 |- 0p = ( z e. CC |-> 0 )
132	131	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0p = ( z e. CC |-> 0 ) )
133	3, 128, 7, 132, 11	offval2 6538	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0p oF / ( CC X. { R } ) ) = ( z e. CC |-> ( 0 / R ) ) )
134	127, 133, 132	3eqtr4d 2518	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0p oF / ( CC X. { R } ) ) = 0p )
135	125, 134	eqeq12d 2489	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) oF / ( CC X. { R } ) ) = ( 0p oF / ( CC X. { R } ) ) <-> F = 0p ) )
136	116, 135	syl5ib 219	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) = 0p -> F = 0p ) )
137	136	necon3d 2691	. . . . 5 |- ( ph -> ( F =/= 0p -> ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) =/= 0p ) )
138	115, 137	mpd 15	. . . 4 |- ( ph -> ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) =/= 0p )
139		eldifsn 4152	. . . 4 |- ( ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) <-> ( ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) e. (Poly ` ZZ ) /\ ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) =/= 0p ) )
140	112, 138, 139	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ph -> ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) )
141	6	fconst 5769	. . . . . . 7 |- ( CC X. { R } ) : CC --> { R }
142		ffn 5729	. . . . . . 7 |- ( ( CC X. { R } ) : CC --> { R } -> ( CC X. { R } ) Fn CC )
143	141, 142	mp1i 12	. . . . . 6 |- ( ph -> ( CC X. { R } ) Fn CC )
144		ffn 5729	. . . . . . 7 |- ( F : CC --> CC -> F Fn CC )
145	15, 144	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> F Fn CC )
146		inidm 3707	. . . . . 6 |- ( CC i^i CC ) = CC
147	6	fvconst2 6114	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( CC X. { R } ) ` A ) = R )
148	147	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A e. CC ) -> ( ( CC X. { R } ) ` A ) = R )
149	98	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A e. CC ) -> ( F ` A ) = 0 )
150	143, 145, 3, 3, 146, 148, 149	ofval 6531	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A e. CC ) -> ( ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) ` A ) = ( R x. 0 ) )
151	1, 150	mpdan 668	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) ` A ) = ( R x. 0 ) )
152	56	mul01d 9774	. . . 4 |- ( ph -> ( R x. 0 ) = 0 )
153	151, 152	eqtrd 2508	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) ` A ) = 0 )
154		fveq1 5863	. . . . 5 |- ( f = ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) -> ( f ` A ) = ( ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) ` A ) )
155	154	eqeq1d 2469	. . . 4 |- ( f = ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) -> ( ( f ` A ) = 0 <-> ( ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) ` A ) = 0 ) )
156	155	rspcev 3214	. . 3 |- ( ( ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) /\ ( ( ( CC X. { R } ) oF x. F ) ` A ) = 0 ) -> E. f e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) ( f ` A ) = 0 )
157	140, 153, 156	syl2anc 661	. 2 |- ( ph -> E. f e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) ( f ` A ) = 0 )
158		elaa 22446	. 2 |- ( A e. AA <-> ( A e. CC /\ E. f e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) ( f ` A ) = 0 ) )
159	1, 157, 158	sylanbrc 664	1 |- ( ph -> A e. AA )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   |-> cmpt 4505   X. cxp 4997   `'ccnv 4998   Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   |-> cmpt2 6284   oFcof 6520   supcsup 7896   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489   x. cmul 9493   < clt 9624   / cdiv 10202   NNcn 10532   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   QQcq 11178   RR+crp 11216   ...cfz 11668   mod cmo 11960   seqcseq 12071   ^cexp 12130   sum_csu 13467   0pc0p 21811  Polycply 22316  coeffccoe 22318  degcdgr 22319   AAcaa 22444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-0p 21812  df-ply 22320  df-coe 22322  df-dgr 22323  df-aa 22445

This theorem is referenced by:  elqaa  22452