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Theorem elqaalem2 21791
Description: Lemma for elqaa 21793. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
elqaa.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
elqaa.2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( (Poly `  QQ )  \  {
0p } ) )
elqaa.3  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
elqaa.4  |-  B  =  (coeff `  F )
elqaa.5  |-  N  =  ( k  e.  NN0  |->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `  k )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )
elqaa.6  |-  R  =  (  seq 0 (  x.  ,  N ) `
 (deg `  F
) )
elqaa.7  |-  P  =  ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( ( x  x.  y )  mod  ( N `  K )
) )
Assertion
Ref Expression
elqaalem2  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( R  mod  ( N `  K ) )  =  0 )
Distinct variable groups:    k, n, x, y, A    B, k, n    ph, k    k, K, n, x, y    k, N, n, x, y    R, k
Allowed substitution hints:    ph( x, y, n)    B( x, y)    P( x, y, k, n)    R( x, y, n)    F( x, y, k, n)

Proof of Theorem elqaalem2
Dummy variables  m  i  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfznn0 11486 . . 3  |-  ( K  e.  ( 0 ... (deg `  F )
)  ->  K  e.  NN0 )
2 elqaa.6 . . . . 5  |-  R  =  (  seq 0 (  x.  ,  N ) `
 (deg `  F
) )
32fveq2i 5699 . . . 4  |-  ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  R )  =  ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K ) ) ) `
 (  seq 0
(  x.  ,  N
) `  (deg `  F
) ) )
4 nnmulcl 10350 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( i  x.  j
)  e.  NN )
54adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( i  x.  j )  e.  NN )
6 elfznn0 11486 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ( 0 ... (deg `  F )
)  ->  i  e.  NN0 )
7 elqaa.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
8 elqaa.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( (Poly `  QQ )  \  {
0p } ) )
9 elqaa.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
10 elqaa.4 . . . . . . . . 9  |-  B  =  (coeff `  F )
11 elqaa.5 . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( k  e.  NN0  |->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `  k )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )
127, 8, 9, 10, 11, 2elqaalem1 21790 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( N `  i )  e.  NN  /\  ( ( B `  i )  x.  ( N `  i ) )  e.  ZZ ) )
1312simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( N `  i )  e.  NN )
1413adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( N `  i )  e.  NN )
156, 14sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( N `  i )  e.  NN )
16 eldifi 3483 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( (Poly `  QQ )  \  { 0p } )  ->  F  e.  (Poly `  QQ ) )
17 dgrcl 21706 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  (Poly `  QQ )  ->  (deg `  F
)  e.  NN0 )
188, 16, 173syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (deg `  F )  e.  NN0 )
19 nn0uz 10900 . . . . . . 7  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2018, 19syl6eleq 2533 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (deg `  F )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
2120adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  (deg `  F
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
22 nnz 10673 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  NN  ->  i  e.  ZZ )
2322ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  i  e.  ZZ )
247, 8, 9, 10, 11, 2elqaalem1 21790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( N `  K )  e.  NN  /\  ( ( B `  K )  x.  ( N `  K ) )  e.  ZZ ) )
2524simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( N `  K )  e.  NN )
2625adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( N `  K )  e.  NN )
2723, 26zmodcld 11733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( i  mod  ( N `  K
) )  e.  NN0 )
2827nn0zd 10750 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( i  mod  ( N `  K
) )  e.  ZZ )
29 nnz 10673 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ZZ )
3029ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  j  e.  ZZ )
3130, 26zmodcld 11733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( j  mod  ( N `  K
) )  e.  NN0 )
3231nn0zd 10750 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( j  mod  ( N `  K
) )  e.  ZZ )
3326nnrpd 11031 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( N `  K )  e.  RR+ )
34 nnre 10334 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  NN  ->  i  e.  RR )
3534ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  i  e.  RR )
36 modabs2 11747 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  e.  RR  /\  ( N `  K )  e.  RR+ )  ->  (
( i  mod  ( N `  K )
)  mod  ( N `  K ) )  =  ( i  mod  ( N `  K )
) )
3735, 33, 36syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
i  mod  ( N `  K ) )  mod  ( N `  K
) )  =  ( i  mod  ( N `
 K ) ) )
38 nnre 10334 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
3938ad2antll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  j  e.  RR )
40 modabs2 11747 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  RR  /\  ( N `  K )  e.  RR+ )  ->  (
( j  mod  ( N `  K )
)  mod  ( N `  K ) )  =  ( j  mod  ( N `  K )
) )
4139, 33, 40syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
j  mod  ( N `  K ) )  mod  ( N `  K
) )  =  ( j  mod  ( N `
 K ) ) )
4228, 23, 32, 30, 33, 37, 41modmul12d 11758 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
( i  mod  ( N `  K )
)  x.  ( j  mod  ( N `  K ) ) )  mod  ( N `  K ) )  =  ( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K )
) )
43 oveq1 6103 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  i  ->  (
k  mod  ( N `  K ) )  =  ( i  mod  ( N `  K )
) )
44 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K
) ) )
45 ovex 6121 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
4643, 44, 45fvmpt 5779 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  i
)  =  ( i  mod  ( N `  K ) ) )
4746ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  i )  =  ( i  mod  ( N `  K
) ) )
48 oveq1 6103 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  (
k  mod  ( N `  K ) )  =  ( j  mod  ( N `  K )
) )
49 ovex 6121 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
5048, 44, 49fvmpt 5779 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  j
)  =  ( j  mod  ( N `  K ) ) )
5150ad2antll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  j )  =  ( j  mod  ( N `  K
) ) )
5247, 51oveq12d 6114 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  i
) P ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  j ) )  =  ( ( i  mod  ( N `
 K ) ) P ( j  mod  ( N `  K
) ) ) )
53 oveq12 6105 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  ( i  mod  ( N `  K ) )  /\  y  =  ( j  mod  ( N `  K
) ) )  -> 
( x  x.  y
)  =  ( ( i  mod  ( N `
 K ) )  x.  ( j  mod  ( N `  K
) ) ) )
5453oveq1d 6111 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( i  mod  ( N `  K ) )  /\  y  =  ( j  mod  ( N `  K
) ) )  -> 
( ( x  x.  y )  mod  ( N `  K )
)  =  ( ( ( i  mod  ( N `  K )
)  x.  ( j  mod  ( N `  K ) ) )  mod  ( N `  K ) ) )
55 elqaa.7 . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( ( x  x.  y )  mod  ( N `  K )
) )
56 ovex 6121 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( i  mod  ( N `  K )
)  x.  ( j  mod  ( N `  K ) ) )  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
5754, 55, 56ovmpt2a 6226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( i  mod  ( N `  K )
)  e.  _V  /\  ( j  mod  ( N `  K )
)  e.  _V )  ->  ( ( i  mod  ( N `  K
) ) P ( j  mod  ( N `
 K ) ) )  =  ( ( ( i  mod  ( N `  K )
)  x.  ( j  mod  ( N `  K ) ) )  mod  ( N `  K ) ) )
5845, 49, 57mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( ( i  mod  ( N `
 K ) ) P ( j  mod  ( N `  K
) ) )  =  ( ( ( i  mod  ( N `  K ) )  x.  ( j  mod  ( N `  K )
) )  mod  ( N `  K )
)
5952, 58syl6eq 2491 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  i
) P ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  j ) )  =  ( ( ( i  mod  ( N `  K )
)  x.  ( j  mod  ( N `  K ) ) )  mod  ( N `  K ) ) )
60 oveq1 6103 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( i  x.  j )  ->  (
k  mod  ( N `  K ) )  =  ( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K )
) )
61 ovex 6121 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
6260, 44, 61fvmpt 5779 . . . . . . 7  |-  ( ( i  x.  j )  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  (
i  x.  j ) )  =  ( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K ) ) )
635, 62syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  ( i  x.  j ) )  =  ( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K
) ) )
6442, 59, 633eqtr4rd 2486 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  ( i  x.  j ) )  =  ( ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  i ) P ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K ) ) ) `
 j ) ) )
65 oveq1 6103 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( N `  i )  ->  (
k  mod  ( N `  K ) )  =  ( ( N `  i )  mod  ( N `  K )
) )
66 ovex 6121 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N `  i )  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
6765, 44, 66fvmpt 5779 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  i )  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  ( N `  i )
)  =  ( ( N `  i )  mod  ( N `  K ) ) )
6814, 67syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  ( N `  i )
)  =  ( ( N `  i )  mod  ( N `  K ) ) )
69 fveq2 5696 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  i  ->  ( N `  k )  =  ( N `  i ) )
7069oveq1d 6111 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  i  ->  (
( N `  k
)  mod  ( N `  K ) )  =  ( ( N `  i )  mod  ( N `  K )
) )
71 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) )  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( N `
 k )  mod  ( N `  K
) ) )
7270, 71, 66fvmpt 5779 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) `
 i )  =  ( ( N `  i )  mod  ( N `  K )
) )
7372adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K )
) ) `  i
)  =  ( ( N `  i )  mod  ( N `  K ) ) )
7468, 73eqtr4d 2478 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  ( N `  i )
)  =  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) `
 i ) )
756, 74sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K ) ) ) `
 ( N `  i ) )  =  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( N `
 k )  mod  ( N `  K
) ) ) `  i ) )
765, 15, 21, 64, 75seqhomo 11858 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  (  seq 0 (  x.  ,  N ) `  (deg `  F ) ) )  =  (  seq 0
( P ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) ) `  (deg `  F ) ) )
773, 76syl5eq 2487 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  R )  =  (  seq 0
( P ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) ) `  (deg `  F ) ) )
781, 77sylan2 474 . 2  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K ) ) ) `
 R )  =  (  seq 0 ( P ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) ) `  (deg `  F ) ) )
79 0zd 10663 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
804adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  NN  /\  j  e.  NN ) )  -> 
( i  x.  j
)  e.  NN )
8119, 79, 13, 80seqf 11832 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq 0 (  x.  ,  N ) : NN0 --> NN )
8281, 18ffvelrnd 5849 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq 0 (  x.  ,  N ) `
 (deg `  F
) )  e.  NN )
832, 82syl5eqel 2527 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
8483adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  R  e.  NN )
85 oveq1 6103 . . . . 5  |-  ( k  =  R  ->  (
k  mod  ( N `  K ) )  =  ( R  mod  ( N `  K )
) )
86 ovex 6121 . . . . 5  |-  ( R  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
8785, 44, 86fvmpt 5779 . . . 4  |-  ( R  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  R
)  =  ( R  mod  ( N `  K ) ) )
8884, 87syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  R )  =  ( R  mod  ( N `  K ) ) )
891, 88sylan2 474 . 2  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K ) ) ) `
 R )  =  ( R  mod  ( N `  K )
) )
90 vex 2980 . . . . 5  |-  i  e. 
_V
91 vex 2980 . . . . 5  |-  j  e. 
_V
92 oveq12 6105 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( x  x.  y
)  =  ( i  x.  j ) )
9392oveq1d 6111 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( ( x  x.  y )  mod  ( N `  K )
)  =  ( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K ) ) )
9493, 55, 61ovmpt2a 6226 . . . . 5  |-  ( ( i  e.  _V  /\  j  e.  _V )  ->  ( i P j )  =  ( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K ) ) )
9590, 91, 94mp2an 672 . . . 4  |-  ( i P j )  =  ( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K )
)
96 nn0mulcl 10621 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( i  x.  j
)  e.  NN0 )
9796nn0zd 10750 . . . . 5  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( i  x.  j
)  e.  ZZ )
981, 25sylan2 474 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( N `  K )  e.  NN )
99 zmodcl 11732 . . . . 5  |-  ( ( ( i  x.  j
)  e.  ZZ  /\  ( N `  K )  e.  NN )  -> 
( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K )
)  e.  NN0 )
10097, 98, 99syl2anr 478 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  /\  ( i  e. 
NN0  /\  j  e.  NN0 ) )  ->  (
( i  x.  j
)  mod  ( N `  K ) )  e. 
NN0 )
10195, 100syl5eqel 2527 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  /\  ( i  e. 
NN0  /\  j  e.  NN0 ) )  ->  (
i P j )  e.  NN0 )
102 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  m  ->  ( B `  k )  =  ( B `  m ) )
103102oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  m  ->  (
( B `  k
)  x.  n )  =  ( ( B `
 m )  x.  n ) )
104103eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( B `  k )  x.  n
)  e.  ZZ  <->  ( ( B `  m )  x.  n )  e.  ZZ ) )
105104rabbidv 2969 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  { n  e.  NN  |  ( ( B `  k )  x.  n )  e.  ZZ }  =  {
n  e.  NN  | 
( ( B `  m )  x.  n
)  e.  ZZ }
)
106105supeq1d 7701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `
 k )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  )  =  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `
 m )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )
107106cbvmptv 4388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  |->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `
 k )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )  =  ( m  e.  NN0  |->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `  m )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )
10811, 107eqtri 2463 . . . . . . . . . . 11  |-  N  =  ( m  e.  NN0  |->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `  m )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )
1097, 8, 9, 10, 108, 2elqaalem1 21790 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( N `  k )  e.  NN  /\  ( ( B `  k )  x.  ( N `  k ) )  e.  ZZ ) )
110109simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( N `  k )  e.  NN )
111110adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( N `  k )  e.  NN )
112111nnzd 10751 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( N `  k )  e.  ZZ )
11325adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( N `  K )  e.  NN )
114112, 113zmodcld 11733 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( N `  k
)  mod  ( N `  K ) )  e. 
NN0 )
115114, 71fmptd 5872 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `
 k )  mod  ( N `  K
) ) ) : NN0 --> NN0 )
1161, 115sylan2 474 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( N `
 k )  mod  ( N `  K
) ) ) : NN0 --> NN0 )
117 ffvelrn 5846 . . . 4  |-  ( ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K )
) ) : NN0 --> NN0 
/\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) `
 i )  e. 
NN0 )
118116, 6, 117syl2an 477 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) `
 i )  e. 
NN0 )
119 c0ex 9385 . . . . 5  |-  0  e.  _V
120 oveq12 6105 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  i )  ->  ( x  x.  y )  =  ( 0  x.  i ) )
121120oveq1d 6111 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  i )  ->  ( ( x  x.  y )  mod  ( N `  K
) )  =  ( ( 0  x.  i
)  mod  ( N `  K ) ) )
122 ovex 6121 . . . . . 6  |-  ( ( 0  x.  i )  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
123121, 55, 122ovmpt2a 6226 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  i  e.  _V )  ->  ( 0 P i )  =  ( ( 0  x.  i )  mod  ( N `  K ) ) )
124119, 90, 123mp2an 672 . . . 4  |-  ( 0 P i )  =  ( ( 0  x.  i )  mod  ( N `  K )
)
125 nn0cn 10594 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  NN0  ->  i  e.  CC )
126125mul02d 9572 . . . . . 6  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( 0  x.  i )  =  0 )
127126oveq1d 6111 . . . . 5  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( 0  x.  i )  mod  ( N `  K ) )  =  ( 0  mod  ( N `  K )
) )
12898nnrpd 11031 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( N `  K )  e.  RR+ )
129 0mod 11744 . . . . . 6  |-  ( ( N `  K )  e.  RR+  ->  ( 0  mod  ( N `  K ) )  =  0 )
130128, 129syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( 0  mod  ( N `  K
) )  =  0 )
131127, 130sylan9eqr 2497 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( 0  x.  i )  mod  ( N `  K
) )  =  0 )
132124, 131syl5eq 2487 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( 0 P i )  =  0 )
133 oveq12 6105 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  0 )  ->  ( x  x.  y )  =  ( i  x.  0 ) )
134133oveq1d 6111 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  0 )  ->  ( ( x  x.  y )  mod  ( N `  K
) )  =  ( ( i  x.  0 )  mod  ( N `
 K ) ) )
135 ovex 6121 . . . . . 6  |-  ( ( i  x.  0 )  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
136134, 55, 135ovmpt2a 6226 . . . . 5  |-  ( ( i  e.  _V  /\  0  e.  _V )  ->  ( i P 0 )  =  ( ( i  x.  0 )  mod  ( N `  K ) ) )
13790, 119, 136mp2an 672 . . . 4  |-  ( i P 0 )  =  ( ( i  x.  0 )  mod  ( N `  K )
)
138125mul01d 9573 . . . . . 6  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( i  x.  0 )  =  0 )
139138oveq1d 6111 . . . . 5  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( i  x.  0 )  mod  ( N `  K ) )  =  ( 0  mod  ( N `  K )
) )
140139, 130sylan9eqr 2497 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( i  x.  0 )  mod  ( N `  K
) )  =  0 )
141137, 140syl5eq 2487 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( i P 0 )  =  0 )
142 simpr 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )
14318adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  (deg `  F
)  e.  NN0 )
1441adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  K  e.  NN0 )
145 fveq2 5696 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( N `  k )  =  ( N `  K ) )
146145oveq1d 6111 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (
( N `  k
)  mod  ( N `  K ) )  =  ( ( N `  K )  mod  ( N `  K )
) )
147 ovex 6121 . . . . . 6  |-  ( ( N `  K )  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
148146, 71, 147fvmpt 5779 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) `
 K )  =  ( ( N `  K )  mod  ( N `  K )
) )
149144, 148syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) `
 K )  =  ( ( N `  K )  mod  ( N `  K )
) )
15098nncnd 10343 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( N `  K )  e.  CC )
15198nnne0d 10371 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( N `  K )  =/=  0
)
152150, 151dividd 10110 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( N `
 K )  / 
( N `  K
) )  =  1 )
153 1z 10681 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
154152, 153syl6eqel 2531 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( N `
 K )  / 
( N `  K
) )  e.  ZZ )
15598nnred 10342 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( N `  K )  e.  RR )
156 mod0 11720 . . . . . 6  |-  ( ( ( N `  K
)  e.  RR  /\  ( N `  K )  e.  RR+ )  ->  (
( ( N `  K )  mod  ( N `  K )
)  =  0  <->  (
( N `  K
)  /  ( N `
 K ) )  e.  ZZ ) )
157155, 128, 156syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( ( N `  K )  mod  ( N `  K ) )  =  0  <->  ( ( N `
 K )  / 
( N `  K
) )  e.  ZZ ) )
158154, 157mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( N `
 K )  mod  ( N `  K
) )  =  0 )
159149, 158eqtrd 2475 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) `
 K )  =  0 )
160101, 118, 132, 141, 142, 143, 159seqz 11859 . 2  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  (  seq 0
( P ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) ) `  (deg `  F ) )  =  0 )
16178, 89, 1603eqtr3d 2483 1  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( R  mod  ( N `  K ) )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2724   _Vcvv 2977    \ cdif 3330   {csn 3882    e. cmpt 4355   `'ccnv 4844   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    e. cmpt2 6098   supcsup 7695   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    x. cmul 9292    < clt 9423    / cdiv 9998   NNcn 10327   NN0cn0 10584   ZZcz 10651   ZZ>=cuz 10866   QQcq 10958   RR+crp 10996   ...cfz 11442    mod cmo 11713    seqcseq 11811   0pc0p 21152  Polycply 21657  coeffccoe 21659  degcdgr 21660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-0p 21153  df-ply 21661  df-coe 21663  df-dgr 21664
This theorem is referenced by:  elqaalem3  21792
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