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Theorem elqaalem2 22583
Description: Lemma for elqaa 22585. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
elqaa.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
elqaa.2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( (Poly `  QQ )  \  {
0p } ) )
elqaa.3  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
elqaa.4  |-  B  =  (coeff `  F )
elqaa.5  |-  N  =  ( k  e.  NN0  |->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `  k )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )
elqaa.6  |-  R  =  (  seq 0 (  x.  ,  N ) `
 (deg `  F
) )
elqaa.7  |-  P  =  ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( ( x  x.  y )  mod  ( N `  K )
) )
Assertion
Ref Expression
elqaalem2  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( R  mod  ( N `  K ) )  =  0 )
Distinct variable groups:    k, n, x, y, A    B, k, n    ph, k    k, K, n, x, y    k, N, n, x, y    R, k
Allowed substitution hints:    ph( x, y, n)    B( x, y)    P( x, y, k, n)    R( x, y, n)    F( x, y, k, n)

Proof of Theorem elqaalem2
Dummy variables  m  i  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfznn0 11782 . . 3  |-  ( K  e.  ( 0 ... (deg `  F )
)  ->  K  e.  NN0 )
2 elqaa.6 . . . . 5  |-  R  =  (  seq 0 (  x.  ,  N ) `
 (deg `  F
) )
32fveq2i 5875 . . . 4  |-  ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  R )  =  ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K ) ) ) `
 (  seq 0
(  x.  ,  N
) `  (deg `  F
) ) )
4 nnmulcl 10571 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( i  x.  j
)  e.  NN )
54adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( i  x.  j )  e.  NN )
6 elfznn0 11782 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ( 0 ... (deg `  F )
)  ->  i  e.  NN0 )
7 elqaa.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
8 elqaa.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( (Poly `  QQ )  \  {
0p } ) )
9 elqaa.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
10 elqaa.4 . . . . . . . . 9  |-  B  =  (coeff `  F )
11 elqaa.5 . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( k  e.  NN0  |->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `  k )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )
127, 8, 9, 10, 11, 2elqaalem1 22582 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( N `  i )  e.  NN  /\  ( ( B `  i )  x.  ( N `  i ) )  e.  ZZ ) )
1312simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( N `  i )  e.  NN )
1413adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( N `  i )  e.  NN )
156, 14sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( N `  i )  e.  NN )
16 eldifi 3631 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( (Poly `  QQ )  \  { 0p } )  ->  F  e.  (Poly `  QQ ) )
17 dgrcl 22498 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  (Poly `  QQ )  ->  (deg `  F
)  e.  NN0 )
188, 16, 173syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (deg `  F )  e.  NN0 )
19 nn0uz 11128 . . . . . . 7  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2018, 19syl6eleq 2565 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (deg `  F )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
2120adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  (deg `  F
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
22 nnz 10898 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  NN  ->  i  e.  ZZ )
2322ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  i  e.  ZZ )
247, 8, 9, 10, 11, 2elqaalem1 22582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( N `  K )  e.  NN  /\  ( ( B `  K )  x.  ( N `  K ) )  e.  ZZ ) )
2524simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( N `  K )  e.  NN )
2625adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( N `  K )  e.  NN )
2723, 26zmodcld 11996 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( i  mod  ( N `  K
) )  e.  NN0 )
2827nn0zd 10976 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( i  mod  ( N `  K
) )  e.  ZZ )
29 nnz 10898 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ZZ )
3029ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  j  e.  ZZ )
3130, 26zmodcld 11996 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( j  mod  ( N `  K
) )  e.  NN0 )
3231nn0zd 10976 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( j  mod  ( N `  K
) )  e.  ZZ )
3326nnrpd 11267 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( N `  K )  e.  RR+ )
34 nnre 10555 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  NN  ->  i  e.  RR )
3534ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  i  e.  RR )
36 modabs2 12010 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  e.  RR  /\  ( N `  K )  e.  RR+ )  ->  (
( i  mod  ( N `  K )
)  mod  ( N `  K ) )  =  ( i  mod  ( N `  K )
) )
3735, 33, 36syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
i  mod  ( N `  K ) )  mod  ( N `  K
) )  =  ( i  mod  ( N `
 K ) ) )
38 nnre 10555 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
3938ad2antll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  j  e.  RR )
40 modabs2 12010 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  RR  /\  ( N `  K )  e.  RR+ )  ->  (
( j  mod  ( N `  K )
)  mod  ( N `  K ) )  =  ( j  mod  ( N `  K )
) )
4139, 33, 40syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
j  mod  ( N `  K ) )  mod  ( N `  K
) )  =  ( j  mod  ( N `
 K ) ) )
4228, 23, 32, 30, 33, 37, 41modmul12d 12021 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
( i  mod  ( N `  K )
)  x.  ( j  mod  ( N `  K ) ) )  mod  ( N `  K ) )  =  ( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K )
) )
43 oveq1 6302 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  i  ->  (
k  mod  ( N `  K ) )  =  ( i  mod  ( N `  K )
) )
44 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K
) ) )
45 ovex 6320 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
4643, 44, 45fvmpt 5957 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  i
)  =  ( i  mod  ( N `  K ) ) )
4746ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  i )  =  ( i  mod  ( N `  K
) ) )
48 oveq1 6302 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  (
k  mod  ( N `  K ) )  =  ( j  mod  ( N `  K )
) )
49 ovex 6320 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
5048, 44, 49fvmpt 5957 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  j
)  =  ( j  mod  ( N `  K ) ) )
5150ad2antll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  j )  =  ( j  mod  ( N `  K
) ) )
5247, 51oveq12d 6313 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  i
) P ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  j ) )  =  ( ( i  mod  ( N `
 K ) ) P ( j  mod  ( N `  K
) ) ) )
53 oveq12 6304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  ( i  mod  ( N `  K ) )  /\  y  =  ( j  mod  ( N `  K
) ) )  -> 
( x  x.  y
)  =  ( ( i  mod  ( N `
 K ) )  x.  ( j  mod  ( N `  K
) ) ) )
5453oveq1d 6310 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( i  mod  ( N `  K ) )  /\  y  =  ( j  mod  ( N `  K
) ) )  -> 
( ( x  x.  y )  mod  ( N `  K )
)  =  ( ( ( i  mod  ( N `  K )
)  x.  ( j  mod  ( N `  K ) ) )  mod  ( N `  K ) ) )
55 elqaa.7 . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( ( x  x.  y )  mod  ( N `  K )
) )
56 ovex 6320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( i  mod  ( N `  K )
)  x.  ( j  mod  ( N `  K ) ) )  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
5754, 55, 56ovmpt2a 6428 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( i  mod  ( N `  K )
)  e.  _V  /\  ( j  mod  ( N `  K )
)  e.  _V )  ->  ( ( i  mod  ( N `  K
) ) P ( j  mod  ( N `
 K ) ) )  =  ( ( ( i  mod  ( N `  K )
)  x.  ( j  mod  ( N `  K ) ) )  mod  ( N `  K ) ) )
5845, 49, 57mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( ( i  mod  ( N `
 K ) ) P ( j  mod  ( N `  K
) ) )  =  ( ( ( i  mod  ( N `  K ) )  x.  ( j  mod  ( N `  K )
) )  mod  ( N `  K )
)
5952, 58syl6eq 2524 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  i
) P ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  j ) )  =  ( ( ( i  mod  ( N `  K )
)  x.  ( j  mod  ( N `  K ) ) )  mod  ( N `  K ) ) )
60 oveq1 6302 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( i  x.  j )  ->  (
k  mod  ( N `  K ) )  =  ( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K )
) )
61 ovex 6320 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
6260, 44, 61fvmpt 5957 . . . . . . 7  |-  ( ( i  x.  j )  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  (
i  x.  j ) )  =  ( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K ) ) )
635, 62syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  ( i  x.  j ) )  =  ( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K
) ) )
6442, 59, 633eqtr4rd 2519 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  NN  /\  j  e.  NN )
)  ->  ( (
k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  ( i  x.  j ) )  =  ( ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  i ) P ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K ) ) ) `
 j ) ) )
65 oveq1 6302 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( N `  i )  ->  (
k  mod  ( N `  K ) )  =  ( ( N `  i )  mod  ( N `  K )
) )
66 ovex 6320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N `  i )  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
6765, 44, 66fvmpt 5957 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  i )  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  ( N `  i )
)  =  ( ( N `  i )  mod  ( N `  K ) ) )
6814, 67syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  ( N `  i )
)  =  ( ( N `  i )  mod  ( N `  K ) ) )
69 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  i  ->  ( N `  k )  =  ( N `  i ) )
7069oveq1d 6310 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  i  ->  (
( N `  k
)  mod  ( N `  K ) )  =  ( ( N `  i )  mod  ( N `  K )
) )
71 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) )  =  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( N `
 k )  mod  ( N `  K
) ) )
7270, 71, 66fvmpt 5957 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) `
 i )  =  ( ( N `  i )  mod  ( N `  K )
) )
7372adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K )
) ) `  i
)  =  ( ( N `  i )  mod  ( N `  K ) ) )
7468, 73eqtr4d 2511 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  ( N `  i )
)  =  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) `
 i ) )
756, 74sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K ) ) ) `
 ( N `  i ) )  =  ( ( k  e. 
NN0  |->  ( ( N `
 k )  mod  ( N `  K
) ) ) `  i ) )
765, 15, 21, 64, 75seqhomo 12134 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  (  seq 0 (  x.  ,  N ) `  (deg `  F ) ) )  =  (  seq 0
( P ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) ) `  (deg `  F ) ) )
773, 76syl5eq 2520 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  R )  =  (  seq 0
( P ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) ) `  (deg `  F ) ) )
781, 77sylan2 474 . 2  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K ) ) ) `
 R )  =  (  seq 0 ( P ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) ) `  (deg `  F ) ) )
79 0zd 10888 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
804adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  NN  /\  j  e.  NN ) )  -> 
( i  x.  j
)  e.  NN )
8119, 79, 13, 80seqf 12108 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq 0 (  x.  ,  N ) : NN0 --> NN )
8281, 18ffvelrnd 6033 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq 0 (  x.  ,  N ) `
 (deg `  F
) )  e.  NN )
832, 82syl5eqel 2559 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  NN )
8483adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  R  e.  NN )
85 oveq1 6302 . . . . 5  |-  ( k  =  R  ->  (
k  mod  ( N `  K ) )  =  ( R  mod  ( N `  K )
) )
86 ovex 6320 . . . . 5  |-  ( R  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
8785, 44, 86fvmpt 5957 . . . 4  |-  ( R  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K )
) ) `  R
)  =  ( R  mod  ( N `  K ) ) )
8884, 87syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( (
k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `
 K ) ) ) `  R )  =  ( R  mod  ( N `  K ) ) )
891, 88sylan2 474 . 2  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( k  mod  ( N `  K ) ) ) `
 R )  =  ( R  mod  ( N `  K )
) )
90 vex 3121 . . . . 5  |-  i  e. 
_V
91 vex 3121 . . . . 5  |-  j  e. 
_V
92 oveq12 6304 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( x  x.  y
)  =  ( i  x.  j ) )
9392oveq1d 6310 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  j )  ->  ( ( x  x.  y )  mod  ( N `  K )
)  =  ( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K ) ) )
9493, 55, 61ovmpt2a 6428 . . . . 5  |-  ( ( i  e.  _V  /\  j  e.  _V )  ->  ( i P j )  =  ( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K ) ) )
9590, 91, 94mp2an 672 . . . 4  |-  ( i P j )  =  ( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K )
)
96 nn0mulcl 10844 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( i  x.  j
)  e.  NN0 )
9796nn0zd 10976 . . . . 5  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( i  x.  j
)  e.  ZZ )
981, 25sylan2 474 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( N `  K )  e.  NN )
99 zmodcl 11995 . . . . 5  |-  ( ( ( i  x.  j
)  e.  ZZ  /\  ( N `  K )  e.  NN )  -> 
( ( i  x.  j )  mod  ( N `  K )
)  e.  NN0 )
10097, 98, 99syl2anr 478 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  /\  ( i  e. 
NN0  /\  j  e.  NN0 ) )  ->  (
( i  x.  j
)  mod  ( N `  K ) )  e. 
NN0 )
10195, 100syl5eqel 2559 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  /\  ( i  e. 
NN0  /\  j  e.  NN0 ) )  ->  (
i P j )  e.  NN0 )
102 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  m  ->  ( B `  k )  =  ( B `  m ) )
103102oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  m  ->  (
( B `  k
)  x.  n )  =  ( ( B `
 m )  x.  n ) )
104103eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( B `  k )  x.  n
)  e.  ZZ  <->  ( ( B `  m )  x.  n )  e.  ZZ ) )
105104rabbidv 3110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  { n  e.  NN  |  ( ( B `  k )  x.  n )  e.  ZZ }  =  {
n  e.  NN  | 
( ( B `  m )  x.  n
)  e.  ZZ }
)
106105supeq1d 7918 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `
 k )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  )  =  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `
 m )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )
107106cbvmptv 4544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  |->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `
 k )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )  =  ( m  e.  NN0  |->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `  m )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )
10811, 107eqtri 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  N  =  ( m  e.  NN0  |->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `  m )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )
1097, 8, 9, 10, 108, 2elqaalem1 22582 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( N `  k )  e.  NN  /\  ( ( B `  k )  x.  ( N `  k ) )  e.  ZZ ) )
110109simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( N `  k )  e.  NN )
111110adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( N `  k )  e.  NN )
112111nnzd 10977 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( N `  k )  e.  ZZ )
11325adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( N `  K )  e.  NN )
114112, 113zmodcld 11996 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( N `  k
)  mod  ( N `  K ) )  e. 
NN0 )
115114, 71fmptd 6056 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `
 k )  mod  ( N `  K
) ) ) : NN0 --> NN0 )
1161, 115sylan2 474 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( k  e. 
NN0  |->  ( ( N `
 k )  mod  ( N `  K
) ) ) : NN0 --> NN0 )
117 ffvelrn 6030 . . . 4  |-  ( ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K )
) ) : NN0 --> NN0 
/\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) `
 i )  e. 
NN0 )
118116, 6, 117syl2an 477 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  /\  i  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) `
 i )  e. 
NN0 )
119 c0ex 9602 . . . . 5  |-  0  e.  _V
120 oveq12 6304 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  i )  ->  ( x  x.  y )  =  ( 0  x.  i ) )
121120oveq1d 6310 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  i )  ->  ( ( x  x.  y )  mod  ( N `  K
) )  =  ( ( 0  x.  i
)  mod  ( N `  K ) ) )
122 ovex 6320 . . . . . 6  |-  ( ( 0  x.  i )  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
123121, 55, 122ovmpt2a 6428 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  i  e.  _V )  ->  ( 0 P i )  =  ( ( 0  x.  i )  mod  ( N `  K ) ) )
124119, 90, 123mp2an 672 . . . 4  |-  ( 0 P i )  =  ( ( 0  x.  i )  mod  ( N `  K )
)
125 nn0cn 10817 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  NN0  ->  i  e.  CC )
126125mul02d 9789 . . . . . 6  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( 0  x.  i )  =  0 )
127126oveq1d 6310 . . . . 5  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( 0  x.  i )  mod  ( N `  K ) )  =  ( 0  mod  ( N `  K )
) )
12898nnrpd 11267 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( N `  K )  e.  RR+ )
129 0mod 12007 . . . . . 6  |-  ( ( N `  K )  e.  RR+  ->  ( 0  mod  ( N `  K ) )  =  0 )
130128, 129syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( 0  mod  ( N `  K
) )  =  0 )
131127, 130sylan9eqr 2530 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( 0  x.  i )  mod  ( N `  K
) )  =  0 )
132124, 131syl5eq 2520 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( 0 P i )  =  0 )
133 oveq12 6304 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  0 )  ->  ( x  x.  y )  =  ( i  x.  0 ) )
134133oveq1d 6310 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  0 )  ->  ( ( x  x.  y )  mod  ( N `  K
) )  =  ( ( i  x.  0 )  mod  ( N `
 K ) ) )
135 ovex 6320 . . . . . 6  |-  ( ( i  x.  0 )  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
136134, 55, 135ovmpt2a 6428 . . . . 5  |-  ( ( i  e.  _V  /\  0  e.  _V )  ->  ( i P 0 )  =  ( ( i  x.  0 )  mod  ( N `  K ) ) )
13790, 119, 136mp2an 672 . . . 4  |-  ( i P 0 )  =  ( ( i  x.  0 )  mod  ( N `  K )
)
138125mul01d 9790 . . . . . 6  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( i  x.  0 )  =  0 )
139138oveq1d 6310 . . . . 5  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( i  x.  0 )  mod  ( N `  K ) )  =  ( 0  mod  ( N `  K )
) )
140139, 130sylan9eqr 2530 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( i  x.  0 )  mod  ( N `  K
) )  =  0 )
141137, 140syl5eq 2520 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( i P 0 )  =  0 )
142 simpr 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )
14318adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  (deg `  F
)  e.  NN0 )
1441adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  K  e.  NN0 )
145 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( N `  k )  =  ( N `  K ) )
146145oveq1d 6310 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (
( N `  k
)  mod  ( N `  K ) )  =  ( ( N `  K )  mod  ( N `  K )
) )
147 ovex 6320 . . . . . 6  |-  ( ( N `  K )  mod  ( N `  K ) )  e. 
_V
148146, 71, 147fvmpt 5957 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) `
 K )  =  ( ( N `  K )  mod  ( N `  K )
) )
149144, 148syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) `
 K )  =  ( ( N `  K )  mod  ( N `  K )
) )
15098nncnd 10564 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( N `  K )  e.  CC )
15198nnne0d 10592 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( N `  K )  =/=  0
)
152150, 151dividd 10330 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( N `
 K )  / 
( N `  K
) )  =  1 )
153 1z 10906 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
154152, 153syl6eqel 2563 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( N `
 K )  / 
( N `  K
) )  e.  ZZ )
15598nnred 10563 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( N `  K )  e.  RR )
156 mod0 11983 . . . . . 6  |-  ( ( ( N `  K
)  e.  RR  /\  ( N `  K )  e.  RR+ )  ->  (
( ( N `  K )  mod  ( N `  K )
)  =  0  <->  (
( N `  K
)  /  ( N `
 K ) )  e.  ZZ ) )
157155, 128, 156syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( ( N `  K )  mod  ( N `  K ) )  =  0  <->  ( ( N `
 K )  / 
( N `  K
) )  e.  ZZ ) )
158154, 157mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( N `
 K )  mod  ( N `  K
) )  =  0 )
159149, 158eqtrd 2508 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) `
 K )  =  0 )
160101, 118, 132, 141, 142, 143, 159seqz 12135 . 2  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  (  seq 0
( P ,  ( k  e.  NN0  |->  ( ( N `  k )  mod  ( N `  K ) ) ) ) `  (deg `  F ) )  =  0 )
16178, 89, 1603eqtr3d 2516 1  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... (deg `  F ) ) )  ->  ( R  mod  ( N `  K ) )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2821   _Vcvv 3118    \ cdif 3478   {csn 4033    |-> cmpt 4511   `'ccnv 5004   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   supcsup 7912   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    x. cmul 9509    < clt 9640    / cdiv 10218   NNcn 10548   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094   QQcq 11194   RR+crp 11232   ...cfz 11684    mod cmo 11976    seqcseq 12087   0pc0p 21944  Polycply 22449  coeffccoe 22451  degcdgr 22452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-0p 21945  df-ply 22453  df-coe 22455  df-dgr 22456
This theorem is referenced by:  elqaalem3  22584
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