MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elqaalem1 Structured version   Unicode version

Theorem elqaalem1 23007
Description: Lemma for elqaa 23010. The function  N represents the denominators of the rational coefficients 
B. By multiplying them all together to make  R, we get a number big enough to clear all the denominators and make  R  x.  F an integer polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
elqaa.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
elqaa.2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( (Poly `  QQ )  \  {
0p } ) )
elqaa.3  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  0 )
elqaa.4  |-  B  =  (coeff `  F )
elqaa.5  |-  N  =  ( k  e.  NN0  |->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `  k )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )
elqaa.6  |-  R  =  (  seq 0 (  x.  ,  N ) `
 (deg `  F
) )
Assertion
Ref Expression
elqaalem1  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( N `  K )  e.  NN  /\  ( ( B `  K )  x.  ( N `  K ) )  e.  ZZ ) )
Distinct variable groups:    k, n, A    B, k, n    ph, k    k, K, n    k, N, n    R, k
Allowed substitution hints:    ph( n)    R( n)    F( k, n)

Proof of Theorem elqaalem1
StepHypRef Expression
1 fveq2 5849 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  ( B `  k )  =  ( B `  K ) )
21oveq1d 6293 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (
( B `  k
)  x.  n )  =  ( ( B `
 K )  x.  n ) )
32eleq1d 2471 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( B `  k )  x.  n
)  e.  ZZ  <->  ( ( B `  K )  x.  n )  e.  ZZ ) )
43rabbidv 3051 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  { n  e.  NN  |  ( ( B `  k )  x.  n )  e.  ZZ }  =  {
n  e.  NN  | 
( ( B `  K )  x.  n
)  e.  ZZ }
)
54supeq1d 7939 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `
 k )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  )  =  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `
 K )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )
6 elqaa.5 . . . . 5  |-  N  =  ( k  e.  NN0  |->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `  k )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )
7 gtso 9697 . . . . . 6  |-  `'  <  Or  RR
87supex 7956 . . . . 5  |-  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `
 K )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  )  e.  _V
95, 6, 8fvmpt 5932 . . . 4  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( N `
 K )  =  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `  K )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )
109adantl 464 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( N `  K )  =  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `
 K )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  ) )
11 ssrab2 3524 . . . . 5  |-  { n  e.  NN  |  ( ( B `  K )  x.  n )  e.  ZZ }  C_  NN
12 nnuz 11162 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1311, 12sseqtri 3474 . . . 4  |-  { n  e.  NN  |  ( ( B `  K )  x.  n )  e.  ZZ }  C_  ( ZZ>=
`  1 )
14 elqaa.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( (Poly `  QQ )  \  {
0p } ) )
1514eldifad 3426 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  QQ ) )
16 0z 10916 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
17 zq 11233 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  0  e.  QQ )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  0  e.  QQ
19 elqaa.4 . . . . . . . . 9  |-  B  =  (coeff `  F )
2019coef2 22920 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  (Poly `  QQ )  /\  0  e.  QQ )  ->  B : NN0 --> QQ )
2115, 18, 20sylancl 660 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B : NN0 --> QQ )
2221ffvelrnda 6009 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( B `  K )  e.  QQ )
23 qmulz 11230 . . . . . 6  |-  ( ( B `  K )  e.  QQ  ->  E. n  e.  NN  ( ( B `
 K )  x.  n )  e.  ZZ )
2422, 23syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  E. n  e.  NN  ( ( B `
 K )  x.  n )  e.  ZZ )
25 rabn0 3759 . . . . 5  |-  ( { n  e.  NN  | 
( ( B `  K )  x.  n
)  e.  ZZ }  =/=  (/)  <->  E. n  e.  NN  ( ( B `  K )  x.  n
)  e.  ZZ )
2624, 25sylibr 212 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  { n  e.  NN  |  ( ( B `  K )  x.  n )  e.  ZZ }  =/=  (/) )
27 infmssuzcl 11210 . . . 4  |-  ( ( { n  e.  NN  |  ( ( B `
 K )  x.  n )  e.  ZZ }  C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  { n  e.  NN  |  ( ( B `  K )  x.  n )  e.  ZZ }  =/=  (/) )  ->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `  K )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ n  e.  NN  |  ( ( B `
 K )  x.  n )  e.  ZZ } )
2813, 26, 27sylancr 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  sup ( { n  e.  NN  |  ( ( B `
 K )  x.  n )  e.  ZZ } ,  RR ,  `'  <  )  e.  {
n  e.  NN  | 
( ( B `  K )  x.  n
)  e.  ZZ }
)
2910, 28eqeltrd 2490 . 2  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( N `  K )  e.  {
n  e.  NN  | 
( ( B `  K )  x.  n
)  e.  ZZ }
)
30 oveq2 6286 . . . 4  |-  ( n  =  ( N `  K )  ->  (
( B `  K
)  x.  n )  =  ( ( B `
 K )  x.  ( N `  K
) ) )
3130eleq1d 2471 . . 3  |-  ( n  =  ( N `  K )  ->  (
( ( B `  K )  x.  n
)  e.  ZZ  <->  ( ( B `  K )  x.  ( N `  K
) )  e.  ZZ ) )
3231elrab 3207 . 2  |-  ( ( N `  K )  e.  { n  e.  NN  |  ( ( B `  K )  x.  n )  e.  ZZ }  <->  ( ( N `  K )  e.  NN  /\  ( ( B `  K )  x.  ( N `  K ) )  e.  ZZ ) )
3329, 32sylib 196 1  |-  ( (
ph  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( ( N `  K )  e.  NN  /\  ( ( B `  K )  x.  ( N `  K ) )  e.  ZZ ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   E.wrex 2755   {crab 2758    \ cdif 3411    C_ wss 3414   (/)c0 3738   {csn 3972    |-> cmpt 4453   `'ccnv 4822   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   supcsup 7934   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523    x. cmul 9527    < clt 9658   NNcn 10576   NN0cn0 10836   ZZcz 10905   ZZ>=cuz 11127   QQcq 11227    seqcseq 12151   0pc0p 22368  Polycply 22873  coeffccoe 22875  degcdgr 22876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-0p 22369  df-ply 22877  df-coe 22879
This theorem is referenced by:  elqaalem2  23008
  Copyright terms: Public domain W3C validator