MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elq Structured version   Unicode version

Theorem elq 11183
Description: Membership in the set of rationals. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
elq  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem elq
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-q 11182 . . 3  |-  QQ  =  (  /  " ( ZZ 
X.  NN ) )
21eleq2i 2545 . 2  |-  ( A  e.  QQ  <->  A  e.  (  /  " ( ZZ 
X.  NN ) ) )
3 df-div 10206 . . . 4  |-  /  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( iota_ z  e.  CC  ( y  x.  z )  =  x ) )
4 riotaex 6248 . . . 4  |-  ( iota_ z  e.  CC  ( y  x.  z )  =  x )  e.  _V
53, 4fnmpt2i 6853 . . 3  |-  /  Fn  ( CC  X.  ( CC  \  { 0 } ) )
6 zsscn 10871 . . . 4  |-  ZZ  C_  CC
7 nncn 10543 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  CC )
8 nnne0 10567 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN  ->  x  =/=  0 )
9 eldifsn 4152 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
107, 8, 9sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
1110ssriv 3508 . . . 4  |-  NN  C_  ( CC  \  { 0 } )
12 xpss12 5107 . . . 4  |-  ( ( ZZ  C_  CC  /\  NN  C_  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( ZZ  X.  NN )  C_  ( CC 
X.  ( CC  \  { 0 } ) ) )
136, 11, 12mp2an 672 . . 3  |-  ( ZZ 
X.  NN )  C_  ( CC  X.  ( CC  \  { 0 } ) )
14 ovelimab 6436 . . 3  |-  ( (  /  Fn  ( CC 
X.  ( CC  \  { 0 } ) )  /\  ( ZZ 
X.  NN )  C_  ( CC  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) )  -> 
( A  e.  (  /  " ( ZZ 
X.  NN ) )  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y ) ) )
155, 13, 14mp2an 672 . 2  |-  ( A  e.  (  /  " ( ZZ  X.  NN ) )  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y ) )
162, 15bitri 249 1  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2815    \ cdif 3473    C_ wss 3476   {csn 4027    X. cxp 4997   "cima 5002    Fn wfn 5582   iota_crio 6243  (class class class)co 6283   CCcc 9489   0cc0 9491    x. cmul 9496    / cdiv 10205   NNcn 10535   ZZcz 10863   QQcq 11181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-z 10864  df-q 11182
This theorem is referenced by:  qmulz  11184  znq  11185  qre  11186  zq  11187  qexALT  11196  qaddcl  11197  qnegcl  11198  qmulcl  11199  qreccl  11201  eirr  13798  qnnen  13807  sqrt2irr  13842  qredeu  14106  pceu  14228  pcqmul  14235  pcqcl  14238  pcneg  14255  pcz  14262  pcadd  14266  qsssubdrg  18261  ostthlem1  23556  ipasslem5  25442
  Copyright terms: Public domain W3C validator