MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elq Structured version   Unicode version

Theorem elq 10967
Description: Membership in the set of rationals. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
elq  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem elq
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-q 10966 . . 3  |-  QQ  =  (  /  " ( ZZ 
X.  NN ) )
21eleq2i 2507 . 2  |-  ( A  e.  QQ  <->  A  e.  (  /  " ( ZZ 
X.  NN ) ) )
3 df-div 10006 . . . 4  |-  /  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( iota_ z  e.  CC  ( y  x.  z )  =  x ) )
4 riotaex 6068 . . . 4  |-  ( iota_ z  e.  CC  ( y  x.  z )  =  x )  e.  _V
53, 4fnmpt2i 6655 . . 3  |-  /  Fn  ( CC  X.  ( CC  \  { 0 } ) )
6 zsscn 10666 . . . 4  |-  ZZ  C_  CC
7 nncn 10342 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  CC )
8 nnne0 10366 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN  ->  x  =/=  0 )
9 eldifsn 4012 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
107, 8, 9sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
1110ssriv 3372 . . . 4  |-  NN  C_  ( CC  \  { 0 } )
12 xpss12 4957 . . . 4  |-  ( ( ZZ  C_  CC  /\  NN  C_  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( ZZ  X.  NN )  C_  ( CC 
X.  ( CC  \  { 0 } ) ) )
136, 11, 12mp2an 672 . . 3  |-  ( ZZ 
X.  NN )  C_  ( CC  X.  ( CC  \  { 0 } ) )
14 ovelimab 6253 . . 3  |-  ( (  /  Fn  ( CC 
X.  ( CC  \  { 0 } ) )  /\  ( ZZ 
X.  NN )  C_  ( CC  X.  ( CC  \  { 0 } ) ) )  -> 
( A  e.  (  /  " ( ZZ 
X.  NN ) )  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y ) ) )
155, 13, 14mp2an 672 . 2  |-  ( A  e.  (  /  " ( ZZ  X.  NN ) )  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y ) )
162, 15bitri 249 1  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618   E.wrex 2728    \ cdif 3337    C_ wss 3340   {csn 3889    X. cxp 4850   "cima 4855    Fn wfn 5425   iota_crio 6063  (class class class)co 6103   CCcc 9292   0cc0 9294    x. cmul 9299    / cdiv 10005   NNcn 10334   ZZcz 10658   QQcq 10965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-z 10659  df-q 10966
This theorem is referenced by:  qmulz  10968  znq  10969  qre  10970  zq  10971  qexALT  10980  qaddcl  10981  qnegcl  10982  qmulcl  10983  qreccl  10985  eirr  13499  qnnen  13508  sqr2irr  13543  qredeu  13805  pceu  13925  pcqmul  13932  pcqcl  13935  pcneg  13952  pcz  13959  pcadd  13963  qsssubdrg  17884  ostthlem1  22888  ipasslem5  24247
  Copyright terms: Public domain W3C validator