Theorem elq 7232

Description: Membership in the set of rationals.

Assertion

Ref	Expression
elq	|- (A e. QQ <-> E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y))

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem elq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-q 7231	. . 3 |- QQ = {z | E.x e. ZZ E.y e. NN z = (x / y)}
2	1	eleq2i 1798	. 2 |- (A e. QQ <-> A e. {z | E.x e. ZZ E.y e. NN z = (x / y)})
3		oprex 4718	. . . . . . . 8 |- (x / y) e. _V
4		eleq1 1794	. . . . . . . 8 |- (A = (x / y) -> (A e. _V <-> (x / y) e. _V))
5	3, 4	mpbiri 210	. . . . . . 7 |- (A = (x / y) -> A e. _V)
6	5	a1i 8	. . . . . 6 |- (y e. NN -> (A = (x / y) -> A e. _V))
7	6	r19.23aiv 2045	. . . . 5 |- (E.y e. NN A = (x / y) -> A e. _V)
8	7	a1i 8	. . . 4 |- (x e. ZZ -> (E.y e. NN A = (x / y) -> A e. _V))
9	8	r19.23aiv 2045	. . 3 |- (E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y) -> A e. _V)
10		eqeq1 1727	. . . 4 |- (z = A -> (z = (x / y) <-> A = (x / y)))
11	10	2rexbidv 1975	. . 3 |- (z = A -> (E.x e. ZZ E.y e. NN z = (x / y) <-> E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y)))
12	9, 11	elab3 2245	. 2 |- (A e. {z | E.x e. ZZ E.y e. NN z = (x / y)} <-> E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y))
13	2, 12	bitri 189	1 |- (A e. QQ <-> E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 162   = wceq 1136   e. wcel 1138  {cab 1708  E.wrex 1940  _Vcvv 2125  (class class class)co 4695   / cdiv 6243  NNcn 6245  ZZcz 6247  QQcq 6248

This theorem is referenced by:  znq 7233  qre 7234  zq 7235  qaddcl 7244  qnegcl 7245  qmulcl 7246  qreccl 7248  sqr2irr 7774  eirr 8451  qnnen 8567  ipasslem5 9630

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1142  ax-gen 1143  ax-8 1144  ax-9 1145  ax-10 1146  ax-11 1147  ax-12 1148  ax-13 1149  ax-14 1150  ax-17 1155  ax-4 1157  ax-5o 1159  ax-6o 1162  ax-9o 1319  ax-10o 1338  ax-16 1418  ax-11o 1426  ax-ext 1702  ax-sep 3253  ax-nul 3260  ax-pow 3296  ax-un 3601

This theorem depends on definitions:  df-bi 163  df-or 240  df-an 241  df-ex 1165  df-sb 1374  df-eu 1613  df-mo 1614  df-clab 1709  df-cleq 1714  df-clel 1717  df-ne 1856  df-ral 1943  df-rex 1944  df-v 2127  df-dif 2430  df-un 2433  df-in 2436  df-ss 2438  df-nul 2702  df-pw 2859  df-sn 2873  df-pr 2874  df-uni 3000  df-fv 3825  df-opr 4697  df-q 7231

Copyright terms: Public domain