Theorem elq 6258

Description: Membership in the set of rationals.

Assertion

Ref	Expression
elq	|- (A e. QQ <-> E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y))

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem elq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-q 6257	. . 3 |- QQ = {z | E.x e. ZZ E.y e. NN z = (x / y)}
2	1	eleq2i 1541	. 2 |- (A e. QQ <-> A e. {z | E.x e. ZZ E.y e. NN z = (x / y)})
3		oprex 3989	. . . . . . . 8 |- (x / y) e. V
4		eleq1 1537	. . . . . . . 8 |- (A = (x / y) -> (A e. V <-> (x / y) e. V))
5	3, 4	mpbiri 194	. . . . . . 7 |- (A = (x / y) -> A e. V)
6	5	a1i 8	. . . . . 6 |- (y e. NN -> (A = (x / y) -> A e. V))
7	6	r19.23aiv 1746	. . . . 5 |- (E.y e. NN A = (x / y) -> A e. V)
8	7	a1i 8	. . . 4 |- (x e. ZZ -> (E.y e. NN A = (x / y) -> A e. V))
9	8	r19.23aiv 1746	. . 3 |- (E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y) -> A e. V)
10		eqeq1 1484	. . . 4 |- (z = A -> (z = (x / y) <-> A = (x / y)))
11	10	2rexbidv 1684	. . 3 |- (z = A -> (E.x e. ZZ E.y e. NN z = (x / y) <-> E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y)))
12	9, 11	elab3 1906	. 2 |- (A e. {z | E.x e. ZZ E.y e. NN z = (x / y)} <-> E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y))
13	2, 12	bitr 173	1 |- (A e. QQ <-> E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   = wceq 958   e. wcel 960  {cab 1466  E.wrex 1649  Vcvv 1814  (class class class)co 3969   / cdiv 5306  NNcn 5308  ZZcz 5310  QQcq 5311

This theorem is referenced by:  znq 6259  qret 6260  zqt 6261  qaddclt 6270  qnegclt 6271  qmulclt 6272  qrecclt 6274  sqr2irr 6730  eirr 7394  qnnen 7504  ipasslem5 8490

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-uni 2508  df-fv 3204  df-opr 3971  df-q 6257

Copyright terms: Public domain