Theorem elpwunsn 3856

Description: Membership in an extension of a power class.

Assertion

Ref	Expression
elpwunsn	|- (A e. (~P(B u. {C}) \ ~PB) -> C e. A)

Proof of Theorem elpwunsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 2609	. 2 |- (A e. (~P(B u. {C}) \ ~PB) <-> (A e. ~P(B u. {C}) /\ -. A e. ~PB))
2		elpwg 3038	. . . . . . 7 |- (A e. ~P(B u. {C}) -> (A e. ~PB <-> A C_ B))
3		dfss3 2611	. . . . . . 7 |- (A C_ B <-> A.x e. A x e. B)
4	2, 3	syl6bb 595	. . . . . 6 |- (A e. ~P(B u. {C}) -> (A e. ~PB <-> A.x e. A x e. B))
5	4	notbid 673	. . . . 5 |- (A e. ~P(B u. {C}) -> (-. A e. ~PB <-> -. A.x e. A x e. B))
6	5	biimpa 460	. . . 4 |- ((A e. ~P(B u. {C}) /\ -. A e. ~PB) -> -. A.x e. A x e. B)
7		rexnal 2114	. . . 4 |- (E.x e. A -. x e. B <-> -. A.x e. A x e. B)
8	6, 7	sylibr 217	. . 3 |- ((A e. ~P(B u. {C}) /\ -. A e. ~PB) -> E.x e. A -. x e. B)
9		elpwi 3039	. . . . . . . . 9 |- (A e. ~P(B u. {C}) -> A C_ (B u. {C}))
10		ssel 2615	. . . . . . . . . 10 |- (A C_ (B u. {C}) -> (x e. A -> x e. (B u. {C})))
11		elun 2741	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. (B u. {C}) <-> (x e. B \/ x e. {C}))
12		elsni 3066	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. {C} -> x = C)
13	12	orim2i 365	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. B \/ x e. {C}) -> (x e. B \/ x = C))
14	13	ord 249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. B \/ x e. {C}) -> (-. x e. B -> x = C))
15	11, 14	sylbi 216	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. (B u. {C}) -> (-. x e. B -> x = C))
16	15	imim2i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. A -> x e. (B u. {C})) -> (x e. A -> (-. x e. B -> x = C)))
17	16	imp3a 388	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. A -> x e. (B u. {C})) -> ((x e. A /\ -. x e. B) -> x = C))
18	10, 17	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (A C_ (B u. {C}) -> ((x e. A /\ -. x e. B) -> x = C))
19		eleq1 1957	. . . . . . . . . . 11 |- (x = C -> (x e. A <-> C e. A))
20	19	biimpd 170	. . . . . . . . . 10 |- (x = C -> (x e. A -> C e. A))
21	20	imim2i 11	. . . . . . . . 9 |- (((x e. A /\ -. x e. B) -> x = C) -> ((x e. A /\ -. x e. B) -> (x e. A -> C e. A)))
22	9, 18, 21	3syl 24	. . . . . . . 8 |- (A e. ~P(B u. {C}) -> ((x e. A /\ -. x e. B) -> (x e. A -> C e. A)))
23	22	exp3a 405	. . . . . . 7 |- (A e. ~P(B u. {C}) -> (x e. A -> (-. x e. B -> (x e. A -> C e. A))))
24	23	com4r 45	. . . . . 6 |- (x e. A -> (A e. ~P(B u. {C}) -> (x e. A -> (-. x e. B -> C e. A))))
25	24	pm2.43b 81	. . . . 5 |- (A e. ~P(B u. {C}) -> (x e. A -> (-. x e. B -> C e. A)))
26	25	r19.23adv 2215	. . . 4 |- (A e. ~P(B u. {C}) -> (E.x e. A -. x e. B -> C e. A))
27	26	imp 377	. . 3 |- ((A e. ~P(B u. {C}) /\ E.x e. A -. x e. B) -> C e. A)
28	8, 27	syldan 516	. 2 |- ((A e. ~P(B u. {C}) /\ -. A e. ~PB) -> C e. A)
29	1, 28	sylbi 216	1 |- (A e. (~P(B u. {C}) \ ~PB) -> C e. A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   \ cdif 2590   u. cun 2591   C_ wss 2593  ~Pcpw 3032  {csn 3044

This theorem is referenced by:  pwfilem 5660

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pw 3035  df-sn 3049

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