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Theorem elpwunsn 3922
Description: Membership in an extension of a power class. (Contributed by NM, 26-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
elpwunsn  |-  ( A  e.  ( ~P ( B  u.  { C } )  \  ~P B )  ->  C  e.  A )

Proof of Theorem elpwunsn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3343 . 2  |-  ( A  e.  ( ~P ( B  u.  { C } )  \  ~P B )  <->  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C } )  /\  -.  A  e.  ~P B ) )
2 elpwg 3873 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C }
)  ->  ( A  e.  ~P B  <->  A  C_  B
) )
3 dfss3 3351 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  B  <->  A. x  e.  A  x  e.  B )
42, 3syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C }
)  ->  ( A  e.  ~P B  <->  A. x  e.  A  x  e.  B ) )
54notbid 294 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C }
)  ->  ( -.  A  e.  ~P B  <->  -. 
A. x  e.  A  x  e.  B )
)
65biimpa 484 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~P ( B  u.  { C } )  /\  -.  A  e.  ~P B
)  ->  -.  A. x  e.  A  x  e.  B )
7 rexnal 2731 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  -.  x  e.  B  <->  -.  A. x  e.  A  x  e.  B )
86, 7sylibr 212 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~P ( B  u.  { C } )  /\  -.  A  e.  ~P B
)  ->  E. x  e.  A  -.  x  e.  B )
9 elpwi 3874 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C }
)  ->  A  C_  ( B  u.  { C } ) )
10 ssel 3355 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  ( B  u.  { C } )  -> 
( x  e.  A  ->  x  e.  ( B  u.  { C }
) ) )
11 elun 3502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( B  u.  { C } )  <->  ( x  e.  B  \/  x  e.  { C } ) )
12 elsni 3907 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  { C }  ->  x  =  C )
1312orim2i 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  B  \/  x  e.  { C } )  ->  (
x  e.  B  \/  x  =  C )
)
1413ord 377 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  B  \/  x  e.  { C } )  ->  ( -.  x  e.  B  ->  x  =  C ) )
1511, 14sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( B  u.  { C } )  -> 
( -.  x  e.  B  ->  x  =  C ) )
1615imim2i 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  ->  x  e.  ( B  u.  { C } ) )  ->  ( x  e.  A  ->  ( -.  x  e.  B  ->  x  =  C )
) )
1716impd 431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  ->  x  e.  ( B  u.  { C } ) )  ->  ( (
x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  ->  x  =  C ) )
189, 10, 173syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C }
)  ->  ( (
x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  ->  x  =  C ) )
19 eleq1 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  C  ->  (
x  e.  A  <->  C  e.  A ) )
2019biimpd 207 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  C  ->  (
x  e.  A  ->  C  e.  A )
)
2118, 20syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C }
)  ->  ( (
x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
)  ->  ( x  e.  A  ->  C  e.  A ) ) )
2221expd 436 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C }
)  ->  ( x  e.  A  ->  ( -.  x  e.  B  -> 
( x  e.  A  ->  C  e.  A ) ) ) )
2322com4r 86 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C } )  ->  (
x  e.  A  -> 
( -.  x  e.  B  ->  C  e.  A ) ) ) )
2423pm2.43b 50 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C }
)  ->  ( x  e.  A  ->  ( -.  x  e.  B  ->  C  e.  A )
) )
2524rexlimdv 2845 . . . 4  |-  ( A  e.  ~P ( B  u.  { C }
)  ->  ( E. x  e.  A  -.  x  e.  B  ->  C  e.  A ) )
2625imp 429 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~P ( B  u.  { C } )  /\  E. x  e.  A  -.  x  e.  B )  ->  C  e.  A )
278, 26syldan 470 . 2  |-  ( ( A  e.  ~P ( B  u.  { C } )  /\  -.  A  e.  ~P B
)  ->  C  e.  A )
281, 27sylbi 195 1  |-  ( A  e.  ( ~P ( B  u.  { C } )  \  ~P B )  ->  C  e.  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   E.wrex 2721    \ cdif 3330    u. cun 3331    C_ wss 3333   ~Pcpw 3865   {csn 3882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ral 2725  df-rex 2726  df-v 2979  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pw 3867  df-sn 3883
This theorem is referenced by:  pwfilem  7610  incexclem  13304  ramub1lem1  14092  ptcmplem5  19633  onsucsuccmpi  28294
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