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Theorem elptr2 20241
Description: A basic open set in the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptbas.1  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
elptr2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
elptr2.2  |-  ( ph  ->  W  e.  Fin )
elptr2.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  S  e.  ( F `  k
) )
elptr2.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  W ) )  ->  S  =  U. ( F `  k
) )
Assertion
Ref Expression
elptr2  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  S  e.  B )
Distinct variable groups:    B, k    x, g, y    ph, k    g, k, z, A, x, y    g, F, k, x, y, z    S, g, x    g, V, k, x, y, z    k, W, y    y, S
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, g)    B( x, y, z, g)    S( z, k)    W( x, z, g)

Proof of Theorem elptr2
StepHypRef Expression
1 nffvmpt1 5856 . . . 4  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )
2 nfcv 2616 . . . 4  |-  F/_ y
( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )
3 fveq2 5848 . . . 4  |-  ( y  =  k  ->  (
( k  e.  A  |->  S ) `  y
)  =  ( ( k  e.  A  |->  S ) `  k ) )
41, 2, 3cbvixp 7479 . . 3  |-  X_ y  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  S ) `  y )  =  X_ k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )
5 simpr 459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  A )
6 elptr2.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  S  e.  ( F `  k
) )
7 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( k  e.  A  |->  S )  =  ( k  e.  A  |->  S )
87fvmpt2 5939 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  A  /\  S  e.  ( F `  k ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  =  S )
95, 6, 8syl2anc 659 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  S ) `  k
)  =  S )
109ixpeq2dva 7477 . . 3  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  =  X_ k  e.  A  S
)
114, 10syl5eq 2507 . 2  |-  ( ph  -> 
X_ y  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  =  X_ k  e.  A  S
)
12 elptr2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
136ralrimiva 2868 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  S  e.  ( F `  k ) )
147fnmpt 5689 . . . 4  |-  ( A. k  e.  A  S  e.  ( F `  k
)  ->  ( k  e.  A  |->  S )  Fn  A )
1513, 14syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  S )  Fn  A
)
169, 6eqeltrd 2542 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  S ) `  k
)  e.  ( F `
 k ) )
1716ralrimiva 2868 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  e.  ( F `  k ) )
181nfel1 2632 . . . . 5  |-  F/ k ( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  e.  ( F `  y )
19 nfv 1712 . . . . 5  |-  F/ y ( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  e.  ( F `  k )
20 fveq2 5848 . . . . . 6  |-  ( y  =  k  ->  ( F `  y )  =  ( F `  k ) )
213, 20eleq12d 2536 . . . . 5  |-  ( y  =  k  ->  (
( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  e.  ( F `  y )  <-> 
( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  e.  ( F `  k ) ) )
2218, 19, 21cbvral 3077 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  (
( k  e.  A  |->  S ) `  y
)  e.  ( F `
 y )  <->  A. k  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  S ) `  k )  e.  ( F `  k ) )
2317, 22sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  e.  ( F `  y ) )
24 elptr2.2 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  Fin )
25 eldifi 3612 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( A  \  W )  ->  k  e.  A )
2625, 9sylan2 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  W ) )  ->  ( (
k  e.  A  |->  S ) `  k )  =  S )
27 elptr2.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  W ) )  ->  S  =  U. ( F `  k
) )
2826, 27eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  W ) )  ->  ( (
k  e.  A  |->  S ) `  k )  =  U. ( F `
 k ) )
2928ralrimiva 2868 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( A  \  W ) ( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  =  U. ( F `  k ) )
301nfeq1 2631 . . . . 5  |-  F/ k ( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  =  U. ( F `  y )
31 nfv 1712 . . . . 5  |-  F/ y ( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  =  U. ( F `  k )
3220unieqd 4245 . . . . . 6  |-  ( y  =  k  ->  U. ( F `  y )  =  U. ( F `  k ) )
333, 32eqeq12d 2476 . . . . 5  |-  ( y  =  k  ->  (
( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  =  U. ( F `  y )  <-> 
( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  =  U. ( F `  k ) ) )
3430, 31, 33cbvral 3077 . . . 4  |-  ( A. y  e.  ( A  \  W ) ( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  =  U. ( F `
 y )  <->  A. k  e.  ( A  \  W
) ( ( k  e.  A  |->  S ) `
 k )  = 
U. ( F `  k ) )
3529, 34sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A  \  W ) ( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  =  U. ( F `  y ) )
36 ptbas.1 . . . 4  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
3736elptr 20240 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( ( k  e.  A  |->  S )  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  S ) `  y )  e.  ( F `  y ) )  /\  ( W  e.  Fin  /\ 
A. y  e.  ( A  \  W ) ( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  ->  X_ y  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  S ) `  y )  e.  B )
3812, 15, 23, 24, 35, 37syl122anc 1235 . 2  |-  ( ph  -> 
X_ y  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  e.  B
)
3911, 38eqeltrrd 2543 1  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  S  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823   {cab 2439   A.wral 2804   E.wrex 2805    \ cdif 3458   U.cuni 4235    |-> cmpt 4497    Fn wfn 5565   ` cfv 5570   X_cixp 7462   Fincfn 7509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ixp 7463
This theorem is referenced by:  ptbasid  20242  ptbasin  20244  ptpjpre2  20247  ptopn  20250
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