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Theorem elptr2 19260
Description: A basic open set in the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptbas.1  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
elptr2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
elptr2.2  |-  ( ph  ->  W  e.  Fin )
elptr2.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  S  e.  ( F `  k
) )
elptr2.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  W ) )  ->  S  =  U. ( F `  k
) )
Assertion
Ref Expression
elptr2  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  S  e.  B )
Distinct variable groups:    B, k    x, g, y    ph, k    g, k, z, A, x, y    g, F, k, x, y, z    S, g, x    g, V, k, x, y, z    k, W, y    y, S
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, g)    B( x, y, z, g)    S( z, k)    W( x, z, g)

Proof of Theorem elptr2
StepHypRef Expression
1 nffvmpt1 5794 . . . 4  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )
2 nfcv 2611 . . . 4  |-  F/_ y
( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )
3 fveq2 5786 . . . 4  |-  ( y  =  k  ->  (
( k  e.  A  |->  S ) `  y
)  =  ( ( k  e.  A  |->  S ) `  k ) )
41, 2, 3cbvixp 7377 . . 3  |-  X_ y  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  S ) `  y )  =  X_ k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )
5 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  A )
6 elptr2.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  S  e.  ( F `  k
) )
7 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( k  e.  A  |->  S )  =  ( k  e.  A  |->  S )
87fvmpt2 5877 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  A  /\  S  e.  ( F `  k ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  =  S )
95, 6, 8syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  S ) `  k
)  =  S )
109ixpeq2dva 7375 . . 3  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  =  X_ k  e.  A  S
)
114, 10syl5eq 2503 . 2  |-  ( ph  -> 
X_ y  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  =  X_ k  e.  A  S
)
12 elptr2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
136ralrimiva 2820 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  S  e.  ( F `  k ) )
147fnmpt 5632 . . . 4  |-  ( A. k  e.  A  S  e.  ( F `  k
)  ->  ( k  e.  A  |->  S )  Fn  A )
1513, 14syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  S )  Fn  A
)
169, 6eqeltrd 2537 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  S ) `  k
)  e.  ( F `
 k ) )
1716ralrimiva 2820 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  e.  ( F `  k ) )
181nfel1 2626 . . . . 5  |-  F/ k ( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  e.  ( F `  y )
19 nfv 1674 . . . . 5  |-  F/ y ( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  e.  ( F `  k )
20 fveq2 5786 . . . . . 6  |-  ( y  =  k  ->  ( F `  y )  =  ( F `  k ) )
213, 20eleq12d 2531 . . . . 5  |-  ( y  =  k  ->  (
( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  e.  ( F `  y )  <-> 
( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  e.  ( F `  k ) ) )
2218, 19, 21cbvral 3036 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  (
( k  e.  A  |->  S ) `  y
)  e.  ( F `
 y )  <->  A. k  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  S ) `  k )  e.  ( F `  k ) )
2317, 22sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  e.  ( F `  y ) )
24 elptr2.2 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  Fin )
25 eldifi 3573 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( A  \  W )  ->  k  e.  A )
2625, 9sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  W ) )  ->  ( (
k  e.  A  |->  S ) `  k )  =  S )
27 elptr2.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  W ) )  ->  S  =  U. ( F `  k
) )
2826, 27eqtrd 2491 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  W ) )  ->  ( (
k  e.  A  |->  S ) `  k )  =  U. ( F `
 k ) )
2928ralrimiva 2820 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( A  \  W ) ( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  =  U. ( F `  k ) )
301nfeq1 2625 . . . . 5  |-  F/ k ( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  =  U. ( F `  y )
31 nfv 1674 . . . . 5  |-  F/ y ( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  =  U. ( F `  k )
3220unieqd 4196 . . . . . 6  |-  ( y  =  k  ->  U. ( F `  y )  =  U. ( F `  k ) )
333, 32eqeq12d 2472 . . . . 5  |-  ( y  =  k  ->  (
( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  =  U. ( F `  y )  <-> 
( ( k  e.  A  |->  S ) `  k )  =  U. ( F `  k ) ) )
3430, 31, 33cbvral 3036 . . . 4  |-  ( A. y  e.  ( A  \  W ) ( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  =  U. ( F `
 y )  <->  A. k  e.  ( A  \  W
) ( ( k  e.  A  |->  S ) `
 k )  = 
U. ( F `  k ) )
3529, 34sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A  \  W ) ( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  =  U. ( F `  y ) )
36 ptbas.1 . . . 4  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
3736elptr 19259 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( ( k  e.  A  |->  S )  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  S ) `  y )  e.  ( F `  y ) )  /\  ( W  e.  Fin  /\ 
A. y  e.  ( A  \  W ) ( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )  ->  X_ y  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  S ) `  y )  e.  B )
3812, 15, 23, 24, 35, 37syl122anc 1228 . 2  |-  ( ph  -> 
X_ y  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  S ) `  y )  e.  B
)
3911, 38eqeltrrd 2538 1  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  A  S  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   {cab 2436   A.wral 2793   E.wrex 2794    \ cdif 3420   U.cuni 4186    |-> cmpt 4445    Fn wfn 5508   ` cfv 5513   X_cixp 7360   Fincfn 7407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4187  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-id 4731  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-ixp 7361
This theorem is referenced by:  ptbasid  19261  ptbasin  19263  ptpjpre2  19266  ptopn  19269
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