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Theorem elptr 19146
Description: A basic open set in the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptbas.1  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
Assertion
Ref Expression
elptr  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y ) )  /\  ( W  e.  Fin  /\ 
A. y  e.  ( A  \  W ) ( G `  y
)  =  U. ( F `  y )
) )  ->  X_ y  e.  A  ( G `  y )  e.  B
)
Distinct variable groups:    x, g,
y, G    z, g, A, x, y    g, F, x, y, z    g, V, x, y, z    y, W
Allowed substitution hints:    B( x, y, z, g)    G( z)    W( x, z, g)

Proof of Theorem elptr
Dummy variables  h  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2l 1014 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y ) )  /\  ( W  e.  Fin  /\ 
A. y  e.  ( A  \  W ) ( G `  y
)  =  U. ( F `  y )
) )  ->  G  Fn  A )
2 simp1 988 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y ) )  /\  ( W  e.  Fin  /\ 
A. y  e.  ( A  \  W ) ( G `  y
)  =  U. ( F `  y )
) )  ->  A  e.  V )
3 fnex 5944 . . . 4  |-  ( ( G  Fn  A  /\  A  e.  V )  ->  G  e.  _V )
41, 2, 3syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y ) )  /\  ( W  e.  Fin  /\ 
A. y  e.  ( A  \  W ) ( G `  y
)  =  U. ( F `  y )
) )  ->  G  e.  _V )
5 simp2r 1015 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y ) )  /\  ( W  e.  Fin  /\ 
A. y  e.  ( A  \  W ) ( G `  y
)  =  U. ( F `  y )
) )  ->  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y ) )
6 difeq2 3468 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  ( A  \  w )  =  ( A  \  W
) )
76raleqdv 2923 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  ( A. y  e.  ( A  \  w ) ( G `  y )  =  U. ( F `
 y )  <->  A. y  e.  ( A  \  W
) ( G `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )
87rspcev 3073 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  Fin  /\  A. y  e.  ( A 
\  W ) ( G `  y )  =  U. ( F `
 y ) )  ->  E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  w ) ( G `  y )  =  U. ( F `
 y ) )
983ad2ant3 1011 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y ) )  /\  ( W  e.  Fin  /\ 
A. y  e.  ( A  \  W ) ( G `  y
)  =  U. ( F `  y )
) )  ->  E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  w
) ( G `  y )  =  U. ( F `  y ) )
101, 5, 93jca 1168 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y ) )  /\  ( W  e.  Fin  /\ 
A. y  e.  ( A  \  W ) ( G `  y
)  =  U. ( F `  y )
) )  ->  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  w
) ( G `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )
11 fveq1 5690 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  G  ->  (
h `  y )  =  ( G `  y ) )
1211eqcomd 2448 . . . . . . 7  |-  ( h  =  G  ->  ( G `  y )  =  ( h `  y ) )
1312ixpeq2dv 7279 . . . . . 6  |-  ( h  =  G  ->  X_ y  e.  A  ( G `  y )  =  X_ y  e.  A  (
h `  y )
)
1413biantrud 507 . . . . 5  |-  ( h  =  G  ->  (
( h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  w ) ( h `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  <->  ( (
h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  w
) ( h `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  X_ y  e.  A  ( G `  y )  =  X_ y  e.  A  (
h `  y )
) ) )
15 fneq1 5499 . . . . . 6  |-  ( h  =  G  ->  (
h  Fn  A  <->  G  Fn  A ) )
1611eleq1d 2509 . . . . . . 7  |-  ( h  =  G  ->  (
( h `  y
)  e.  ( F `
 y )  <->  ( G `  y )  e.  ( F `  y ) ) )
1716ralbidv 2735 . . . . . 6  |-  ( h  =  G  ->  ( A. y  e.  A  ( h `  y
)  e.  ( F `
 y )  <->  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y ) ) )
1811eqeq1d 2451 . . . . . . 7  |-  ( h  =  G  ->  (
( h `  y
)  =  U. ( F `  y )  <->  ( G `  y )  =  U. ( F `
 y ) ) )
1918rexralbidv 2759 . . . . . 6  |-  ( h  =  G  ->  ( E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  w ) ( h `  y )  =  U. ( F `
 y )  <->  E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  w
) ( G `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )
2015, 17, 193anbi123d 1289 . . . . 5  |-  ( h  =  G  ->  (
( h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  w ) ( h `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  <->  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  w ) ( G `  y
)  =  U. ( F `  y )
) ) )
2114, 20bitr3d 255 . . . 4  |-  ( h  =  G  ->  (
( ( h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  w ) ( h `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  X_ y  e.  A  ( G `  y )  =  X_ y  e.  A  (
h `  y )
)  <->  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  w ) ( G `  y
)  =  U. ( F `  y )
) ) )
2221spcegv 3058 . . 3  |-  ( G  e.  _V  ->  (
( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  w
) ( G `  y )  =  U. ( F `  y ) )  ->  E. h
( ( h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  w ) ( h `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  X_ y  e.  A  ( G `  y )  =  X_ y  e.  A  (
h `  y )
) ) )
234, 10, 22sylc 60 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y ) )  /\  ( W  e.  Fin  /\ 
A. y  e.  ( A  \  W ) ( G `  y
)  =  U. ( F `  y )
) )  ->  E. h
( ( h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  w ) ( h `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  X_ y  e.  A  ( G `  y )  =  X_ y  e.  A  (
h `  y )
) )
24 ptbas.1 . . 3  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
2524elpt 19145 . 2  |-  ( X_ y  e.  A  ( G `  y )  e.  B  <->  E. h ( ( h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  w
) ( h `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  X_ y  e.  A  ( G `  y )  =  X_ y  e.  A  (
h `  y )
) )
2623, 25sylibr 212 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y ) )  /\  ( W  e.  Fin  /\ 
A. y  e.  ( A  \  W ) ( G `  y
)  =  U. ( F `  y )
) )  ->  X_ y  e.  A  ( G `  y )  e.  B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2715   E.wrex 2716   _Vcvv 2972    \ cdif 3325   U.cuni 4091    Fn wfn 5413   ` cfv 5418   X_cixp 7263   Fincfn 7310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ixp 7264
This theorem is referenced by:  elptr2  19147
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