MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elptr Structured version   Unicode version

Theorem elptr 20366
Description: A basic open set in the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptbas.1  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
Assertion
Ref Expression
elptr  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y ) )  /\  ( W  e.  Fin  /\ 
A. y  e.  ( A  \  W ) ( G `  y
)  =  U. ( F `  y )
) )  ->  X_ y  e.  A  ( G `  y )  e.  B
)
Distinct variable groups:    x, g,
y, G    z, g, A, x, y    g, F, x, y, z    g, V, x, y, z    y, W
Allowed substitution hints:    B( x, y, z, g)    G( z)    W( x, z, g)

Proof of Theorem elptr
Dummy variables  h  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2l 1023 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y ) )  /\  ( W  e.  Fin  /\ 
A. y  e.  ( A  \  W ) ( G `  y
)  =  U. ( F `  y )
) )  ->  G  Fn  A )
2 simp1 997 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y ) )  /\  ( W  e.  Fin  /\ 
A. y  e.  ( A  \  W ) ( G `  y
)  =  U. ( F `  y )
) )  ->  A  e.  V )
3 fnex 6120 . . . 4  |-  ( ( G  Fn  A  /\  A  e.  V )  ->  G  e.  _V )
41, 2, 3syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y ) )  /\  ( W  e.  Fin  /\ 
A. y  e.  ( A  \  W ) ( G `  y
)  =  U. ( F `  y )
) )  ->  G  e.  _V )
5 simp2r 1024 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y ) )  /\  ( W  e.  Fin  /\ 
A. y  e.  ( A  \  W ) ( G `  y
)  =  U. ( F `  y )
) )  ->  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y ) )
6 difeq2 3555 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  ( A  \  w )  =  ( A  \  W
) )
76raleqdv 3010 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  ( A. y  e.  ( A  \  w ) ( G `  y )  =  U. ( F `
 y )  <->  A. y  e.  ( A  \  W
) ( G `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )
87rspcev 3160 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  Fin  /\  A. y  e.  ( A 
\  W ) ( G `  y )  =  U. ( F `
 y ) )  ->  E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  w ) ( G `  y )  =  U. ( F `
 y ) )
983ad2ant3 1020 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y ) )  /\  ( W  e.  Fin  /\ 
A. y  e.  ( A  \  W ) ( G `  y
)  =  U. ( F `  y )
) )  ->  E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  w
) ( G `  y )  =  U. ( F `  y ) )
101, 5, 93jca 1177 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y ) )  /\  ( W  e.  Fin  /\ 
A. y  e.  ( A  \  W ) ( G `  y
)  =  U. ( F `  y )
) )  ->  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  w
) ( G `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )
11 fveq1 5848 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  G  ->  (
h `  y )  =  ( G `  y ) )
1211eqcomd 2410 . . . . . . 7  |-  ( h  =  G  ->  ( G `  y )  =  ( h `  y ) )
1312ixpeq2dv 7523 . . . . . 6  |-  ( h  =  G  ->  X_ y  e.  A  ( G `  y )  =  X_ y  e.  A  (
h `  y )
)
1413biantrud 505 . . . . 5  |-  ( h  =  G  ->  (
( h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  w ) ( h `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  <->  ( (
h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  w
) ( h `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  X_ y  e.  A  ( G `  y )  =  X_ y  e.  A  (
h `  y )
) ) )
15 fneq1 5650 . . . . . 6  |-  ( h  =  G  ->  (
h  Fn  A  <->  G  Fn  A ) )
1611eleq1d 2471 . . . . . . 7  |-  ( h  =  G  ->  (
( h `  y
)  e.  ( F `
 y )  <->  ( G `  y )  e.  ( F `  y ) ) )
1716ralbidv 2843 . . . . . 6  |-  ( h  =  G  ->  ( A. y  e.  A  ( h `  y
)  e.  ( F `
 y )  <->  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y ) ) )
1811eqeq1d 2404 . . . . . . 7  |-  ( h  =  G  ->  (
( h `  y
)  =  U. ( F `  y )  <->  ( G `  y )  =  U. ( F `
 y ) ) )
1918rexralbidv 2926 . . . . . 6  |-  ( h  =  G  ->  ( E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  w ) ( h `  y )  =  U. ( F `
 y )  <->  E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  w
) ( G `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )
2015, 17, 193anbi123d 1301 . . . . 5  |-  ( h  =  G  ->  (
( h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  w ) ( h `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  <->  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  w ) ( G `  y
)  =  U. ( F `  y )
) ) )
2114, 20bitr3d 255 . . . 4  |-  ( h  =  G  ->  (
( ( h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  w ) ( h `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  X_ y  e.  A  ( G `  y )  =  X_ y  e.  A  (
h `  y )
)  <->  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  w ) ( G `  y
)  =  U. ( F `  y )
) ) )
2221spcegv 3145 . . 3  |-  ( G  e.  _V  ->  (
( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  w
) ( G `  y )  =  U. ( F `  y ) )  ->  E. h
( ( h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  w ) ( h `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  X_ y  e.  A  ( G `  y )  =  X_ y  e.  A  (
h `  y )
) ) )
234, 10, 22sylc 59 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y ) )  /\  ( W  e.  Fin  /\ 
A. y  e.  ( A  \  W ) ( G `  y
)  =  U. ( F `  y )
) )  ->  E. h
( ( h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  w ) ( h `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  X_ y  e.  A  ( G `  y )  =  X_ y  e.  A  (
h `  y )
) )
24 ptbas.1 . . 3  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
2524elpt 20365 . 2  |-  ( X_ y  e.  A  ( G `  y )  e.  B  <->  E. h ( ( h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  w
) ( h `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  X_ y  e.  A  ( G `  y )  =  X_ y  e.  A  (
h `  y )
) )
2623, 25sylibr 212 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( G  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( G `  y )  e.  ( F `  y ) )  /\  ( W  e.  Fin  /\ 
A. y  e.  ( A  \  W ) ( G `  y
)  =  U. ( F `  y )
) )  ->  X_ y  e.  A  ( G `  y )  e.  B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842   {cab 2387   A.wral 2754   E.wrex 2755   _Vcvv 3059    \ cdif 3411   U.cuni 4191    Fn wfn 5564   ` cfv 5569   X_cixp 7507   Fincfn 7554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ixp 7508
This theorem is referenced by:  elptr2  20367
  Copyright terms: Public domain W3C validator