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Theorem elpt 19150
Description: Elementhood in the bases of a product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptbas.1  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
Assertion
Ref Expression
elpt  |-  ( S  e.  B  <->  E. h
( ( h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  w ) ( h `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  S  =  X_ y  e.  A  ( h `  y ) ) )
Distinct variable groups:    g, h, w, x, y, z, A   
g, F, h, w, x, y, z    S, g, h, x
Allowed substitution hints:    B( x, y, z, w, g, h)    S( y, z, w)

Proof of Theorem elpt
StepHypRef Expression
1 ptbas.1 . . 3  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
21eleq2i 2507 . 2  |-  ( S  e.  B  <->  S  e.  { x  |  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) } )
3 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  S  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  ->  S  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )
4 ixpexg 7292 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  _V  ->  X_ y  e.  A  ( g `  y )  e.  _V )
5 fvex 5706 . . . . . . 7  |-  ( g `
 y )  e. 
_V
65a1i 11 . . . . . 6  |-  ( y  e.  A  ->  (
g `  y )  e.  _V )
74, 6mprg 2790 . . . . 5  |-  X_ y  e.  A  ( g `  y )  e.  _V
83, 7syl6eqel 2531 . . . 4  |-  ( ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  S  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  ->  S  e.  _V )
98exlimiv 1688 . . 3  |-  ( E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  S  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) )  ->  S  e.  _V )
10 eqeq1 2449 . . . . 5  |-  ( x  =  S  ->  (
x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y )  <->  S  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )
1110anbi2d 703 . . . 4  |-  ( x  =  S  ->  (
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  <->  ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  S  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) ) )
1211exbidv 1680 . . 3  |-  ( x  =  S  ->  ( E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) )  <->  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  S  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) ) )
139, 12elab3 3118 . 2  |-  ( S  e.  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  <->  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  S  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )
14 fneq1 5504 . . . . 5  |-  ( g  =  h  ->  (
g  Fn  A  <->  h  Fn  A ) )
15 fveq1 5695 . . . . . . 7  |-  ( g  =  h  ->  (
g `  y )  =  ( h `  y ) )
1615eleq1d 2509 . . . . . 6  |-  ( g  =  h  ->  (
( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  <->  ( h `  y )  e.  ( F `  y ) ) )
1716ralbidv 2740 . . . . 5  |-  ( g  =  h  ->  ( A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  <->  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( F `  y ) ) )
1815eqeq1d 2451 . . . . . . 7  |-  ( g  =  h  ->  (
( g `  y
)  =  U. ( F `  y )  <->  ( h `  y )  =  U. ( F `
 y ) ) )
1918rexralbidv 2764 . . . . . 6  |-  ( g  =  h  ->  ( E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( F `
 y )  <->  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( h `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )
20 difeq2 3473 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  ( A  \  z )  =  ( A  \  w
) )
2120raleqdv 2928 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  ( A. y  e.  ( A  \  z ) ( h `  y )  =  U. ( F `
 y )  <->  A. y  e.  ( A  \  w
) ( h `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )
2221cbvrexv 2953 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( h `
 y )  = 
U. ( F `  y )  <->  E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  w
) ( h `  y )  =  U. ( F `  y ) )
2319, 22syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( g  =  h  ->  ( E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( F `
 y )  <->  E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  w
) ( h `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )
2414, 17, 233anbi123d 1289 . . . 4  |-  ( g  =  h  ->  (
( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  <->  ( h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  w ) ( h `  y
)  =  U. ( F `  y )
) ) )
2515ixpeq2dv 7284 . . . . 5  |-  ( g  =  h  ->  X_ y  e.  A  ( g `  y )  =  X_ y  e.  A  (
h `  y )
)
2625eqeq2d 2454 . . . 4  |-  ( g  =  h  ->  ( S  =  X_ y  e.  A  ( g `  y )  <->  S  =  X_ y  e.  A  ( h `  y ) ) )
2724, 26anbi12d 710 . . 3  |-  ( g  =  h  ->  (
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  S  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  <->  ( ( h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
h `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  w
) ( h `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  S  = 
X_ y  e.  A  ( h `  y
) ) ) )
2827cbvexv 1972 . 2  |-  ( E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  S  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) )  <->  E. h
( ( h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  w ) ( h `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  S  =  X_ y  e.  A  ( h `  y ) ) )
292, 13, 283bitri 271 1  |-  ( S  e.  B  <->  E. h
( ( h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  w ) ( h `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  S  =  X_ y  e.  A  ( h `  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2720   E.wrex 2721   _Vcvv 2977    \ cdif 3330   U.cuni 4096    Fn wfn 5418   ` cfv 5423   X_cixp 7268   Fincfn 7315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-ixp 7269
This theorem is referenced by:  elptr  19151  ptbasin  19155  ptbasfi  19159
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