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Theorem elpt 19941
Description: Elementhood in the bases of a product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptbas.1  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
Assertion
Ref Expression
elpt  |-  ( S  e.  B  <->  E. h
( ( h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  w ) ( h `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  S  =  X_ y  e.  A  ( h `  y ) ) )
Distinct variable groups:    g, h, w, x, y, z, A   
g, F, h, w, x, y, z    S, g, h, x
Allowed substitution hints:    B( x, y, z, w, g, h)    S( y, z, w)

Proof of Theorem elpt
StepHypRef Expression
1 ptbas.1 . . 3  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
21eleq2i 2545 . 2  |-  ( S  e.  B  <->  S  e.  { x  |  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) } )
3 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  S  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  ->  S  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )
4 ixpexg 7505 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  _V  ->  X_ y  e.  A  ( g `  y )  e.  _V )
5 fvex 5882 . . . . . . 7  |-  ( g `
 y )  e. 
_V
65a1i 11 . . . . . 6  |-  ( y  e.  A  ->  (
g `  y )  e.  _V )
74, 6mprg 2830 . . . . 5  |-  X_ y  e.  A  ( g `  y )  e.  _V
83, 7syl6eqel 2563 . . . 4  |-  ( ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  S  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  ->  S  e.  _V )
98exlimiv 1698 . . 3  |-  ( E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  S  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) )  ->  S  e.  _V )
10 eqeq1 2471 . . . . 5  |-  ( x  =  S  ->  (
x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y )  <->  S  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )
1110anbi2d 703 . . . 4  |-  ( x  =  S  ->  (
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  <->  ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  S  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) ) )
1211exbidv 1690 . . 3  |-  ( x  =  S  ->  ( E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) )  <->  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  S  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) ) )
139, 12elab3 3262 . 2  |-  ( S  e.  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  <->  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  S  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )
14 fneq1 5675 . . . . 5  |-  ( g  =  h  ->  (
g  Fn  A  <->  h  Fn  A ) )
15 fveq1 5871 . . . . . . 7  |-  ( g  =  h  ->  (
g `  y )  =  ( h `  y ) )
1615eleq1d 2536 . . . . . 6  |-  ( g  =  h  ->  (
( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  <->  ( h `  y )  e.  ( F `  y ) ) )
1716ralbidv 2906 . . . . 5  |-  ( g  =  h  ->  ( A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  <->  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( F `  y ) ) )
1815eqeq1d 2469 . . . . . . 7  |-  ( g  =  h  ->  (
( g `  y
)  =  U. ( F `  y )  <->  ( h `  y )  =  U. ( F `
 y ) ) )
1918rexralbidv 2986 . . . . . 6  |-  ( g  =  h  ->  ( E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( F `
 y )  <->  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( h `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )
20 difeq2 3621 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  ( A  \  z )  =  ( A  \  w
) )
2120raleqdv 3069 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  ( A. y  e.  ( A  \  z ) ( h `  y )  =  U. ( F `
 y )  <->  A. y  e.  ( A  \  w
) ( h `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )
2221cbvrexv 3094 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( h `
 y )  = 
U. ( F `  y )  <->  E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  w
) ( h `  y )  =  U. ( F `  y ) )
2319, 22syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( g  =  h  ->  ( E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( F `
 y )  <->  E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  w
) ( h `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )
2414, 17, 233anbi123d 1299 . . . 4  |-  ( g  =  h  ->  (
( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  <->  ( h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  w ) ( h `  y
)  =  U. ( F `  y )
) ) )
2515ixpeq2dv 7497 . . . . 5  |-  ( g  =  h  ->  X_ y  e.  A  ( g `  y )  =  X_ y  e.  A  (
h `  y )
)
2625eqeq2d 2481 . . . 4  |-  ( g  =  h  ->  ( S  =  X_ y  e.  A  ( g `  y )  <->  S  =  X_ y  e.  A  ( h `  y ) ) )
2724, 26anbi12d 710 . . 3  |-  ( g  =  h  ->  (
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  S  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  <->  ( ( h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
h `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  w
) ( h `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  S  = 
X_ y  e.  A  ( h `  y
) ) ) )
2827cbvexv 1997 . 2  |-  ( E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  S  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) )  <->  E. h
( ( h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  w ) ( h `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  S  =  X_ y  e.  A  ( h `  y ) ) )
292, 13, 283bitri 271 1  |-  ( S  e.  B  <->  E. h
( ( h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  w ) ( h `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  S  =  X_ y  e.  A  ( h `  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2817   E.wrex 2818   _Vcvv 3118    \ cdif 3478   U.cuni 4251    Fn wfn 5589   ` cfv 5594   X_cixp 7481   Fincfn 7528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ixp 7482
This theorem is referenced by:  elptr  19942  ptbasin  19946  ptbasfi  19950
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