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Theorem elpt 20586
Description: Elementhood in the bases of a product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ptbas.1  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
Assertion
Ref Expression
elpt  |-  ( S  e.  B  <->  E. h
( ( h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  w ) ( h `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  S  =  X_ y  e.  A  ( h `  y ) ) )
Distinct variable groups:    g, h, w, x, y, z, A   
g, F, h, w, x, y, z    S, g, h, x
Allowed substitution hints:    B( x, y, z, w, g, h)    S( y, z, w)

Proof of Theorem elpt
StepHypRef Expression
1 ptbas.1 . . 3  |-  B  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }
21eleq2i 2499 . 2  |-  ( S  e.  B  <->  S  e.  { x  |  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) } )
3 simpr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  S  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  ->  S  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )
4 ixpexg 7558 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  _V  ->  X_ y  e.  A  ( g `  y )  e.  _V )
5 fvex 5892 . . . . . . 7  |-  ( g `
 y )  e. 
_V
65a1i 11 . . . . . 6  |-  ( y  e.  A  ->  (
g `  y )  e.  _V )
74, 6mprg 2785 . . . . 5  |-  X_ y  e.  A  ( g `  y )  e.  _V
83, 7syl6eqel 2515 . . . 4  |-  ( ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  /\  S  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  ->  S  e.  _V )
98exlimiv 1770 . . 3  |-  ( E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  S  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) )  ->  S  e.  _V )
10 eqeq1 2426 . . . . 5  |-  ( x  =  S  ->  (
x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y )  <->  S  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )
1110anbi2d 708 . . . 4  |-  ( x  =  S  ->  (
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  <->  ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  S  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) ) )
1211exbidv 1762 . . 3  |-  ( x  =  S  ->  ( E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) )  <->  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  S  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) ) )
139, 12elab3 3224 . 2  |-  ( S  e.  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  <->  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  S  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) )
14 fneq1 5682 . . . . 5  |-  ( g  =  h  ->  (
g  Fn  A  <->  h  Fn  A ) )
15 fveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( g  =  h  ->  (
g `  y )  =  ( h `  y ) )
1615eleq1d 2491 . . . . . 6  |-  ( g  =  h  ->  (
( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  <->  ( h `  y )  e.  ( F `  y ) ) )
1716ralbidv 2861 . . . . 5  |-  ( g  =  h  ->  ( A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  <->  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( F `  y ) ) )
1815eqeq1d 2424 . . . . . . 7  |-  ( g  =  h  ->  (
( g `  y
)  =  U. ( F `  y )  <->  ( h `  y )  =  U. ( F `
 y ) ) )
1918rexralbidv 2944 . . . . . 6  |-  ( g  =  h  ->  ( E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( F `
 y )  <->  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( h `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )
20 difeq2 3577 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  ( A  \  z )  =  ( A  \  w
) )
2120raleqdv 3028 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  ( A. y  e.  ( A  \  z ) ( h `  y )  =  U. ( F `
 y )  <->  A. y  e.  ( A  \  w
) ( h `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )
2221cbvrexv 3055 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( h `
 y )  = 
U. ( F `  y )  <->  E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  w
) ( h `  y )  =  U. ( F `  y ) )
2319, 22syl6bb 264 . . . . 5  |-  ( g  =  h  ->  ( E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( F `
 y )  <->  E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  w
) ( h `  y )  =  U. ( F `  y ) ) )
2414, 17, 233anbi123d 1335 . . . 4  |-  ( g  =  h  ->  (
( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( F `
 y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `
 y )  = 
U. ( F `  y ) )  <->  ( h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  w ) ( h `  y
)  =  U. ( F `  y )
) ) )
2515ixpeq2dv 7550 . . . . 5  |-  ( g  =  h  ->  X_ y  e.  A  ( g `  y )  =  X_ y  e.  A  (
h `  y )
)
2625eqeq2d 2436 . . . 4  |-  ( g  =  h  ->  ( S  =  X_ y  e.  A  ( g `  y )  <->  S  =  X_ y  e.  A  ( h `  y ) ) )
2724, 26anbi12d 715 . . 3  |-  ( g  =  h  ->  (
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. z  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  z ) ( g `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  S  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  <->  ( ( h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
h `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. w  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  w
) ( h `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  S  = 
X_ y  e.  A  ( h `  y
) ) ) )
2827cbvexv 2082 . 2  |-  ( E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( F `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( F `  y ) )  /\  S  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
) )  <->  E. h
( ( h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  w ) ( h `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  S  =  X_ y  e.  A  ( h `  y ) ) )
292, 13, 283bitri 274 1  |-  ( S  e.  B  <->  E. h
( ( h  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( h `  y )  e.  ( F `  y )  /\  E. w  e. 
Fin  A. y  e.  ( A  \  w ) ( h `  y
)  =  U. ( F `  y )
)  /\  S  =  X_ y  e.  A  ( h `  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872   {cab 2407   A.wral 2771   E.wrex 2772   _Vcvv 3080    \ cdif 3433   U.cuni 4219    Fn wfn 5596   ` cfv 5601   X_cixp 7534   Fincfn 7581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ixp 7535
This theorem is referenced by:  elptr  20587  ptbasin  20591  ptbasfi  20595  ptrecube  31905
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