MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elpreima Structured version   Unicode version

Theorem elpreima 5992
Description: Membership in the preimage of a set under a function. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
elpreima  |-  ( F  Fn  A  ->  ( B  e.  ( `' F " C )  <->  ( B  e.  A  /\  ( F `  B )  e.  C ) ) )

Proof of Theorem elpreima
StepHypRef Expression
1 cnvimass 5347 . . . . 5  |-  ( `' F " C ) 
C_  dom  F
21sseli 3485 . . . 4  |-  ( B  e.  ( `' F " C )  ->  B  e.  dom  F )
3 fndm 5670 . . . . 5  |-  ( F  Fn  A  ->  dom  F  =  A )
43eleq2d 2513 . . . 4  |-  ( F  Fn  A  ->  ( B  e.  dom  F  <->  B  e.  A ) )
52, 4syl5ib 219 . . 3  |-  ( F  Fn  A  ->  ( B  e.  ( `' F " C )  ->  B  e.  A )
)
6 fnfun 5668 . . . . 5  |-  ( F  Fn  A  ->  Fun  F )
7 fvimacnvi 5986 . . . . 5  |-  ( ( Fun  F  /\  B  e.  ( `' F " C ) )  -> 
( F `  B
)  e.  C )
86, 7sylan 471 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  A  /\  B  e.  ( `' F " C ) )  ->  ( F `  B )  e.  C
)
98ex 434 . . 3  |-  ( F  Fn  A  ->  ( B  e.  ( `' F " C )  -> 
( F `  B
)  e.  C ) )
105, 9jcad 533 . 2  |-  ( F  Fn  A  ->  ( B  e.  ( `' F " C )  -> 
( B  e.  A  /\  ( F `  B
)  e.  C ) ) )
11 fvimacnv 5987 . . . . 5  |-  ( ( Fun  F  /\  B  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  B )  e.  C  <->  B  e.  ( `' F " C ) ) )
1211funfni 5671 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  A  /\  B  e.  A )  ->  ( ( F `  B )  e.  C  <->  B  e.  ( `' F " C ) ) )
1312biimpd 207 . . 3  |-  ( ( F  Fn  A  /\  B  e.  A )  ->  ( ( F `  B )  e.  C  ->  B  e.  ( `' F " C ) ) )
1413expimpd 603 . 2  |-  ( F  Fn  A  ->  (
( B  e.  A  /\  ( F `  B
)  e.  C )  ->  B  e.  ( `' F " C ) ) )
1510, 14impbid 191 1  |-  ( F  Fn  A  ->  ( B  e.  ( `' F " C )  <->  ( B  e.  A  /\  ( F `  B )  e.  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1804   `'ccnv 4988   dom cdm 4989   "cima 4992   Fun wfun 5572    Fn wfn 5573   ` cfv 5578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-fv 5586
This theorem is referenced by:  fniniseg  5993  fncnvima2  5994  rexsuppOLD  5997  unpreima  5998  respreima  6001  suppssOLD  6005  suppssrOLD  6006  fnse  6902  brwitnlem  7159  wemapso2OLD  7980  unxpwdom2  8017  cantnfleOLD  8123  cantnfp1lem2OLD  8127  cantnfp1lem3OLD  8128  cantnfp1OLD  8129  cantnflem1aOLD  8130  cantnflem1cOLD  8132  cantnflem3OLD  8135  mapfienOLD  8141  cnfcomlemOLD  8154  cnfcom3OLD  8159  smobeth  8964  fpwwe2lem6  9016  fpwwe2lem9  9019  hashkf  12386  isercolllem2  13467  isercolllem3  13468  isercoll  13469  fsumss  13526  tanval  13740  1arith  14322  0ram  14415  ghmpreima  16162  ghmnsgpreima  16165  torsubg  16734  kerf1hrm  17266  lmhmpreima  17568  evlslem3  18057  mpfind  18079  znunithash  18476  cncnpi  19652  cncnp  19654  cnpdis  19667  cnt0  19720  cnhaus  19728  2ndcomap  19832  1stccnp  19836  ptpjpre1  19945  tx1cn  19983  tx2cn  19984  txcnmpt  19998  txdis1cn  20009  hauseqlcld  20020  xkoptsub  20028  xkococn  20034  kqsat  20105  kqcldsat  20107  kqreglem1  20115  kqreglem2  20116  reghmph  20167  ordthmeolem  20175  tmdcn2  20461  clssubg  20480  tgphaus  20488  qustgplem  20492  ucncn  20661  xmeterval  20808  imasf1obl  20864  blval2  20951  metuel2  20955  isnghm  21103  cnbl0  21154  cnblcld  21155  cnheiborlem  21327  nmhmcn  21476  ismbl  21810  mbfeqalem  21922  mbfmulc2lem  21927  mbfmax  21929  mbfposr  21932  mbfimaopnlem  21935  mbfaddlem  21940  mbfsup  21944  i1f1lem  21969  i1fpos  21986  mbfi1fseqlem4  21998  itg2monolem1  22030  itg2gt0  22040  itg2cnlem1  22041  itg2cnlem2  22042  plyeq0lem  22480  dgrlem  22499  dgrub  22504  dgrlb  22506  pserulm  22689  psercnlem2  22691  psercnlem1  22692  psercn  22693  abelth  22708  eff1olem  22807  ellogrn  22819  dvloglem  22901  logf1o2  22903  efopnlem1  22909  efopnlem2  22910  logtayl  22913  cxpcn3lem  22993  cxpcn3  22994  resqrtcn  22995  asinneg  23089  areambl  23160  sqff1o  23328  ubthlem1  25658  unipreima  27356  1stpreima  27396  2ndpreima  27397  suppss3  27422  kerunit  27686  cnre2csqlem  27765  elzrhunit  27833  qqhval2lem  27835  qqhf  27840  1stmbfm  28104  2ndmbfm  28105  mbfmcnt  28112  eulerpartlemsv2  28170  eulerpartlemv  28176  eulerpartlemf  28182  eulerpartlemgvv  28188  eulerpartlemgh  28190  eulerpartlemgs2  28192  sseqmw  28203  sseqf  28204  sseqp1  28207  fiblem  28210  fibp1  28213  cvmseu  28594  cvmliftmolem1  28599  cvmliftmolem2  28600  cvmliftlem15  28616  cvmlift2lem10  28630  cvmlift3lem8  28644  elmthm  28809  mthmblem  28813  mclsppslem  28816  mclspps  28817  fprodss  29055  cnambfre  30038  dvtan  30040  ftc1anclem3  30067  ftc1anclem5  30069  areacirc  30087  sstotbnd2  30245  keridl  30404  pw2f1ocnv  30954  rfcnpre1  31348  rfcnpre2  31360  rfcnpre3  31362  rfcnpre4  31363  icccncfext  31597  ellkr  34548
  Copyright terms: Public domain W3C validator